湖北省部分重点高中优录班2023-2024高一上学期11月联考数学试题（原卷版+解析版）

2023年湖北省部分重点高中优录班高一年级11月联考
高一数学试卷
试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的解法，结合集合并集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：C
2. 下列命题中不正确的是（ ）
A 对于任意实数，二次函数图象关于轴对称
B. 点到圆心距离大于半径是在外的充要条件
C. 存在正整数、使
D. 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数的对称性可判断A选项；利用点与圆的位置关系可判断B选项；分析可知，对任意的、，为偶数，可判断C选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，对于任意实数，二次函数的对称轴为轴，A对；
对于B选项，点到圆心距离大于半径是在外的充要条件，B对；
对于C选项，对任意的、，为偶数，即，C错；
对于D选项，“两个三角形面积相等”不能推出“两个三角形全等”，
“两个三角形全等”可推出“两个三角形面积相等”，
所以，两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，D对.
故选：C.
3. （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案.
【详解】，
，
，
所以，
所以
.
故选：A
4. 已知直角三角形的面积等于，则该三角形的周长的最小值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设两条直角边长分别为、，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长的最小值.
【详解】由直角三角形的面积等于可设两条直角边长分别为、，
则该直角三角形的周长为，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故该三角形的周长的最小值为，
故选：B
5. 已知函数f（x）＝3x+x，g（x）＝log3x+x，h（x）＝x3+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. c＞a＞b D. b＞a＞c
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图像的交点比较大小即可.
【详解】f（x）＝3x+x＝0,则x＝﹣3x,
g（x）＝log3x+x,则x＝﹣log3x,
h（x）＝x3+x,则x＝﹣x3,
∵函数f（x）,g（x）,h（x）的零点分别为a,b,c,
作出函数y＝﹣3x,y＝﹣log3x,y＝﹣x3,y＝x的图象如图,
由图可知：b＞c＞a,
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数零点的运用以及数形结合求解函数值大小的问题,属于中档题.
6. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度.
【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，
所以当大轮转动一周时时，大轮转动了50个齿，
所以小轮此时转动周，
即小轮转动的角度为.
故选：D
7. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果.
【详解】
设，则，即，故，
因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，
故原方程共有6个根.
故选：D.
8. 已知，且，则的最小值是（ ）
A. B. 3 C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知等式，用的代数式表示，代入所求代数式中，再利用基本不等式进行求解即可.
【详解】由，则，由，则，则，
故
（当且仅当
时等号成立），所以.
故选：A
【点睛】关键点睛：本题的关键是用的代数式表示，再利用基本不等式进行求解.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B. 圆的一条弦长等于半径，则这条弦对的圆心角是
C. 经过4小时时针转了
D. 若角与终边关于轴对称，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据三角函数的定义判断A选项；根据圆的性质判断B选项；根据角的定义判断C选项；根据终边关于轴对称的角的关系判断D选项.
【详解】设角终边上点的坐标为，则，若角终边在第二象限或第四象限，则，若，则角终边在第二象限或第四象限，所以角终边在第二象限或第四象限的充要条件为，故A正确；
圆的一条弦等于半径，则圆心角为，即，故B正确；
经过4小时时针旋转了，故C错；
若角和角的终边关于轴对称，则，故D错.
故选：AB.
10. 给出下列4个结论，其中正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数与是相同的函数
C. 函数定义域为，则函数定义域为
D. 函数最小值是2
【答案】BC
【解析】
【分析】根据真数大于零，解三角不等式即可判断选项A；先判断函数定义域，再判断函数解析式即可判断选项B；根据抽象函数求定义域的方法判断选项C；利用基本不等式，结合等号成立条件判断选项D.
【详解】由得，结合函数图象，可知，，
所以函数的定义域为，故A错误；
由得，所以的定义域为，
由得，所以的定义域为，
又因为，故函数与是相同的函数，
故B正确；
因为函数定义域为，所以，所以，
所以，解得或，
即函数定义域为，故C正确；
，
当且仅当即时等号成立，
又无实数解，故函数取不到最小值2，故D错误.
故选：BC
11. 一元二次不等式，对一切实数恒成立的充分条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式对一切实数恒成立得到，然后判断充分条件即可.
【详解】若一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解得，
设，一元二次不等式对一切实数恒成立的充分条件构成集合，则，所以ABD正确，C错.
故选：ABD.
12. 已知函数定义域为，且为奇函数，为偶函数，且时，，则下列结论正确的是（ ）
A. 周期为4
B.
C. 在上为减函数
D. 方程有且仅有四个不同的解
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，根据为奇函数，为偶函数得到，，然后通过替换得到，即可得到的周期为8；B选项，为奇函数得到，即可得到，然后结合周期求函数值即可；C选项，根据图象判断单调性；D选项，将的解转化为与图象交点横坐标，然后结合图象判断即可.
【详解】
由为奇函数，为偶函数，则，，
则，，
，，，
的周期为8，故A错；
由题可得，，
又，，
∴当，，
，故B正确；
因为，，所以关于，关于直线对称，
又时，由此可得函数的大致图象，则在上为减函数，故C正确；
与图像交点横坐标即为解，由图可知，两图有4个公共点，即方程有4个解，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）
13. 已知函数，若与值域相同，请写出一个这样的函数，__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用换元法求的值域，即可得到的值域，然后写即可.
【详解】令，解得，所以的定义域为，
令，则，所以函数的值域为，
所以的值域为.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据和差公式和同角三角函数基本关系计算即可.
【详解】因为，所以，
.
故答案为：-1.
15. 已知函数在上单调递增，则取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用整体代入得方法得到的单调递增区间，然后列不等式求解即可.
【详解】令，解得，
所以的单调递增区间为，
因为在上单调递增，所以，解得，
所以.
故答案为：
16. 若函数最小值为4，则实数取值集合是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，变形后分类讨论去掉绝对值符号，确定最小值后可得.
【详解】设，则化为，
①当时，在上单调递增，无最小值；
②当时，，不符合题意；
③当时，
在递减，在递增，
，故.
故答案：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合.
（1）；
（2）若，求实数取值范围.
【答案】17. 或
18.
【解析】
【分析】（1）解不等式得到，然后求补集即可；
（2）根据得到，然后分和两种情况讨论即可.
【小问1详解】
由，则，即，故，
或.
【小问2详解】
由，则，
（i），则，故.
（ii），则，由，则，
∴，
综上，.
18. 已知在区间上最大值为6.
（1）求单调增区间；
（2）当时，关于不等式有解，求实数取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即可.
（2）由（1）中函数式结合给定不等式，分离参数，利用正弦函数性质求出在上的值域即可求解得答案.
【小问1详解】
依题意，，
由，得，则当，即时， ，解得，
因此，由，得，
所以函数的单调增区间为.
【小问2详解】
由（1）知，，不等式化为，
依题意，不等式对有解，
由，得，则，因此，
从而，则，
所以实数取值范围是.
19. 已知函数.
（1）请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，后画图）
（2）设，当时，试讨论函数零点情况.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据五点作图法列表画图；
（2）将的零点个数转化为与交点个数，然后结合图象分析即可.
【小问1详解】
列表如下：
0
0
0 2 0 -2
【小问2详解】
令，则，由，则，
结合的图象研究与公共点个数.
（i），即，有4个公共点；
（ii），即，有5个公共点；
（iii），即，有4个公共点；
（iv），有2个公共点；
（v），无公共点.
综上，①或，有4个零点；
②，有5个零点；
③，有2个零点；
④，无零点.
20. 2023年10月20日，以“高质量、全生态、大集群、新标杆”为主题的第一届中国 麻城国际石材博览会在湖北省麻城市成功举办，本届博览会展区共有来自11个国家和国内18个省市的352家企业参展，招商引资集中签约项目38个，总投资额达101.8亿元.麻城石材，因白鸭山而闻名，背靠着5亿立方米储量的资源宝库，是全球最大的花岗岩临矿生产基地，麻城石材园区现有规模以上企业126家，产业园区每天进出车辆超1万台次.某石材摆件创意公司统计了公司产品去年近12个月销售情况，已知第个月每件产品为（单位：元），且（），设第个月的月交易量为（单位：万件），该企业统计了四个月的交易量，如表所示：
第月 1 2 5 10
万件 20 15 12 11
（1）给出以下两种函数模型：①；②.请你根据上表中数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述产品月销售量（单位：万件）与（单位：月）的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；
（2）根据（1）的结论求出产品在过去12个月的第月的销售总额（单位：万元）的函数关系式，并求的最小值.
【答案】20. 择模型②，理由见解析，
21. ，
【解析】
【分析】（1）选取第1个月与第2个月的数据分别求出两个函数模型的解析式，再代入第5个月和第10个月数据验证哪个函数拟合效果更好；
（2）首先求出分段函数的解析式，再利用函数的单调性求出最小值.
【小问1详解】
对于模型①，，
由题意：，则
此时，点均不在的图象上；
对于模型②，，则，
此时，点均在的图象上，
故选择模型②，；
【小问2详解】
因为，
当时，，
，
当时，，
，
，
当时，在递减，在递增，
（万元），
当时，为减函数，（万元），
故该产品在过去12个月，第12个月销售总额最小为万元.
21. 已知函数，其中.
（1）当时，函数在区间和上递减，求实数的取值范围；
（2）若对，都存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用绝对值概念化简函数，利用单调性建立不等式求解即可；
（2）利用命题的否定转化为，分类讨论求解函数最值即可.
【小问1详解】
令，则，
当时，的零点为，
当或时，，，
当时，，，
，由在和单调递减，
，，，；
【小问2详解】
由题意，即，
对，使，
其否定为，使，
设，则只需即可.
（i），则在递增，，
.
（ii），则在递减，在递增，
，
，
，综上：.
在全集为时，的补集为，综上：.
22. 已知函数.
（1）若，求；
（2）设，证明在上且只有一个零点，且.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式和二倍角余弦公式代入求解即可；
（2）当时，由零点存在定理得只有一个零点，当时，利用函数值的范围得无零点，再化简，利用函数的单调性证不等式.
【小问1详解】
由，则，
所以.
【小问2详解】
，当时，，所以递增，
又，，由零点存在定理，在有唯一零点，
当时，，，所以，故在无零点.
综上，在有且仅有一个零点，
由上面解析知且，
所以，，
由单调性的性质知：在上单调递减，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性结合零点存在性定理是证明或判断零点区间的常用方法，对于函数的单调性的判定一般利用定义法、性质法、导数法等.2023年湖北省部分重点高中优录班高一年级11月联考
高一数学试卷
试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列命题中不正确的是（ ）
A 对于任意实数，二次函数图象关于轴对称
B. 点到圆心距离大于半径是在外的充要条件
C. 存在正整数、使
D. 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件
3. （ ）
A. B. C. 1 D.
4. 已知直角三角形的面积等于，则该三角形的周长的最小值为（ ）.
A B. C. D.
5. 已知函数f（x）＝3x+x，g（x）＝log3x+x，h（x）＝x3+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. c＞a＞b D. b＞a＞c
6. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知，且，则的最小值是（ ）
A. B. 3 C. D. 8
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B. 圆一条弦长等于半径，则这条弦对的圆心角是
C. 经过4小时时针转了
D. 若角与终边关于轴对称，则
10. 给出下列4个结论，其中正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数与是相同的函数
C. 函数定义域为，则函数定义域为
D. 函数最小值是2
11. 一元二次不等式，对一切实数恒成立的充分条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数定义域为，且为奇函数，为偶函数，且时，，则下列结论正确的是（ ）
A. 周期为4
B.
C. 在上为减函数
D. 方程有且仅有四个不同的解
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）
13. 已知函数，若与值域相同，请写出一个这样函数，__________.
14. 已知，则__________.
15. 已知函数在上单调递增，则取值范围是__________.
16. 若函数最小值为4，则实数取值集合是__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合.
（1）；
（2）若，求实数取值范围.
18. 已知在区间上最大值为6.
（1）求单调增区间；
（2）当时，关于不等式有解，求实数取值范围.
19. 已知函数.
（1）请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，后画图）
（2）设，当时，试讨论函数零点情况.
20. 2023年10月20日，以“高质量、全生态、大集群、新标杆”为主题的第一届中国 麻城国际石材博览会在湖北省麻城市成功举办，本届博览会展区共有来自11个国家和国内18个省市的352家企业参展，招商引资集中签约项目38个，总投资额达101.8亿元.麻城石材，因白鸭山而闻名，背靠着5亿立方米储量的资源宝库，是全球最大的花岗岩临矿生产基地，麻城石材园区现有规模以上企业126家，产业园区每天进出车辆超1万台次.某石材摆件创意公司统计了公司产品去年近12个月销售情况，已知第个月每件产品为（单位：元），且（），设第个月的月交易量为（单位：万件），该企业统计了四个月的交易量，如表所示：
第月 1 2 5 10
万件 20 15 12 11
（1）给出以下两种函数模型：①；②.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述产品月销售量（单位：万件）与（单位：月）的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；
（2）根据（1）的结论求出产品在过去12个月的第月的销售总额（单位：万元）的函数关系式，并求的最小值.
21. 已知函数，其中.
（1）当时，函数在区间和上递减，求实数的取值范围；
（2）若对，都存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
22. 已知函数.
（1）若，求；
（2）设，证明在上且只有一个零点，且.

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