卷子答案网-一个不只有答案的网站福建省2022-2023学年高二上学期期末数学试题汇编-06圆锥曲线的方程（抛物线）（解析版）
一、单选题
1．（22·23上·南平·期末）过抛物线C：焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，若E为线段AB的中点，M为抛物线C上任意一点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】利用中点关系求出E的轨迹方程，结合椭圆定义由数形结合可得最小值.
【解析】设，E为线段AB的中点，则，
又，两式相减得，
由，∴，∴E的轨迹为顶点在的抛物线.
如图所示，、EP垂直C的准线于N、P，则 ，
则当与F重合时，最小，为.故的最小值为3.
故选：A.
2．（22·23上·福州·期末）已知抛物线上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．18
【答案】C
【分析】根据题意结合抛物线的定义可得，即可得结果.
【解析】由题意可得：的焦点坐标为，准线为，
设抛物线上横坐标为4的点为，
则，解得，
故该抛物线的焦点到准线的距离为.
故选：C.
3．（22·23上·福州·期末）已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题首先可设、，则、，然后两式相减，可得，再然后根据、两点在倾斜角为的直线上得出，最后根据线段中点的纵坐标为即可求出结果.
【解析】设，，则，，
两式相减得，即，
因为、两点在倾斜角为的直线上，
所以，即，
因为线段中点的纵坐标为，所以，
则，，抛物线的方程是，
故选：C.
4．（22·23上·福州·期末）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得，求得，设设椭圆的下焦点为，利用勾股定理可求得，利用椭圆的定义可求得该椭圆的离心率的值.
【解析】易知点或，所以，，即，
将代入抛物线方程可得，则，
设椭圆的下焦点为，因为轴，则，
由椭圆的定义可得，
所以，椭圆的离心率为.
故选：C.
5．（22·23上·三明·期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据抛物线方程即可得焦点坐标.
【解析】在抛物线中，开口向右，，故其焦点坐标为，
故选：A.
二、多选题
6．（22·23上·莆田·期末）已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．存在某条直线，使得
D．若点，则周长的最小值为
【答案】ABD
【分析】由则、两点坐标且在抛物线 上，代入方程进而判断选项；直线方程为与抛物线联立，再根据韦达定理代入可求其值则可判断选项B；利用选项B中代入利用不等式求最小值后进行判断选项C；画出大致图像，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，过作垂直于准线，垂足为，结合的周长为，进而判断选项D即可．
【解析】由对称性得点在抛物线上，
所以，解得，故A选项正确；
设直线和双曲线交于两点，
设直线方程为，
代入抛物线方程可得：，，
所以，
所以：
故B选项正确；
则，
当且仅当时等号成立，故C错误；
如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，
过作垂直于准线，垂足为，
所以的周长为，
当且仅当点的坐标为时取等号，故D选项正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：我们在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法；
（1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合；
（2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法；
（3）抛物线定义结合焦点弦公式.
7．（22·23上·福州·期末）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，直线过点F且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则（ ）
A．m=1 B．p=4 C．直线的方程为 D．
【答案】BC
【分析】根据抛物线的几何性质可判断B；利用点差法求解得直线斜率，从而可判断C；由点在直线上可求得m，可判断A；利用弦长公式可判断D.
【解析】由题知，，故B正确；
故抛物线方程为，
设，易知，则
，由点差法可得
又是线段AB的中点，所以，所以直线l的斜率
因为直线l过焦点，所以l的方程为，即，C正确；
将代入可得，A错误；
将代入得，所以，所以，故D错误.
故选：BC
8．（22·23上·龙岩·期末）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的焦点为
B．直线AB与C相切
C．为定值
D．
【答案】BCD
【分析】利用点在抛物线上即可求出抛物线方程，从而可判断A；联立AB与抛物线的方程求得切点，从而可判断B；联立直线与抛物线的方程，得到，进而求得，从而判断C；利用距离公式及弦长公式可判断D.
【解析】对于A，将代入抛物线，得，即，
所以抛物线方程为，故抛物线的焦点为，故A错误；
对于B，，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，则，
所以直线与抛物线相切于，故B正确；
对于C，设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，则，则，
所以，则，
所以，故C正确；
对于D，因为，，
所以，
而，所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
9．（22·23上·南平·期末）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，请写出满足题意的直线PF的一个方程 ．
【答案】（或，写其中一个即可）
【分析】求出焦点坐标，由焦半径公式求得点坐标后可得直线方程．
【解析】由题意焦点为，设，
则，，，，
若，则，直线方程为，即，
若，则，直线方程为，即，
故答案为：或（写一个即可）．
10．（22·23上·福州·期末）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意分析可得：圆与只有一个交点，圆与只有两个交点，分别联立方程分析运算.
【解析】如图，由题意可得：
圆与只有一个交点，
联立方程，消去x得，解得或，
故，则，
圆与只有两个交点，
联立方程，消去x得，
∵，可得若有根，则两根同号，
根据题意可知：有且仅有一个正根，
故，则可得，解得，
综上所述：的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：在处理实际问题时，体现数形结合的思想，将图形转化为代数，这样交点转化为方程的根或函数的零点，利用方程或函数的知识分析求解.
四、解答题
11．（22·23上·福州·期末）如图，点A（-2，1），B，C三点都在抛物线上，抛物线的焦点为F，且F是的重心.
(1)求抛物线的方程和焦点F的坐标；
(2)求BC中点M的坐标及线段BC的长.
【答案】(1)抛物线方程为，焦点坐标为；
(2)，.
【分析】（1）由点A在抛物线上可得抛物线方程，后可得焦点坐标；
（2）设BC直线方程为，将其与抛物线联立，结合韦达定理及重心坐标公式可得答案.
【解析】（1）因在抛物线上，则.
则抛物线方程为，焦点坐标为；
（2）设BC线段所在直线方程为，将其与抛物线方程联立
，由题.
设，则由韦达定理.
因F是的重心，则，则BC中点M的坐标为，.又M在直线上，则，故.则
.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页福建省2022-2023学年高二上学期期末数学试题汇编-06圆锥曲线的方程（抛物线）
一、单选题
1．（22·23上·南平·期末）过抛物线C：焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，若E为线段AB的中点，M为抛物线C上任意一点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
2．（22·23上·福州·期末）已知抛物线上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．18
3．（22·23上·福州·期末）已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（22·23上·福州·期末）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．（22·23上·三明·期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（22·23上·莆田·期末）已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．存在某条直线，使得
D．若点，则周长的最小值为
7．（22·23上·福州·期末）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，直线过点F且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则（ ）
A．m=1 B．p=4 C．直线的方程为 D．
8．（22·23上·龙岩·期末）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的焦点为
B．直线AB与C相切
C．为定值
D．
三、填空题
9．（22·23上·南平·期末）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，请写出满足题意的直线PF的一个方程 ．
10．（22·23上·福州·期末）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为 .
四、解答题
11．（22·23上·福州·期末）如图，点A（-2，1），B，C三点都在抛物线上，抛物线的焦点为F，且F是的重心.
(1)求抛物线的方程和焦点F的坐标；
(2)求BC中点M的坐标及线段BC的长.
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