卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京将成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，将点B（﹣3，2）向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，5）
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B． C． D．x+1
6．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC B．∠DAB＝∠DCB，∠ABC＝∠ADC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，AD＝BC
7．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
8．如图，P是面积为S的平行四边形ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（ ）
A．
B．
C．
D．S1+S2的大小与P点位置有关
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2，点E是对角线AC上一动点，点F是边CD上一动点，连接BE、EF，则BE+EF的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，∠OAB＝120°，AO＝AB，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转后点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上.）
11．因式分解：x2﹣16＝ ．
12．一个多边形的内角和与外角和的和是720°，那么这个多边形的边数n＝ ．
13．代数式与代数式的值相等，则x＝ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为 ．
15．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：
①∠CAD＝30°
②S ABCD＝AB AC
③OB＝AB
④OE＝BC
成立的有 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
16．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点P是BC边上的点，连接AP，以AP为对称轴作△ABP的轴对称图形△AQP，连接CQ、QD，当点P是线段BC的中点，且CQ＝4时，则AP的长为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．
18．先化简，再求值：，其中x＝2．
19．如图，在 ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，连接AF、EC，且AF∥EC．求证：BE＝DF．
20．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．
（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标： ；
（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
22．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：
三角形的中位线 于第三边，并且 ；
（2）证明：三角形中位线定理．
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证： ．
证明：
23．某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的型号，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，求出恰好抽中A，B两人的概率．
24．某单位在疫情期间购进A、B两种口罩，已知一包A种口罩的单价比一包B种口罩的单价多1元，且花600元购买A种口罩和花500元购买B种口罩的包数相同．
（1）求A，B两种口罩一包的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过11000元的资金购进A、B两种口罩共2000包，求A种口罩最多能购进多少包？
25．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA＝8，OC＝4，∠AOC＝45°，点P、Q分别是边BC、OC上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．
（1）求出点B、C的坐标；
（2）当t＝2时，求△APQ的面积；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A＝90°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）如图3，若点D在线段BE上，且BC＝13，DE＝7，求CE的长；
（3）当△ABD的面积最大时，请直接写出此时旋转角α的度数．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京将成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．在平面直角坐标系中，将点B（﹣3，2）向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，5）
【分析】让B的横坐标加5，纵坐标减3即可得到所求点A的坐标．
解：∵将点B（﹣3，2）向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，
∴点A的横坐标为：﹣3+5＝2，纵坐标为2﹣3＝﹣1，
∴点A的坐标为（2，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查图形的平移变换，要牢记左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解：A、该分式的分子、分母中含有公因式2a，则它不是最简分式．故本选项不符合题意．
B、该分式符合最简分式的定义．故本选项符合题意；
C、该分式的分子、分母中含有公因式a，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
D、该分式的分子为a（a﹣b），分母为（a+b）（a﹣b），所以该分式的分子、分母中含有公因式（a﹣b），则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了对最简分式，约分的应用，关键是理解最简分式的定义．
4．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B． C． D．x+1
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
解：原式＝
＝
＝x﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查分式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
6．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC B．∠DAB＝∠DCB，∠ABC＝∠ADC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可；
解：A、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“∠DAB＝∠DCB，∠ABC＝∠ADC”可知，四边形ABCD的两组对角相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法，属于中考基础题．
7．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．
解：∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
8．如图，P是面积为S的平行四边形ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（ ）
A．
B．
C．
D．S1+S2的大小与P点位置有关
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．
解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交CB的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S＝BC EF，，，
∵EF＝PE+PF，AD＝BC，
∴S1+S2＝，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2，点E是对角线AC上一动点，点F是边CD上一动点，连接BE、EF，则BE+EF的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】过点B作BF'⊥CD，交AC于点E'，则BE+EF的最小值为BF'的长，在Rt△BCF'中，BC＝2，∠BCF'＝60°，即可求解．
解：过点B作BF'⊥CD，交AC于点E'，则BE+EF的最小值为BF'的长，
∵∠BAD＝60°，AD＝2，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCF'＝60°，BC＝AD＝2，
∴在Rt△BCF'中，BC＝2，∠BCF'＝60°，
∴∠CBF′＝30°，
∴CF′＝1，
∴BF'＝；
故选：A．
【点评】本题考查最短距离问题；利用垂线段最短将BE+EF的最小值转化为垂线段的长是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，∠OAB＝120°，AO＝AB，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转后点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出B1～B5的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
解：过点B作BH⊥y轴于H．
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝2，
∴AH＝AB cos60°＝1，BH＝AH＝，
∵∠BOH＝30°，
∴OB＝2BH＝2，B（，3），
由题意B1（﹣，3），B2（﹣2，0），B3（﹣，﹣3），B4（，﹣3），B5（2，0），…，6次一个循环，
∵2023÷6＝337…1，
∴B2023（﹣，3），
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上.）
11．因式分解：x2﹣16＝ （x+4）（x﹣4） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）．
故答案为：（x+4）（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
12．一个多边形的内角和与外角和的和是720°，那么这个多边形的边数n＝ 4 ．
【分析】首先设这个多边形的边数有n条，根据多边形内角和公式（n﹣2） 180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n﹣2） 180+360＝720，再解方程即可．
解：设这个多边形的边数有n条，由题意得：
（n﹣2） 180+360＝720，
解得：n＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
13．代数式与代数式的值相等，则x＝ 7 ．
【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可．
解：根据题意得：＝，
去分母得：3x﹣9＝2x﹣2，
解得：x＝7，
经检验x＝7是分式方程的根．
故答案为：7．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为 （3，﹣2） ．
【分析】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，由旋转90°可知，△OPA≌△OP′B，则P′B＝PA＝3，BO＝OA＝2，由此确定点P′的坐标．
解：如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，
∵线段OP绕点O顺时针旋转90°，
∴∠POP′＝∠AOB＝90°，
∴∠AOP＝∠P′OB，且OP＝OP′，∠PAO＝∠P′BO＝90°，
∴△OAP≌△OBP′（AAS），即P′B＝PA＝3，BO＝OA＝2，
∴P′（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的条件，确定全等三角形．
15．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：
①∠CAD＝30°
②S ABCD＝AB AC
③OB＝AB
④OE＝BC
成立的有 ①②④ （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【分析】由 ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S ABCD＝AB AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE＝BC．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴AE＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S ABCD＝AB AC，故②正确，
∵AB＝BC，OB＝BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC．故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．
16．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点P是BC边上的点，连接AP，以AP为对称轴作△ABP的轴对称图形△AQP，连接CQ、QD，当点P是线段BC的中点，且CQ＝4时，则AP的长为 2+ ．
【分析】连接BQ交AP于点E，由轴对称的性质得出AQ＝AB，BP＝PQ，求出EP和BP的长，由勾股定理可得出答案．
解：如图，连接BQ交AP于点E，
∵△AQP与△ABP是以AP为对称轴的轴对称图形，
由轴对称的性质得，AQ＝AB，BP＝PQ，
∴AP是线段BQ的垂直平分线．
∴点E是BQ的中点，∠AEB＝∠BEP＝90°．
又∵点P是BC的中点，
∴EP为△BQC的中位线．
∴EP＝CQ＝2，BP＝BC＝6，AB＝8．
在Rt△BEP中，BE＝＝＝4．
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4．
∴AP＝AE+EP＝2+．
故答案为：2+．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，轴对称性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握折叠的性质．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．
【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
解：x3﹣2x2y+xy2，
＝x（x2﹣2xy+y2），
＝x（x﹣y）2．
【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题难点在于要进行二次分解．
18．先化简，再求值：，其中x＝2．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式＝，然后把x的值代入计算即可．
解：原式＝
＝，
当x＝2时，原式＝＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
19．如图，在 ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，连接AF、EC，且AF∥EC．求证：BE＝DF．
【分析】根据平行四边形的性质和判定以及等式的性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即BE＝DF．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和判定以及等式的性质解答．
20．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM＝BC，PN＝AD，然后求出PM＝PN，再根据等边对等角证明即可．
【解答】证明：∵P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，
∴PM、PN分别是△BCD和△ABD的中位线，
∴PM＝BC，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边对等角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．
（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标： （4，﹣1） ；
（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
【分析】（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；
（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；
（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．
解：（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），
故答案为：（4，﹣1）；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
22．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：
三角形的中位线 平行 于第三边，并且 等于第三边的一半 ；
（2）证明：三角形中位线定理．
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证： DE＝BC，DE∥BC ．
证明：
【分析】作出图形，然后写出已知、求证，延长DE到F，使DE＝EF，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠ADE，再求出BD＝CF，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DF∥BC，DF＝BC．
解：（1）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
（2）已知：△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
求证：DE＝BC，DE∥BC，
证明：如图，延长DE到F，使DE＝EF，连接CF，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CEF中，
，
∴△ADE≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，
∴AB∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC且DE＝BC．
故答案为：平行；等于第三边的一半；DE＝BC，DE∥BC．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．
23．某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的型号，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 200 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 198 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，求出恰好抽中A，B两人的概率．
【分析】（1）由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
（2）根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）此次调查一共随机采访学生44÷22%＝200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝198°，
故答案为：200，198；
（2）绿色部分的人数为200﹣（16+44+110）＝30（人），
补全图形如下：
（3）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数3600×＝288（人）；
（4）列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24．某单位在疫情期间购进A、B两种口罩，已知一包A种口罩的单价比一包B种口罩的单价多1元，且花600元购买A种口罩和花500元购买B种口罩的包数相同．
（1）求A，B两种口罩一包的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过11000元的资金购进A、B两种口罩共2000包，求A种口罩最多能购进多少包？
【分析】（1）设B种口罩一包的单价为x元，则A种口罩一包的单价为（x+1）元，由题意：花600元购买A种口罩和花500元购买B种口罩的包数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种口罩m包，由题意：计划用不超过11000元的资金购进A、B两种口罩共2000包，列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设B种口罩一包的单价为x元，则A种口罩一包的单价为（x+1）元，
根据题意，得：，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
则x+1＝6，
答：A种口罩一包的单价为6元，B种口罩一包的单价为5元；
（2）设购进A种口罩m包，则购进B种口罩（2000﹣m）包，
依题意，得：6m+5 （2000﹣m）≤11000，
解得：m≤1000，
答：A种口罩最多能购进1000包．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA＝8，OC＝4，∠AOC＝45°，点P、Q分别是边BC、OC上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．
（1）求出点B、C的坐标；
（2）当t＝2时，求△APQ的面积；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作CD⊥OA于点D，则△OCD是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标；
（2）过点Q作QE⊥x轴于点E，交BC的延长线于点F，根据行程问题中速度、时间与距离之间的关系，用含t的代数式表示线段EQ、FQ、PC、PB的长，再由S△APQ＝S平行四边形OABC﹣S△OAQ﹣S△CPQ﹣S△APB，求解即可；
（3）由题意t＝2时，AP⊥CB时，则PA＝PB＝4，可求出此时t的值，再求出OE、QE的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以AP、AQ、PQ为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可．
解：（1）如图1，作CD⊥OA于点D，则∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝45°，
∴∠DOC＝∠DCO＝45°，
∴OD＝CD，
∵OD2+CD2＝OC2，OC＝，
∴2CD2＝（）2，
∴OD＝CD＝4，
∴D（4，0），C（4，4），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝8，
∴xB＝4+8＝12，
∴B（12，4）.
（2）如图2，过点Q作QE⊥x轴于点E，交BC的延长线于点F，则EF＝4，
∵∠OEQ＝90°，∠AOC＝45°，
∴∠EOQ＝∠EQO＝45°，
∴OE＝QE，
∵OE2+QE2＝OQ2，OQ＝2，
∴2QE2＝（2）2，
∴OE＝QE＝2，
∴QF＝2，
∵S△APQ＝S平行四边形OABC﹣S△OAQ﹣S△CPQ﹣S△APB，CP＝4，BP＝4，
∴S△APQ＝8×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×4×4＝16；
（3）如图3，由题意t＝2时，AP⊥CB．
当平行四边形APQM1以AQ为对角线，设QM1交x轴于点E，
∵QM1∥PA，
∴∠OEQ＝∠OAP＝90°，
∴OE＝QE＝t＝1×2＝2，
∵QM1＝PA＝4，
∴EM1＝4﹣2＝2，
∴M1（2，﹣2）；
当平行四边形PAQM2以PQ为对角线，则QM2∥PA，QM2＝PA＝4，
∴EM2＝2+4＝6，
∴M2（2，6）；
当平行四边形AQPM3以AP为对角线，作M3G⊥CB交CB的延长线于点G，
∵PM3∥AQ，
∴∠APM3＝∠PAQ，
∴∠APB﹣∠APM3＝∠OAP﹣∠PAQ，
∴∠GPM3＝∠EAQ，
∵∠G＝∠AEQ＝90°，PM3＝AQ，
∴△PGM3≌△AEQ（AAS），
∴PG＝AE＝8﹣2＝6，GM3＝QE＝2，
∵xP＝12﹣4＝8，
∴xG＝8+6＝14，
∴M3（14，2），
综上所述，点M的坐标为（2，﹣2）或（2，6）或（14，2）．
【点评】此题属于四边形综合题，考查平面直角坐标系的有关知识、平行四边形的判定与性质、求动点问题中的函数关系式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
26．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A＝90°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）如图3，若点D在线段BE上，且BC＝13，DE＝7，求CE的长；
（3）当△ABD的面积最大时，请直接写出此时旋转角α的度数．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，求得∠BAD＝∠CAE即可证明；
（2）过点A作AH⊥BE于H，由△ABD≌△ACE可得BD＝CE，由等腰三角形三线合一的性质可得AH＝DH＝EH＝DE＝，由BC求得AB，再由勾股定理求得BH即可解答；
（3）根据D点轨迹可得当AD⊥AB时，△ABD面积最大，由旋转的性质求得α即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，
∠BAC＝∠DAE＝90°，
则∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：如图，过点A作AH⊥BE于H，
由（1）证明同理可得△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，
∴AH是斜边中线，
∴AH＝DH＝EH＝DE＝，
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝13，
∴AB＝BCcos∠ABC＝，
在Rt△ABH中，BH＝＝，
∴BD＝BH﹣DH＝5，
∴CE＝BD＝5；
（3）解：∵D点轨迹在以A为圆心，AD为半径的圆上，
∴AD的长度为定值，
∵AB的长度为定值，
∴△ABD底边AB上的高≤AD，
∴当AD⊥AB时，△ABD面积最大，即点D在直线AC上，
①如图当α＝90°时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
②如图3﹣2，当α＝270°时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
∴当α为90°或270°时，△ABD面积最大．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；掌握旋转的性质是解题关键．
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