卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年山东省济南市历下区五校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．﹣的倒数是（ ）
A．﹣ B． C． D．
2．下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．中国移动数据中心IDC项目近日在高新区正式开工建设，该项目规划建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省最大的数据业务中心．其中126000用科学记数法表示应为（ ）
A．1.26×106 B．12.6×104 C．0.126×106 D．1.26×105
4．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（3a2）3＝27a6
C．x6÷x2＝x3 D．（a+b）2＝a2+b2
7．若方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根．则c的值不可能是（ ）
A．10 B．6 C．3 D．﹣5
8．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在矩形ABCD中按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AD于点E；③连接AC，CE．若DE＝3，CD＝3，则∠ACB的度数为（ ）
A．20° B．35° C．25° D．30°
10．在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），给出如下新定义，若n'＝，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点，例如：点P1（1，4）的限变点是P′1（1，2），点P2（﹣2，﹣1）的限变点是P′2（﹣2，1），若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣1≤n'＜3 B．1≤n'＜4 C．1≤n'≤3 D．﹣1≤n'≤4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式：x3﹣4x＝ ．
12．一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 ．
13．方程的解为 ．
14．如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠BEC＝ ．
15．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为 千米．
16．如图，矩形纸片ABCD，AD＝AB，点E、F分别在AD、BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A、B的对应点分别为A′、B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则的值为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：﹣（2022﹣π）0﹣2×cos30°+（﹣）﹣1．
18．解不等式组：，并写出它的正整数解．
19．如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA．
求证：△ADE≌△BCE．
20．某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝ ；
（3）已知“80～90”这组的数据如下：83，85，87，81，86，84，88，85，86，86，88，89．这组数据的众数是 分；抽取的n名学生测试成绩的中位数是 分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
21．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．
22．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是30m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．
（1）求甲楼的高度；
（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为45°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为30°，求甲乙两楼之间的距离．（结果带根号）（cos31°≈0.86．tan31°≈0.60）
23．2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
（2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？
24．正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
（1）如图（1），双曲线y＝过点E，完成填空：点C的坐标是 ，点E的坐标是 ，双曲线的解析式是 ；
（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N．求证MN∥BD；
（3）如图（3），将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AB交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．
25．【问题情境】
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 ；
【类比探究】
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
【拓展提升】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为 ．
26．抛物线y＝ax2+6x+c过A（2，3），B（4，3），C（0，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点K与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线上一点D在线段AK的上方，DE⊥AB交AK于点E，若满足，求点D的坐标；
（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动．是否存在这样的点P、Q，使得△BQP与△ABF相似（P与F为对应点），若存在，直接写出P、Q的坐标及此时△BQP的面积；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．﹣的倒数是（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数积为1．
解：∵﹣×（﹣）＝1，因此它的倒数是﹣．
故选：A．
【点评】本题考查倒数的定义，是基础题型，较为简单．
2．下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：A、的俯视图是圆，故A不符合题意；
B、俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故C不符合题意；
D、俯视图是三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3．中国移动数据中心IDC项目近日在高新区正式开工建设，该项目规划建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省最大的数据业务中心．其中126000用科学记数法表示应为（ ）
A．1.26×106 B．12.6×104 C．0.126×106 D．1.26×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：126000用科学记数法表示应为1.26×105，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
6．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（3a2）3＝27a6
C．x6÷x2＝x3 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（3a2）3＝27a6，正确；
C、x6÷x2＝x4，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．若方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根．则c的值不可能是（ ）
A．10 B．6 C．3 D．﹣5
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出c的范围，即可作出判断．
解：∵方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即（﹣c）2﹣4×1×4＝c2﹣16＞0，
整理得：（c+4）（c﹣4）＞0，
解得：c＞4或c＜﹣4，
则c的值不可能是3．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
8．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．
解：∵ab＜0，
∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数y＝图象在第二、四象限，无选项符合．
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第二、四象限，反比例函数y＝图象在第一、三象限，故B选项正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9．如图，在矩形ABCD中按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AD于点E；③连接AC，CE．若DE＝3，CD＝3，则∠ACB的度数为（ ）
A．20° B．35° C．25° D．30°
【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AC，则EA＝EC，再利用勾股定理计算出CE＝6，所以AE＝CE＝6，在Rt△ADC中利用正切的定义得到tan∠DAC＝，所以∠DAC＝30°，然后利用矩形的性质和平行线的性质得到∠ACB的度数．
解：由作法得MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
在Rt△CDE中，∵CE＝＝＝6，
∴AE＝CE＝6，
在Rt△ADC中，∵tan∠DAC＝＝＝，
∴∠DAC＝30°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝30°．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．
10．在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），给出如下新定义，若n'＝，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点，例如：点P1（1，4）的限变点是P′1（1，2），点P2（﹣2，﹣1）的限变点是P′2（﹣2，1），若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣1≤n'＜3 B．1≤n'＜4 C．1≤n'≤3 D．﹣1≤n'≤4
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据函数新定义分类讨论m＜0和m≥0时n′的取值范围．
解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，开口向下，
∴x＜2时，y随x增大而增大，x＞2时，y随x增大而减小，
∵点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象上，
∴n＝﹣m2+4m+1，
∴﹣1≤m＜0时，n′＝|﹣m2+4m+1|，
将m＝﹣1代入n＝﹣m2+4m+1得n＝﹣4，
∴m＝﹣1时，n′＝4，
将m＝0代入n＝﹣m2+4m+1得n＝1，
∵﹣4＜0＜1，
∴﹣1≤m＜0时，0≤n′≤4，
当m≥0时，n′＝n﹣2＝﹣m2+4m﹣1，
将m＝0代入n′＝﹣m2+4m﹣1得n′＝﹣1，
将m＝2代入n′＝﹣m2+4m﹣1得n′＝3，
∴当m≥0时，﹣1≤n′≤3，
综上所述，﹣1≤≤n′≤4，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，分类讨论﹣1≤m＜0时和m≥0时，n′的取值范围．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式：x3﹣4x＝ x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
12．一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 ．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
解：从袋子中随机摸出一个小球共有3种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有2种结果，
∴摸出的小球是红球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．方程的解为 2 ．
【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再检验即可．
解：去分母得：x＝2，
检验：当x＝2时，2（x﹣1）≠0，
∴x＝2是原分式方程的解．
故答案为：2．
【点评】本题考查了解分式方程，利用了转化思想，解分式方程注意要检验．
14．如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠BEC＝ 48° ．
【分析】根据多边形的内角和，分别得出∠ABE＝120°，∠DCE＝108°，再根据平角的定义和三角形的内角和算出∠BEC．
解：由多边形的内角和可得，
∠ABE＝＝120°，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣120°＝60°，
∵∠DCE＝＝108°，
∴∠BCE＝180°﹣108°＝72°，
由三角形的内角和得：
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣72°＝48°．
故答案为：48°．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
15．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为 4 千米．
【分析】由图象，通过点（1，8）和点（2，24）直线CD的解析式，求点C的横坐标，即可求出点A的坐标，从而可以求出直线AB的函数解析式，小帅到达乙地的时间为2小时，则将x＝2代入直线AB解析式即可知此时小泽的位置，从而可以求出当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离．
解：由图象可得，点（1，8）和点（2，24）在直线CD上，设直线CD的解析式为：y1＝kx+b
代入得，，解得，
∴y1＝16x﹣8
∴当y＝0时，0＝16x﹣8，解得，x＝
∴点C（，0）点A（，8）
∵点A（，8），点B（2.5，24）在直线AB上，
∴设直线AB的解析式为：y2＝kx+b
代入得，解得
∴y2＝8x+4
∴当x＝2时，y2＝8×2+4＝20，
∴此时小泽距离乙地的距离为：24﹣20＝4千米
故答案为：4
【点评】此题考查的是一次函数的应用，掌握函数图象上点的坐标及其性质是解题的关键．
16．如图，矩形纸片ABCD，AD＝AB，点E、F分别在AD、BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A、B的对应点分别为A′、B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则的值为 ．
【分析】过F作FH⊥AD于H，设EF交AA'于K，根据四边形ABCD是矩形，可得四边形ABFH是矩形，即得AD：FH＝：1，由把纸片如图沿BF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，可得△ADG∽△FHE，即可得出答案．
解：过F作FH⊥AD于H，设EF交AA'于K，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，
∵FH⊥AD，
∴∠AHF＝90°＝∠BAD＝∠ABC，
∴四边形ABFH是矩形，
∴AB＝FH，
∵AD：AB＝：1，
∴AD：FH＝：1，
∵把纸片如图沿BF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，
∴EF是AA'的垂直平分线，
∴∠AKE＝90°，
∴∠DAG＝90°﹣∠AEK＝∠HFE，
∵∠FHE＝90°＝∠D，
∴△ADG∽△FHE，
∴＝＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明△ADG∽△FHE．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：﹣（2022﹣π）0﹣2×cos30°+（﹣）﹣1．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：﹣（2022﹣π）0﹣2×cos30°+（﹣）﹣1
＝2﹣1﹣2×+（﹣2）
＝2﹣1﹣﹣2
＝﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．解不等式组：，并写出它的正整数解．
【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
解：，
不等式①的解集为：x＞﹣3．
不等式②的解集为：x≤2．
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
∴不等式组的正整数解为：1，2．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
19．如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA．
求证：△ADE≌△BCE．
【分析】根据正方形性质得出AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，根据等边三角形性质得出ED＝EC，∠EDC＝∠ECD＝60°，求出∠ADE＝∠BCE，根据全等三角形的判定推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵△EDC是等边三角形，
∴ED＝EC，∠EDC＝∠ECD＝60°，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS）．
【点评】本题考查了正方形性质，等边三角形性质，全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
20．某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝ 20% ；
（3）已知“80～90”这组的数据如下：83，85，87，81，86，84，88，85，86，86，88，89．这组数据的众数是 86 分；抽取的n名学生测试成绩的中位数是 84.5 分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
【分析】（1）先求出样本容量，再用样本容量减去已知各部分的频数，即可求出“90～100”这组的频数，从而补全频数分布直方图；
（2）用“70～80”这组的频数除以样本容量即可；
（3）根据众数和中位数的定义求解即可；
（4）用1200乘以80分以上人数所占的比例即可．
解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）；
故答案为：20%；
（3）将“80～90”这组数据进行排序：
81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89，出现次数最多的为86，
∴众数为86分，
故答案为：86；
∵“50～80”分的人数已有22人，
∴第25和26名的成绩分别是是84分，85分，
∴中位数是分；
故答案为：84.5；
（4）（人）．
∴优秀人数是672人．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体，求数据的众数与中位数．
21．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质就可以得出OE⊥PQ，就可以得出OE∥AC，可以得出∠OAE＝∠EAC而得出结论；
（2）连接BE，得出∠OAE＝∠EAC＝30°，就可以求出，在Rt△ABE中由三角函数计算出AB＝4，从而求出结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∴OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴∠OEP＝∠ACP＝90°，
∴OE∥AC．
∴∠OEA＝∠EAC，
∴∠OAE＝∠EAC，
∴AE平分∠BAC；
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°．
∵∠BAC＝60°，
∴∠OAE＝∠EAC＝30°．
∴AB＝2BE．
∵AC⊥PQ，
∴∠ACE＝90°，
∴AE＝2CE．
∵，
∴．
在Rt△ABE中，∠BAE＝30°．
∴，
∴，
解得AB＝4，
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理的应用、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是30m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．
（1）求甲楼的高度；
（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为45°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为30°，求甲乙两楼之间的距离．（结果带根号）（cos31°≈0.86．tan31°≈0.60）
【分析】（1）在Rt△ABE中，根据锐角三角函数，即可求解；
（2）过点F作FM⊥DG于点M，在Rt△CDG中，可得DG＝xm，在Rt△FGM中，根据锐角三角函数可得，再由DM＝BE＝DG﹣MG，求出x的值，即可求解．
解：（1）由题意，得：∠A＝31°，∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，，
∴，
∴BE＝30 tan31°≈18m，
答：甲楼的高度为18m；
（2）如图，过点F作FM⊥DG于点M，
设两楼间的距离为xm，则FM＝CD＝xm，
根据题意得：∠DCG＝45°，∠GFM＝30°，DM＝BE＝18m，
在Rt△CDG中，∠DCG＝45°，
∴DG＝CD＝xm，
在Rt△FGM中，，
∴，即，
∴，
解得：，
∴两楼间的距离为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
23．2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
（2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？
【分析】（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元，由题意：用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买辆A型汽车，则购买（150﹣m）辆B型汽车，由题意：该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元，
依题意得：，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×20＝30，
答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元；
（2）设购买辆A型汽车，则购买（150﹣m）辆B型汽车，
依题意得：30m+20（150﹣m）≤3600，
解得：m≤60，
答：最多可以购买60辆A型汽车．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24．正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
（1）如图（1），双曲线y＝过点E，完成填空：点C的坐标是 （4，4） ，点E的坐标是 （2，2） ，双曲线的解析式是 y＝ ；
（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N．求证MN∥BD；
（3）如图（3），将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AB交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．
【分析】（1）根据正方形的边长可确定C点的坐标，再利用正方形的性质得出E点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；
（2）设出M点和N点的坐标，根据坐标的性质得出MC＝NC，推出∠CMN＝∠CDB即可得出MN∥BD；
（3）根据E点的坐标求出AE的长，再分三种情况讨论分别求出m的值即可．
解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E，
∴C（4，4），E（2，2），
将E点坐标代入双曲线y＝，
得2＝，
解得k1＝4，
∴双曲线的解析式为y＝，
故答案为：（4，4），（2，2），；
（2）∵双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，
∴设M（m，4），N（4，n），
∴4m＝4n，
∴m＝n，
∴MC＝NC，
由正方形可知，∠BCD＝90°，
∴∠CMN＝45°，∠CBD＝45°，
∴∠CMN＝∠CBD，
∴MN∥BD；
（3）∵正方形边长为4，
由（1）知E（2，2），
∴AE＝2，
①当AP＝AE＝2时，
∵P（m，2），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，
∴2m＝2（m+2），
∴m＝2+2；
②当EP＝AE时，点P与点B重合，
∵P（m，4），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，
∴4m＝2（m+2），
∴m＝2；
③当EP＝AP时，点P、E不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在；
综上所述，满足条件的m的值为2或2+2．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键．
25．【问题情境】
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 DG＝BE ；
【类比探究】
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
【拓展提升】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为 4 ．
【分析】（1）通过证明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG＝BE．
（2）通过证明△DCG∽△BCE得到，所以DG＝BE．∠BEC＝∠DGC．延长BE、GD相交于点H．因为矩形ECGF，所以∠FEC＝∠FGC＝90°，所以∠HEF
+∠BEC＝180°﹣∠FEC＝90°，∠FGH+∠DGC＝90°，所以∠H＝∠F＝90°，所以DG⊥BE．
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．首先证明点G的运动轨迹是线段GM，将2BG+BE的最小值转化为求2（BG+DG）的最小值．
解：（1）DG＝BE
理由：
∵正方形ABCD
∴CD＝CB∠BCD＝90°
∵正方形ECGF
∴CG＝CE∠ECG＝90°
∴∠ECG＝∠BCD＝90°
∴∠DCG＝∠BCE
在△DCG和△BCE中
∴△DCG≌△BCE（SAS）
∴DG＝BE
（2）DG＝BE，DG⊥BE．理由如下：延长BE、GD相交于点H．
∵矩形ECGF、矩形ABCD
∴∠ECG＝∠BCD＝90°
∴∠DCG＝∠BCE
∵CD：CB＝2：4＝1：2
CG：CE＝1：2
∴CD：CB＝CG：CE
∵∠DCG＝∠BCE
∴△DCG∽△BCE
∴，∠BEC＝∠DGC
∴DG＝BE
∵矩形ECGF
∴∠FEC＝∠FGC＝∠F＝90°
∴∠HEF+∠BEC＝180°﹣∠FEC＝90°，∠FGH+∠DGC＝90°，
∴∠H＝∠F＝90°
∴DG⊥BE
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．
易证△ECN∽△CGM，
∴＝＝2，
∵EN＝AB＝2，
∴CM＝1，
∴点G的运动轨迹是直线MG，
作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值＝BG′
由（2）知，DG＝BE
∴BE＝2DG
∴2BG+BE＝2BG+2DG＝2（BG+DG）
∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．
∵BG′＝＝2，
∴2BG+BE的最小值为4
故答案为4．
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．
26．抛物线y＝ax2+6x+c过A（2，3），B（4，3），C（0，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点K与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线上一点D在线段AK的上方，DE⊥AB交AK于点E，若满足，求点D的坐标；
（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动．是否存在这样的点P、Q，使得△BQP与△ABF相似（P与F为对应点），若存在，直接写出P、Q的坐标及此时△BQP的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据对称性，求出a的值，根据y＝ax2+6x+c过C（0，﹣5），得到c＝﹣5，即可得出结果；
（2）求出直线AK的解析式，设点D（m，﹣m2+6m﹣5），则2＜m＜6，点E（m，﹣2m+7），求出DE，设直线DE与直线AB交于点G，勾股定理求出AE，根据，列式求解即可；
（3）易得△ABF为等腰直角三角形，根据相似，得到△BQP为等腰直角三角形，∠BPQ＝90°，BP＝PQ，分Q在x轴负半轴和Q在x轴正半轴，两种情况，分类讨论求解即可．
解：（1）∵y＝ax2+6x+c过C（0，﹣5），
∴c＝﹣5，
∵y＝ax2+6x+c过A（2，3），B（4，3），
又A（2，3），B（4，3）的纵坐标相同，
∴A，B两点关于对称轴对称，
∴，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）∵点K与点C关于抛物线对称轴对称，C（0，﹣5），
∴K（6，﹣5），
设直线AK的表达式为y＝kx+n，
则：，
解得：k＝﹣2，n＝7，
∴直线AK的表达式为y＝﹣2x+7，
设点D（m，﹣m2+6m﹣5），则2＜m＜6，点E（m，﹣2m+7），
∴DE＝﹣m2+6m﹣5﹣（﹣2m+7）＝﹣m2+8m﹣12，
设直线DE与直线AB交于点G，
∵AG⊥EG，
∴AG＝m﹣2，EG＝3﹣（﹣2m+7）＝2（m﹣2），
在Rt△AEG中，，
由，
得，
化简得，2m2﹣11m+14＝0，
解得：，m2＝2（不合题意，舍去），
∴．
（3）存在；
∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴F（3，4），
∵A（2，3），B（4，3），
∴，
∵AB＝2，
∴AF2+BF2＝4＝AB2，
∴△AFB为等腰直角三角形，
∵△BQP与△ABF相似，P与F为对应点，
∴△BQP为等腰直角三角形，∠BPQ＝90°，BP＝PQ，
①当Q在x轴负半轴时，如图：
过P作MN∥x轴，过Q作QM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，
由题意得∠QMP＝∠PNB＝90°，
∴∠QPM＝∠PBN＝90°﹣∠BPN，
又∵PQ＝BP，
∴△PQM≌△BPN（AAS），
∴QM＝AB＝2，PM＝BN＝AP＝3+2＝5，
∵点P在直线l上运动，A（2，3），
∴P（2，﹣2），Q（﹣3，0），
在Rt△QMP中，PM＝5，QM＝2，由勾股定理得：，
∴；
②当Q在x轴正半轴时，如图：直线l交x轴于点M，
同法可得：△BAP≌△PMQ（AAS），
∴AB＝PM＝2，AP＝MQ＝3﹣2＝1，
∴P（2，2），Q（3，0），
在Rt△QMP中，PM＝2，QM＝1，由勾股定理得：，
∴．
【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
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