卷子答案网-一个不只有答案的网站肇庆市2023-2024学年高二上学期期中考试数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在棱长为1的正方体中，（ ）
A．1 B． C． D．2
3．两条平行直线与间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
4．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
5．若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．若圆被直线平分，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．9
8．若点在圆上运动，为的中点．点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知直线：，：，则（ ）
A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或
C．若，则 D．恒过定点
10．下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则．
B．若空间四个点，，则三点共线．
C．已知向量，，若，则为钝角．
D．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底；
11．以下四个命题正确的是（ ）
A．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为
B．若圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，则
C．过点且与圆相切的直线方程为
D．过直线上一动点作圆的两条切线为切点，则直线AB经过定点
12．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，AA1=1，点P满足，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列选项正确的是（ ）
A．当λ=1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ=1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值
C．当时，有且仅有两个点P，使得A1P⊥BP
D．当时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
三、填空题
13．已知直线：，：，若，则实数的值为 .
14．在正四面体中，是上的点，且，是的中点，若，则的值为 ．
15．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 .
16．已知矩形ABCD，，沿对角线AC将折起，若二面角的余弦值为，则B与D之间距离为 ．
四、解答题
17．的三个顶点是，求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)求的面积；
(3)边的垂直平分线的方程.
18．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，求MN的长．
19．在平面直角坐标系中，已知四点.
(1)求过三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系；
(2)过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程.
20．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
21．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足
(1)求动点P的轨迹C的方程
(2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.
22．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】由向量共线与向量夹角的关系，判断
【详解】空间任意两个非零向量，，
，包括向量和同向共线和反向共线两种情况，
即当时，有或，不能得到，充分性不成立.
，则和方向相同，有，必要性成立；
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．B
【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果．
【详解】．
故选：B．
3．C
【分析】直接利用两平行线间的距离公式求解.
【详解】解：两条平行直线与，
由平行直线间距离公式可知所求距离为．
故选：C．
4．C
【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．
【详解】依题意，是直线的一个方向向量，
所以直线的斜率，
所以直线的倾斜角为．
故选：C．
5．A
【分析】由题意可知点与圆心的距离大于圆的半径，由此可以列出与有关的不等式，从而解不等式即可求解.
【详解】一方面：将圆：化为标准方程可得，
首先有圆心，其次圆的半径满足，解得，
另一方面：又因为点在圆：的外部，
所以，即，解得；
综上所述：的取值范围为.
故选：A.
6．A
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】向量，，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A
7．D
【分析】由题意可得圆心在直线，即得，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意圆被直线平分，
即圆心在直线上，故，
即，
故，
当且仅当，结合，即时去等号，
即的最小值为为9，
故选：D
8．B
【分析】由题意可知，点的运动轨迹为圆，两圆上动点距离最小值为圆心距减去两圆半径即可.
【详解】∵点在圆上运动，，
∴中点到圆心的距离为，
由圆的定义可知，点的运动轨迹为以，半径的圆，
又∵点在圆
∴的最小值为：.
故选：B.
9．AC
【分析】将代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断选项B、C；将化简得，结合一次函数的性质可判断D.
【详解】对于A，当，直线：，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确；
对于B，若，当时，显然不符合题意，
当时，即直线的斜率为，直线的斜率为，则有，
所以，解得或；
当时，直线：，：，显然两直线重合，故B错误；
对于C，若，当时，显然不符合题意；
当时可得，解得，即C正确；
对于D，将化简得，可知当时，直线过，即不论为何值时，直线恒过定点，即D错误；
故选：AC
10．ABD
【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断AC，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断BD.
【详解】对于A：因为，，则，故A正确；
对于B：因为，则，
即，又与有公共点，所以三点共线，故B正确；
对于C：若为钝角：则，且与不共线，
由得，
当时与平行时， ，
由与不共线得，于是得当且时，为钝角，故C错误；
对于D：是空间的一组基底，则向量不共面，
由，所以也不共面，
故也是空间的一组基底，故D正确，
故选：ABD.
11．BD
【分析】分截距为和截距不为两种情况讨论，即可判断A，求出圆心到直线的距离，即可判断B，分斜率存在于不存在两种情况讨论，即可判断C，设坐标为，求出以的直径的圆的方程，从而求出弦的方程，再求出定点坐标，即可判断D.
【详解】对于A：若在轴和轴上的截距均为，则直线方程为，
若在轴和轴上的截距均不为，设直线方程为，则，
解得，所以直线方程为，故A错误；
对于B：圆心到直线的距离，
因为圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，
所以圆的半径为，则，故B正确；
对于C：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时满足直线与圆相切，
若直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，
所以圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为，故C错误；
对于D：设点坐标为，所以，
因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，
所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，
整理可得，与已知圆相减可得，
消去可得，即，
由可得，
所以直线经过定点，故D正确.
故选：BD
12．BCD
【分析】对A，当时，线段，由此判断A；对B，当时，点的轨迹为线段，证明平面，结合锥体体积公式判断B；对C，D采用建系法，当时，由列方程求，判断C，同理当时，求出，利用，可验证点唯一，判断D.
【详解】因为点P满足，其中，
所以点在矩形内部（含边界）．
对于A项，当时，．
即此时线段，
因为为变值，
故的周长不是定值，故A项错误；
对于B项，当时，，
故此时点的轨迹为线段，而，所以平面，
则点到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B项正确；
对于C项，当时，，
取，的中点分别为，，则，
所以点的轨迹为线段，
不妨建系解决，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
，
所以或，故H，Q均满足，故C项正确；
对于D项，当时，，
取，的中点为M，N，，
所以点的轨迹为线段，
设，因为，
所以，，
所以，
此时点与重合，故D项正确．
故选：BCD
13．
【分析】分类讨论直线的斜率是否存在即可求解.
【详解】若直线的斜率存在，即，
直线的斜率，，所以有，
即，解得：，
若直线的斜率不存在，即，
此时，不满足.
综上：
故答案为：
14．
【分析】根据向量的线性运算再结合空间向量的基本定理即可得到答案.
【详解】如图所示：
.
由空间向量基本定理得：，，.
故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查空间向量的线性运算，同时考查空间向量的基本定理，属于简单题.
15．
【分析】根据对称性可求得关于直线l的对称点的坐标，再利用直线的两点式方程即可求得结果.
【详解】由题意可知，反射光线经过点关于直线的对称点，
如图所示：
直线的方程即为反射光线所在的直线方程，
又，可得，
根据直线的点斜式方程可得，反射光线所在直线方程为，
整理得，即反射光线所在直线的方程为.
故答案为：.
16．
【分析】过和分别作，由题意可得、，由二面角的余弦值为，得，再利用可求得结果.
【详解】过和分别作，
由，则，
由等面积法知：，故，
则，即，
二面角的余弦值为，即，
，
，
则，即与之间距离为.
故答案为：
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求得边中点的坐标，再由两点式方程即可得到结果；
（2）先求得直线的方程，再由点到直线的距离公式即可得到点到直线的距离，再由三角形的面积公式，即可得到结果；
（3）由直线的斜率可得其垂直平分线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得到结果.
【详解】（1）因为，则边中点的坐标为，且，
则直线的方程为，化简可得.
（2）因为，则，由点斜式可得，
化简可得，则点到直线的距离为，
且，则.
（3）由（2）可知，，则边的垂直平分线的斜率为，
由（1）可知，边中点的坐标为，由点斜式方程可得
，即.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
【详解】（1）解：
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
即MN的长为.
19．(1)，在圆上
(2)或
【分析】（1）设圆方程为，然后将三点坐标代入可求出圆的方程，再将点代入圆的方程验证即可，
（2）由已知可求得圆心到直线距离为1，然后分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况求解即可.
【详解】（1）设圆方程为
把三点坐标代入可得：，
解得，
所以圆方程是
把点坐标代入可得：，故在圆上.
（2）由，得，
所以圆心，半径为，
因为弦长等于4，所以圆心到直线距离为，
当直线的斜率不存在时，即方程为，圆心到直线距离为1，满足题意
若直线的斜率存在，设直线方程为
圆心到直线的距离，解得
所以过点的直线为或.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量法证明即可；
（2）求平面和平面的法向量，利用空间向量法求解即可；
【详解】（1）因为底面，底面，且底面是边长为2的正方形，
所以两两垂直，
以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，取可得，所以平面的一个法向量为，
因为，所以平面.
（2）由（1）得，，
设平面的法向量为，
则，取可得，所以平面的一个法向量为，
由（1）得平面的一个法向量为，
设二面角为，
则，
又由图可知为钝角，
所以二面角的大为．
21．(1)；
(2)或.
【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答.
（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.
【详解】（1）设，由，得，
化简得，
所以P点的轨迹的方程为.
（2）由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆，
当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切；
当直线l的斜率存在时，设，即，
于是，解得，因此直线的方程为，即，
所以直线l的方程为或.
22．(1)证明见解析
(2)存在，或
【分析】（1）连接交于M，由，可证，可得，即可证得结论；
（2）取中点O，则，结合已知条件可证得底面，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，设，用向量法表示CH与平面所成角的正弦值得的方程，求解即可．
【详解】（1）连接交于M，
，，
，，
，，
又平面，平面，平面．
（2）设线段上存在一点H，使得与平面所成角的余弦值为，
即与平面所成角的正弦值为，
设，
取中点O，连接，
，
侧面底面，侧面底面，侧面，
底面，
∵，，
以O为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则令，则，
∴平面的一个法向量为，
又，，
又，，
设与平面所成角，
则，
整理得，解得或，
当时，，
当时，
故在线段上存在一点H，使得与平面所成角的余弦值为，
或