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威远中学校2022-2023学年高二下学期5月第二次阶段性考试
数学（理） 2023.5.20
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．已知复数(为虚数单位)，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2、抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
3．以下有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B．“”是“”成立的必要不充分条件
C．对于命题，使得，则，均有
D．若为真命题，则与至少有一个为真命题
4.设,若,则 ( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A． B．C．D．
7.函数有( )
A.最大值为1 B.最小值为1 C.最大值为e D.最小值为e
8．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
9.2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有( )
A.40 B.240 C.120 D.360
10．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，．若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
11．设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大题共4小题 ，每小题5分,满分20分
13.曲线在点处的切线方程为__________.
14.A、B、C、D、E五名同学站成一排合影，若A不站在两端，B和C相邻，则不同的站队方式共有____________种（用数字作答）
15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________；
16.关于函数有如下四个命题：
① 若是的极大值点，则在上单调递增；
②，；
③若函数存在极值点，则；
④函数的图象关于点中心对称．
其中所有真命题的序号是__________（填上所有正确命题序号）
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（本小题满分10分）已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题
（1）若“且”是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
18.（本小题满分12分）已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积.
19.（本小题满分12分）已知函数.
(1)若时，求的单调区间和极值；
(2)求在上的最小值.
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，，，，过的平面分别交线段，于，.
(1)求证：
(2)若直线与平面所成角为，，，求平面和平面夹角的余弦值．
21．（本小题满分12分）．已知椭圆的一个顶点为，焦距为． 椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆上异于的动点，交直线于点，与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线是否过轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．
22．（本小题满分12分）．已知函数是的导函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：
参考答案（理科）
一．选择题
1-5 BCDBA 6-10 CACDB 11-12 B A
二．填空题
13.
14. 24
15.
16. ②③④
三．解答题
17.试题解析：（1）若为真：
解得 .......2分
若为真：则
解得 .......4分
若“且”是真命题，则
解得 .......5分
（2）由是的必要不充分条件，则可得
即 （等号不同时成立）
解得 .......10分
18．（1）由焦点F到准线的距离为2，即，故抛物线的标准方程为；.......2分
（2）由（1）知：，则直线为，即，.......3分
联立抛物线可得：，则，，.......5分
所以，.......8分
又O到直线的距离，.......10分
所以.......12分
19.（1）由题设,
令，，
的递增区间为，递减区间为，.......2分
故的极大值为无极小值；.......4分
（2），
，，
由于，
在上单调递增，在上单调递减，
①当，即时，函数在上单调递增，，.......6分
②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
，
若时，，.......8分
若时，，.......10分
综上所述：当时，；
当时，.......12分
20.（1）由已知，∵，平面，平面，∴平面，
又∵平面，平面平面，∴，∴........1分
取中点，连接，∵，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，.......2分
∴在中，，，，，
∴，即，又∵，∴，.......3分
又∵，，∴，.......4分
∵，平面，平面，
∴平面，又∵平面，∴，
即........5分
（2）如图，取中点为，连接，
∵，∴，
由第（1）问知平面，
∴以为原点，，所在直线为轴，轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则由已知，，，，，设，（）
则，
易知平面的一个法向量为，
∵直线与平面所成角为，
∴，解得，.......7分
∴，
又∵，，∴，分别为，中点，∴，
∴，，设平面的一个法向量为
由，得，令，则，，
∴平面的一个法向量为，.......9分
易知，平面的一个法向量为，.......10分
设平面和平面的夹角为，
则，
∴平面和平面的夹角的余弦值为........12分
21.（1） 椭圆 的一个顶点为，焦距为，
， 解得，
椭圆 的方程为 ........3分
（2）在直线 上，则点 ，
由 ，得 ， .......5分
由 ,得 ， .......7分
，.......8分
，.......9分
，.......10分
，
直线过定点 ........12分
22.（1）的定义域为，
，.......1分
当时，在上单调递减，故无极值；.......2分
当时，时时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值，.......3分
综上所述，当时，无极值；
当时，的极小值为，无极大值；.......4分
（2）依题意有两个不同的零点，即有两个不同的根，
即有两个不同的根，
则①，②；.......5分
①②得③，
②①得④，.......6分
由③④整理得，
不妨设，令，
令，则，所以在上单调递增，所以，
即，即，.......8分
所以，
又，
所以，即，
令，则在上单调递增，.......10分
又，
所以，.......12分
即，所以
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