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数学试题
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水鉴字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
一．选择题（共8小题）
1．的相反数是（ ）
A．2023 B． C． D．
2．如图所示几何体，从正面看是（ ）
A． B． C． D．
3．2022年12月4日晩，神舟14号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，它在轨飞行183天，总共飞行里程约125000000千米，数据125000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，平分，且交CD于点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智意结晶，被国际气象界兴为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将绕点顺时针方向旋转，得到，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图1，AD是的高，以点为圆心，适当长为半径画弧交AB于点，交BC于点；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧交于点；作射线BP交AD于点．若，，，则CD的长（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，过点作轴的平行线与拋物线交于另一点，点，，若抛物线与线段MN有且只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．）
11．分解因式：________．
12．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于________．
13．如图是某一水塘边的警示牌，牌面是正五边形，这个正五边形的内角和是________．
14．已知关于的方程有一个根是，则方程的另一个根________．
15．快递公司上午9：00~10：30集中揽件派件，甲仓库揽收快件，乙仓库派发快件，该时段内甲、乙两仓库快件数量（件）与时间（分）函数图象如图，那么从9：00开始，经过________分钟时，两仓库快递件数相同．
16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则的最小值是________．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分6分）计算：．
18．（本小题满分6分）解不等式组，并写出它的整数解．
19．（本小题满分6分）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，．求证：；
20．（本小题满分8分）图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，．请根据以上信息，解决下列问题．（结果精确到，参考数据：，，）
（1）求点到FG所在直线的距离．
（2）求BC的长度．
21．（本小题满分8分）为了指导学生积极参加劳动教育．济南市市中区某学校数学兴趣小组利用课后延时服务时间，针对七年级学生一周参加家庭劳动次数的情况，开展了一次调查研究．
a．通过调查问卷，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：3，1，6，2，4，1，3，2，3，4，3，3，0，1，5，2，6，4，6，5
b．整理、分析数据，结果如下：
分组 频数
A： 4
B：
C： a
D： 3
平均数 中位数 众数
3.2 b 3
请结合上述信息完成下列问题：
（1）________；
（2）七年级学生一周参加家庭劳动次数的中位数_______；
（3）统计图中组对应扇形的圆心角为_______度；
（4）该校七年级现有400名学生，请估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数；
22．（本小题满分8分）如图，已知AB为的直径，过上点C的切线交AB的延长线于点E，于点D．且交于点F，连接BC，CF，AC．
（1）求证：；
（2）若，，求的长，
23．（本小题满分10分）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成，已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装18间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天400元，乙公司安装费每天200元，现需安装教室60间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过7000元，则最多安排甲公司工作多少天？
24．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与矩形OABC相交于D，E两点，点A，C分别在轴和轴的正半轴上，点的纵坐标为6，点的横坐标为2．连接DE，OB，DE与OB相交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求证：；
（3）连接OD，当是直角三角形时，求此时OF的长．
25．（本小题满分12分）如图，在中，，，，，分别为，，的中点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）自的条件下，当时，求DN的长．
26．（本小题满分12分）如图，二次函数的图象与轴交于点A、B，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为点为OC的中点，点在抛物线上．
（1）求b，c的值；
（2）若点P在第一象限，过点作轴，垂足为H，PH与BC交于点．是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点的横坐标小于3，过点作，垂足为，直线PQ与轴交于点，且，求点的横坐标．
九年级数学二模答案与解析
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C C D A A C B B
二、填空题
11． 12． 13． 14． 15．20 16．
三、解答题
17．【解答】解：．
．
18．【解答】解：
解①得，
解②得．
∴不等式组的解集为．
∴在这个范围内的整数解为：，，．
19．【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，，，
∴．
又∵，∴，∴，
∴．
20．【解答】解：（1）如图，过点作于点，交AE的延长线于点，交BC的延长线于点，
在中，∵，，∴．
在中，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴四边形CHNP是矩形，∴，
∴；
（2）在中，
∵，，∴．
在中，∵，，∴．
∴，
故BC的长度约为．
21．（1）
（2）七年级学生一周参加家庭劳动次数的中位数；
（3）统计图中组对应扇形的圆心角为144度；
（4）由题意可知，被抽取的20名学生中达到平均水平及以上的学生人数有8人，（人），
答：估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生有160人；
22．【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵切于点，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：在中，
∵，，
根据勾股定理得，
∵，∴，∴，
设的半径为，∴，∴，∴，
∴．
23．【解答】解：（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，
根据题意得：
解得：，
经检验，是所列方程的解，则，
答：甲公司每天安装3间教室，乙公司每天安装2间教室；
（2）设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，
根据题意得：
解得：，
答：最多安排甲公司工作10天．
24．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A，C分别在轴和轴的正半轴上，
∴轴，轴，
∵点的纵坐标为6，点的横坐标为2，∴，
∵反比例函数的图象经过点，∴，
∴反比例函数的表达式为．
（2）设，则，，∴，，
证明：如图1，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴．
（3）当是直角三角形，且，如图2，
∵，，∴，∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，，
∴，，
∴，∴；
当是直角三角形，且，如图3，
∵，∴，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，，，
∴，，
∴，∴，
综上所述，OF的长为或．
25．【解答】（1）证明：如图1，连接AF，
∵，，，，分别为AC，AB，BC的中点，
∴，，∴，∴；
（2）解：，理由如下：
连接AF，如图2，
∵，，，，分别为AC，AB，BC的中点，
∴，，
∴四边形CDEF是平行四边形，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵将绕点顺时针旋转一定角度，得到，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴；
（3）解：如图，连接AF，过点作于，
中，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
中，，
中，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴．
26．解：（1）∵点C的坐标为，∴
将点，代入，，
（2）设，
，∴，∴
，∴
∴，
（3）①P在BD上方，
∴，设，
∴
∴ ∴
②在轴下方（在轴于BD之间不满足题意），，
∴