卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年江苏省连云港市东海县西部四校联考八年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置）
1．下列图形中的轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AC，BD相交于点O，若OA＝OD，用“SAS”说明△AOB≌△DOC，还需添加条件（ ）
A．∠AOB＝∠DOC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．AB＝CD
3．玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
4．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A．AC＝A'C' B．AB∥B'C' C．AA'⊥MN D．BO＝B'O
5．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．G，H两点处 B．A，C两点处 C．E，G两点处 D．B，F两点处
6．如图，BC∥EF，BC＝EF，要使得△ABC≌△DEF，需要补充的条件不能是（ ）
A．∠B＝∠E B．AB＝DE C．AD＝CF D．AB∥DE
7．将一张菱形纸片，按下图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A、C、E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下六个结论：①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤PQ∥AE；⑥OC平分∠AOE．其中正确结论的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置）
9．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ．
10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 cm．
11．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，还需添加的条件是（只需填一个） ．
12．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，若BC＝10，BD＝6，则D到AB的距离为 ．
13．如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2＝ 度．
14．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D与点C分别落在点D'和点C'的位置上，ED'与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1为 度．
15．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝2，AC＝4，则AD的取值范围是 ．
16．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．
三、解答题（本大题共有7道题，合计76分，请将答案写在答题卡相应的位置）
17．尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）
18．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使PB+PC的长最小．
19．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC．
20．如图，在△ABE和△DCF中，B、E、C、F共线，AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE，求证：AE＝DF．
21．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E、D，AD＝2.6cm，DE＝1.2cm．
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）求BE的长．
23．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
24．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC．图中AE，BD有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论．
25．如图，在△ABC中，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G．
（1）求证：BF＝CG；
（2）若AB＝12，AC＝8，求线段CG的长．
26．如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．
（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．
（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．
（3）若连接OP，请说明OP平分∠EPF．
27．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置）
1．下列图形中的轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．如图，AC，BD相交于点O，若OA＝OD，用“SAS”说明△AOB≌△DOC，还需添加条件（ ）
A．∠AOB＝∠DOC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．AB＝CD
【分析】要用SAS说明△AOB≌△DOC，已知有一组边OA，OD对应相等，且有一组对顶角∠AOB，∠DOC相等，从而再添加OB＝OC即满足条件．
解：还需OB＝OC
∵OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC
∴△AOB≌△DOC（SAS）
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要根据给出的已知条件在图形的位置来确定要添加的条件，对选项要逐个验证．
3．玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
解：带③去符合“角边角”可以配一块同样大小的三角板．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
4．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A．AC＝A'C' B．AB∥B'C' C．AA'⊥MN D．BO＝B'O
【分析】根据轴对称的性质，一一判断即可．
解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝OB′，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解轴对称的性质，属于中考常考题型．
5．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．G，H两点处 B．A，C两点处 C．E，G两点处 D．B，F两点处
【分析】用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：C．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
6．如图，BC∥EF，BC＝EF，要使得△ABC≌△DEF，需要补充的条件不能是（ ）
A．∠B＝∠E B．AB＝DE C．AD＝CF D．AB∥DE
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠F，再根据全等三角形的判定逐个判断即可．
解：∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠F，
A．∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∵AD＝CF，
∴AD+DC＝CF+DC，
即AC＝DF，
AC＝DF，∠ACB＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∴∠A＝∠EDF，∠ACB＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
7．将一张菱形纸片，按下图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
解：严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论．故选：A．
【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．
8．如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A、C、E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下六个结论：①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤PQ∥AE；⑥OC平分∠AOE．其中正确结论的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】证明①可先证明△ACD≌△BCE，已有：AB＝BC，CD＝CE，易得∠ACD＝∠BCE，其他的证明需要通过①得到，再利用等边三角形的知识分别进行证明即可得出答案．
解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
故①正确；
由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCQ＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠ACP，
又AC＝BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，
故③正确；
∵△CQB≌△CPA，
∴CQ＝CP，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，
故⑤正确；
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，
故④错误；
∵∠ACB＝∠CED＝60°，
∴BC∥DE，
∴∠CBE＝∠BED，
∵∠CBE＝∠DAE，
∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，故②正确；
作CM⊥AD，CN⊥BE，
由①知△ACD≌△BCE，则对应边上的高相等，即CM＝CN，
∴点C在∠AOE的平分线上，即OC平分∠AOE，故⑥正确．
故正确的有①②③⑤⑥共5个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及三角形全的判定与性质；熟练应用三角形全等的证明是正确解答本题的关键．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置）
9．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 10：21 ．
【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2．
解：电子表的实际时刻是10：21，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
故答案为10：21．
【点评】对于这类题型常用的解题方法为把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 21 cm．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC和AC＝2AE＝8cm，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝21cm，
故答案为：21．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，还需添加的条件是（只需填一个） AC＝AD ．
【分析】由∠1＝∠2可求得∠ABC＝∠DBE，结合BC＝BE，要使△ABC≌△DBE，可再加一边利用SAS来证明全等．（答案不唯一）
解：
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，
∵AB＝AE，
∴可添加AC＝AD，
此时两三角形满足“SAS”，可证明其全等，
故答案为：AC＝AD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
12．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，若BC＝10，BD＝6，则D到AB的距离为 4 ．
【分析】由已知条件首先求出线段CD的大小，接着利用角平分线的性质得点D到边AB的距离等于CD的大小，问题可解．
解：∵BC＝10，BD＝6，
∴CD＝4，
∵∠C＝90°，∠1＝∠2，
∴点D到边AB的距离等于CD＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；题目较为简单，属于基础题．
13．如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2＝ 90 度．
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
解：如图所示，∵AB＝BE，BC＝BD，∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴△ABC≌△EBD（SAS），
∴∠ACB＝∠1，
∵∠ACB+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查全等图形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
14．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D与点C分别落在点D'和点C'的位置上，ED'与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1为 70 度．
【分析】根据平行线的性质，由四边形ABCD是长方形，得AD∥BC，那么∠EFG＝∠DEF＝55°，从而得到∠DEF＝∠GEF＝∠EFG＝55°，进而解决此题．
解：由题意得：∠DEF＝∠GEF．
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC．
∴∠EFG＝∠DEF＝55°．
∴∠DEF＝∠GEF＝∠EFG＝55°．
∴∠DEG＝∠DEF+∠GEF＝55°+55°＝110°．
∴∠1＝180°﹣DEG＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查平行线的性质、图形折叠的性质，熟练掌握平行线的性质、图形折叠的性质是解决本题的关键．
15．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝2，AC＝4，则AD的取值范围是 1＜AD＜3 ．
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接CE，则可得△ABD≌△ECD，得出AB＝CE，在△ACE中，由三角形三边关系，即可求解结论．
解：延长AD到E，使AD＝DE，连接CE，如图，
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝CD，又AD＝DE，∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB＝CE，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即AC﹣AB＜AE＜AC+AB，
4﹣2＜AE＜4+2，即2＜AE＜6，
∴1＜AD＜3．
故此题的答案为：1＜AD＜3．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系问题，能够熟练运用．
16．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 1或1.5 cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．
【分析】设点Q的运动速度是xcm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，列出方程，求出方程的解即可．
解：设点Q的运动速度是xcm/s，
∵∠CAB＝∠DBA，
∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：
①AP＝BP，AC＝BQ，
则1×t＝4﹣1×t，
解得：t＝2，
则3＝2x，
解得：x＝1.5；
②AP＝BQ，AC＝BP，
则1×t＝tx，4﹣1×t＝3，
解得：t＝1，x＝1，
故答案为：1或1.5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
三、解答题（本大题共有7道题，合计76分，请将答案写在答题卡相应的位置）
17．尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）
【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．
【解答】解；如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
18．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使PB+PC的长最小．
【分析】（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用割补法即可得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
解：（1）如图所示：
（2）△ABC的面积＝；
（3）如图所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据与轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积．
19．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC．
【分析】根据∠1＝∠2，可得∠ABD＝∠EBC，然后结合∠C＝∠D，BC＝BD，利用ASA可证明△ABD≌△EBC．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD，
∴∠ABD＝∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（ASA）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．如图，在△ABE和△DCF中，B、E、C、F共线，AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE，求证：AE＝DF．
【分析】根据平行线性质求出∠B＝∠C，求出BE＝CF，由“SAS”可证△ABE≌△DCF，可得AE＝DF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，
即BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
21．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．
【分析】根据线段的垂直平分线的判定定理可知AD是线段BC的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知EB＝EC．
解：∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴EB＝EC．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E、D，AD＝2.6cm，DE＝1.2cm．
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）求BE的长．
【分析】（1）由余角的性质得出∠ACD＝∠CBE，再根据AAS可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得出AD＝CE＝2.6cm，CD＝BE，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∵BE⊥CE，
∴∠ECB+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
在△CAD和△BCE中，
，
∴△CAD≌△BCE（AAS）；
（2）解：∵△CAD≌△BCE，
∴AD＝CE＝2.6cm，BE＝CD，
∵DE＝CE﹣CD＝1.2cm，
∴CD＝BE＝2.6﹣1.2＝1.4cm．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
23．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周长＝AB；
（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．
24．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC．图中AE，BD有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论．
【分析】先求得∠BCD＝∠ACE，根据SAS即可证得△BCD≌△ACE，由全等三角形的性质得出BD＝AE，∠DBC＝∠EAC，然后根据三角形内角和定理即可证得∠AOH＝90°，即可得出结论．
解：BD＝AE，BD⊥AE，理由如下：如图所示：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
∴BD＝AE，∠DBC＝∠EAC，
∵∠AHO＝∠BHC，
∴∠AHO+∠EAC＝∠BHC+∠DBC＝90°，
∴∠AOH＝90°，
∴BD⊥AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G．
（1）求证：BF＝CG；
（2）若AB＝12，AC＝8，求线段CG的长．
【分析】（1）连接EC、EB，根据AE是∠CAB的平分线，得出EG＝EF，再根据ED垂直平分BC，得出Rt△CGE≌△BFE，从而证出BF＝CG；
（2）根据全等三角形的性质得到AF＝AG，求得AG＝10，即得到结论．
【解答】（1）连接EC、EB．
∵AE是∠CAB的平分线，
EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴EG＝EF，
又∵ED垂直平分BC，
∴EC＝EB，
∴Rt△CGE≌Rt△BFE（HL），
∴BF＝CG；
（2）在Rt△AEF和Rt△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（HL），
∴AF＝AG，
∵BF＝CG，
∴AB+AC＝AF+BF+AG﹣CG＝2AG，
∵AB＝12，AC＝8，
∴AG＝10，
∴CG＝AG﹣AC＝2．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，在解题时要注意判定和性质的灵活应用以及与角平分线的性质的联系是本题的关键．
26．如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．
（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．
（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．
（3）若连接OP，请说明OP平分∠EPF．
【分析】（1）根据轴对称的性质得出ME＝PE，NF＝PF，再由MN＝20cm即可得出结论；
（2）要求∠EPF的度数，要在△EPF中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与∠MPN的关系，利用已知∠AOB＝35°可求出∠EPF，答案可得；
（3）如图，连接OM，ON，OP．证明∠OPE＝∠OME，同法可证∠OPF＝∠ONF，由OM＝ON，推出∠OME＝∠ONF，可得结论．
解：（1）∵点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF，MN＝20cm，
∴ME+EF+NF＝PE+EF+PF＝MN＝20cm，即△PEF的周长是20cm；
（2）如图，
∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴∠PRE＝∠PTF＝90°，
∴在四边形OTPR中，
∴∠MPN+∠AOB＝180°，
∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，
即∠MPN+∠M+∠N＝180°，
∴∠M+∠N＝∠AOB＝35°，
∴∠EPF＝180°﹣35°×2＝110°；
（3）如图，连接OM，ON，OP．
∵P，M关于OA对称，
∴OA垂直平分线段PM，
∴OM＝OP，EM＝EP，
∴∠OPM＝∠OMP，∠EPM＝∠EMP，
∴∠OPE＝∠OME，
同法可证∠OPF＝∠ONF，
∵OM＝ON，
∴∠OME＝∠ONF，
∴∠OPE＝∠OPF，
∴OP平分∠EPF．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，在计算的过程中运用了四边形的内角和和三角形的内角和定理及其推论，属于辛苦常考题型．
27．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．
解：（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，
证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解题的关键．
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