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人教版九年级上册数学期末圆与二次函数的综合压轴题专题训练
1．如图，关于的二次函数图象的顶点为，图象交轴于、两点，交轴正半轴于点．以为直径作圆，圆心为点，定点的坐标为，连接．（）
(1)求用表示的、、三点坐标；
(2)当为何值时，点在直线上？判定此时直线与圆的位置关系；
(3)当变化时，用表示的面积．
2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求顶点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，求面积的最大值；
(4)以为直径，为中点，以为圆心作圆，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
3．如图，二次函数与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．
(1)如图1，若，求该抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P是线段上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；
(3)如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作，经过点Q的直线交于点F，I，交抛物线于点E，G．当时，求的值．
4．二次函数．
(1)当时，函数图象与轴交于点、，与轴交于点．
①写出函数的一个性质；
②如图1，点是第四象限内函数图象上一动点，求出点坐标，使得的面积最大；
③如图2，点为第一象限内函数图象上一动点，过点作.轴，垂足为，的外接圆与交于点，求的长度；
(2)点、为函数图象上任意两点，且.若对于时，都有，求的取值范围．
5．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
(1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．
7．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）经过点B作直线BD⊥AB，与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，连接AE，请判断△ADE的形状，并说明理由；
（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请直接写出k的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A、E两点，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
9．如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的函数关系式；
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．
10．抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,，
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．
11．如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求a的值．
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标．
③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于 两点，与轴交于点，连接，
(1)求抛物线的解析式与顶点坐标：
(2)如图，在对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图，若点是抛物线上的一个动点，且，请直接写出点的横坐标
(4)如图，以为直径画交，为圆上一动点，抛物线顶点为，连接，点为的中点，请直接写出的最小值．
13．如图，抛物线交y轴于点，且过点点B是抛物线M上一个动点，过B作，以B为圆心，2为半径的圆交直线于D、E两点（点E位于点D下方）
(1)求抛物线M的解析式；
(2)连接交于点F，连接．若是以为直角边的直角三角形，求的度数；
(3)取的中点Q，连接，求线段的最小值．（直接写出答案）
14．如图，过点A（1，0）作x轴的垂线与直线y＝x相交于点B，以原点O为圆心、OA为半径的圆与y轴相交于点C、D，抛物线y＝x2+px+q经过点B、C．
（1）求p、q的值；
（2）设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，连接CE并延长与⊙O相交于点F，求EF的长；
（3）记⊙O与x轴负半轴的交点为G，过点D作⊙O的切线与CG的延长线相交于点H．点H是否在抛物线上？说明理由．
15．已知，如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R.
(1)求这个二次函数关系式.
(2)当△EFR周长最大时.
①求此时点E点坐标及△EFR周长.
②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值.
16．如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，抛物线经过三点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴的交点为点，点关于原点的对称点为，连接，以点为圆心，的长为半径作圆，点为直线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求周长的最小值；
（3）若动点与点不重合，点为⊙上的任意一点，当的最大值等于时，过两点的直线与抛物线交于两点（点在点的左侧），求四边形的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B（﹣2，0）作⊙M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M．
（1）求这条抛物线解析式；
（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上；
（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处．此时△BOQ与△MCB全等，求t的值．
18．如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆C与x轴相切；
（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．
19．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；
（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．
20．如图所示：在平面直角坐标系中,圆M经过原点O且与X轴Y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点
（1）请写出直线 AB的解析式
（2）若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M，顶点C在圆M上,开口向下且经过点B．求此抛物线的函数表达式
(3)设（2）中的抛物线交X轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得 ．若存在，请直接写出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由
()
()
参考答案：
1．(1)，，
(2)当时，点在直线上；直线与相切
(3)
【分析】（1）根据轴，轴上点的坐标特征代入即可求出、、三点的坐标；
（2）待定系数法先求出直线的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；
（3）分当时，当时两种情况讨论求得关于的函数．
【详解】（1）解：在中，令，则，
解得，；
令，则．
∴，，；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得，，．
直线的解析式为．
将化为顶点式得：．
顶点的坐标为，
把代入得：
∴，
，
，
∴当时，点在直线上，
∴，
∴，
∴
连接，
，，
，
∴点在圆上
又，
∴，，，
．
直线与相切；
（3）解：当时，，
∴．
当时，．
∴，
综上所述，．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有轴，轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法，切线的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等．注意分析题意分情况讨论．
2．(1)
(2)
(3)面积的最大值为16
(4)直线与圆M的位置是相交，理由见解析
【分析】（1）利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式；
（2）先解得，再利用待定系数法，代入点B、C的坐标即可解答；
（3）连接、，设（），过点E作于H，，根据二次函数的性质即可得到答案；
（4）根据中点公式解得点M的坐标，再利用两点间的距离公式解得的长，比较得，得到直线与圆M有两个交点，据此解答．
【详解】（1）解：
，
即顶点D的坐标；
（2）当时，，
∴
令得，
解得，
设直线的解析式：，代入点B、C的坐标得，
，
，
∴直线的解析式为；
（3）如图，连接、，
设（），过点E作于H，
，
即当时，面积的最大值为；
（4）直线与圆M的位置是相交，理由如下，
如图，M为的中点，
即，
，
，
直线与圆M有两个交点，
即直线与圆M的位置是相交．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3．(1)
(2)点P的坐标为
(3)
【分析】（1）求出点，把代入，得，得到直线解析式，求出点，把代入，得，解得，即可得到抛物线的解析式；
（2）求出，得到是等腰直角三角形，则，，设，过点P作于点K，过点P作轴于点L，则，，显然和均为等腰直角三角形，得到，，和联立得，，求出，由得到，解得，，即可得到答案；
（3）由题意得：，则点，求得，由经过A、B、C三点，得到点Q的横坐标为，进一步得到点Q在第二、四象限角平分线上，即点Q的横纵坐标互为相反数，则，过点Q作轴于点H，连接，得到，，求出，则，由，得到，得到，则，由直线经过点得到，与联立得，则，，再求得，则，即可得到，求得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
把代入，得，
∴，
令，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴，
即该抛物线的解析式为；
（2）在中，令，得，令，得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
如图1，设，过点P作于点K，过点D作轴于点L，
则，，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，，
由和联立，
得：，
整理得：，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）由题意得：，则点，
当时，，
解得：，
∴，
如图，过点Q作轴于点H，连接，，
∵经过A、B、C三点，
∴点Q在线段的垂直平分线上，即点Q的横坐标为，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴点在第二、四象限角平分线上，
∵点Q也在线段的垂直平分线上，
∴点Q在第二、四象限角平分线上，即点Q的横纵坐标互为相反数，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴，与联立，
得，
整理得： ，
∴，，
∴，
∵
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与抛物线交点，一元二次方程根与系数关系，解一元二次方程，勾股定理，等腰直角三角形性质，圆的性质等，本题综合性较强，涉及知识点较多，难度较大，对学生运算能力要求较高．
4．(1)①函数图象的顶点坐标为；②；③
(2)
【分析】（1）先求得二次函数的解析式，①根据解析式和二次函数的性质写出性质即可；②根据二次函数的解析式求得点A、B、C的坐标，再求得直线的解析式，过点P作轴于H，设，则，，，进而，利用二次函数的性质求解即可；
③设圆心为H，过H作轴于N，于M，连接，，利用垂径定理可得，，，设，，利用坐标与图形性质得到，，，，证明四边形是矩形得到，，然后利用勾股定理得到，进而求得x值即可求解；
（2）根据二次函数的性质得到该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，进而根据点M、N的中点坐标和对称轴的位置关系即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
①函数图象的顶点坐标为；
②令，由得，，
当时，，
∴，，，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
过点P作轴于H， 与交于G，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为；
③设圆心为H，过H作轴于N，于M，连接，，
则，，，
设，，
∵轴，
∴，
∴，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
则，
解得，即；
（2）解：由于
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵点、为函数图象上任意两点，且，若对于即时，都有，
∴．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、三角形的面积、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用数形结合思想进行分析求解是解答的关键．
5．(1)⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，理由见解析
(2)△POA周长的最小值为6
(3)
【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断．
（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．
（3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．
【详解】（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），
∵点P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝，
∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．
（2）如图1，连接PH，
∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），
∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周长的最小值为6．
（3）如图2，连接CD，PA，
设二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，
由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，
∵AB＝，
∴AF＝BF＝，
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，
∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l为，
∴，即，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，
∴，
即，
化简，得，解得，
∴．
【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
6．（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）P(3，﹣)；（3）没有变化，2
【分析】（1）由二次函数的图象与轴交于，两点，可得二次函数的解析式为，由此即可解决问题．
（2）根据，构建方程即可解决问题．
（3）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．根据，根据方程求出，再利用中点坐标公式，求出点的纵坐标即可解决问题．
【详解】解：（1）二次函数的图象与轴交于，两点，
二次函数的解析式为，
即．
（2）如图甲中，连接．设．
由题意，，，
，
，
整理得，，
解得或（舍弃），
．
（3）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．
理由：如图乙中，连接，，，设，，，．
由题意，，
，
解得，
，，
，
，
，
点在运动过程中线段的长是定值，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了三角形的面积，三角形的外接圆，三角形的外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
7．（1）y＝﹣x2﹣x﹣11；（2）△ADE是等腰三角形，理由见解析；（3）k的值为﹣或2
【分析】（1）利用三垂线判断出，进而得出，，最后将点，坐标代入抛物线解析式中即可得出结论；
（2）先判断出，得出点坐标，进而求出直线的解析式，求出点坐标，即可得出结论；
（3）分两种情况，
Ⅰ、切点在轴上方，利用三垂线判断出，得出，，设成点坐标，进而得出，，，，即可得出结论；
Ⅱ、切点在轴下方，同Ⅰ的方法即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，过点作轴于，过点作轴于，
，
，
，
，
，
过点，，
，
，
，，
，，
点，在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为，
（2）是等腰三角形，
理由如下：如图1，
，
，
，
过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
联立，，
（舍或，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）如图2，
点在上，
，
记直线与轴相交于，
令，则，
，
，
Ⅰ、当直线与的切点在轴上方时，记切点为，
则，，
连接，在中，，，
，
在中，根据勾股定理得，，
如图2，过点作轴于，过点作轴于，
，
四边形是矩形，
，
是的切线，
，
，
，，
设点，
，，，，
①，②，
联立①②解得，，
Ⅱ、当切点在轴下方时，同Ⅰ的方法得，，
即：直线与圆相切，的值为或2．
【点睛】此题是二次函数综合题，主考查了待定系数法，三垂线判定两三角形全等，解方程组，判断出是解本题的关键．
8．（1）；（2）见解析；（3），S存在最大值，当t＝1时，S最大＝.
【分析】（1）利用待定系数法，根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；
（2）过点D作DG⊥BE于点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得DG的值，利用待定系数法求得直线BE的解析式，由此求得DG＝1（圆的半径是1），则易证得结论；
（3）由（2）中可求得点P的坐标，由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN、DN的值，由题可得S＝S△PND＋S梯形PDCM S△MNC，再结合抛物线的性质可求得S的最值．
【详解】解：（1）由题意，得A（0，2），点B（2，2），E的坐标为（，0）
则，解得
故二次函数的解析式为：;
（2）如图1，过点D作DG⊥BE于点G，
由题意，得
ED＝，EC＝，BC＝2
∴BE＝
∵∠BEC＝∠DEG，∠EGD＝∠ECB＝90°
∴△EGD∽△ECB
∴，
∴DG＝1
∵圆D的半径为1，且DG⊥BE
∴BE是圆D的切线
（3）如图2，过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，
依题意，得，点B（2，2），E的坐标为（，0），
故设直线BE为y＝kx+h（k≠0）
则有，解得，
∴直线BE为：
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴为x＝1
∴点P的纵坐标为y＝，即P（1，）
∵MN∥BE
∴∠MNC＝∠BEC
∵∠MCN＝∠BCE＝90°
∴△MNC∽△BEC
∴
∴，即，
∴,
∴S△PND＝
S△MNC＝
S梯形PDCM＝
∴S＝S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC＝（0＜t＜2）
∵抛物线S＝（0＜t＜2）的开口方向向下
∴S存在最大值，当t＝1时，S最大＝.
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，函数和几何图形的综合题目，要利用圆的性质和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，利用图形间的“和差“关系求解．注意抛物线是轴对称图形，要求同学们熟练掌握待定系数法求函数解析式的应用．
9．（1）（1，﹣4a）；（2）①y=﹣x2+2x+3；②M（，）、N（，）；③点Q的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
【分析】（1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标．
（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD是个直角三角形，且∠ACD＝90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值．
②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF作为等量关系进行解答即可．
③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ＝45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD ＝2QG ＝2QB ，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，
∴D（1，﹣4a）．
（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；
由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：
AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4
由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，
化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，
②∵a=﹣1，
∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．
∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，
∴PM∥x轴，且PM=OB=1；
设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；
∵BF=2MF，
∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化简，得：2x2﹣3x﹣5=0
解得：x1=﹣1（舍去）、x2=.
∴M（，）、N（，）．
③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：
∵C（0，3）、D（1，4），
∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，
∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；
设Q（1，b），则QD=4﹣b，QG2=QB2=b2+4；
得：（4﹣b）2=2（b2+4），
化简，得：b2+8b﹣8=0，解得：b=﹣4±2；
即点Q的坐标为（1，）或（1，）．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD和⊙Q半径间的数量关系是解题题目的关键．
10．（1）（2）（3）或
【分析】（1）根据抛物线过C点，可得出c=-3，对称轴x=1，则-=1，然后可将B点坐标代入抛物线的解析式中，联立由对称轴得出的关系式即可求出抛物线的解析式．
（2）本题的关键是要确定P点的位置，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，因此可连接AC，那么P点就是直线AC与对称轴的交点．可根据A、C的坐标求出AC所在直线的解析式，进而可根据抛物线对称轴的解析式求出P点的坐标．
（3）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心必在对称轴上．因此可用半径r表示出M、N的坐标，然后代入抛物线中即可求出r的值．
【详解】（1）将代入，
得c=-3．
将c=-3，代入，
得9a+3b-3=0①
∵是对称轴，
∴-=1②
由①②得a=1，b=-2
所以，二次函数的解析式是．
（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．
∵点的坐标为，点的坐标为，
设直线AC的解析式为y=mx+n
把A、C代入得
解得
∴ 直线的解析式是y=-3x-3，
又对称轴为，
当x=1时，y=-3x-3=-6
∴点的坐标．
（3）设、，所求圆的半径为r，
则 ③
∵ 对称轴为，
∴ ④
由③④得：⑤
将代入解析式，
得
整理得：．
由于 r=±y，当时，，
解得， ， （舍去），
当时，，
解得， ， （舍去）．
所以圆的半径是或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、切线的性质、轴对称图形等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法，正确的画出图形是解题的关键．
11．（1）；（2）①；②，、，；③或
【分析】（1）根据配方法，可得顶点坐标；
（2）①根据圆的直径所对的圆周角是，可得直角三角形，根据勾股定理，可得关于的方程，根据解方程，可得答案；
②根据，可得关于的方程，根据解方程，可得的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
③根据等腰三角形的判定，可得也是等腰直角三角形，根据腰长相等，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：（1），
．
（2）①以为直径的圆经过点，
为直角三角形，且；
由知，
、、，则：
、、
由勾股定理得：，
即：，
化简，得：，由，得：，
②，
抛物线的解析式：，．
将绕平面内某一点旋转得到，
轴，且；
设，则，
，；
，
，
化简，得：，
解得：（舍去）、，
，，
，
，
点的横坐标相同，
，
又到抛物线上，
，
，．
③设与直线的切点为，连接，过作于，如下图：
、，
，即是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，
即：；
设，则，；
得：，
化简，得：，
解得：；
即点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题的关键是利用配方法是求顶点坐标；利用勾股定理得出关于的方程；利用等腰三角形的腰相等得出关于的方程．
12．(1)，顶点坐标为
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）运用待定系数方法即可求解抛物线的解析式，把抛物线解析变形为顶点式即可求解顶点坐标；
（2）根据抛物线可知对称轴为直线，，设，根据两点间的距离公式即可求解；
（3）在对称轴上取点，使是等腰直角三角形，对称轴于轴交于点，如图所示，可得或，分类讨论：当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点为点，设，根据两点间的距离公式即可求解；当点在轴下方时，，点在轴下方时不存在；当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点只有；由此即可求解；
（4）连接，并延长至，使，过点作轴于点，连接，如图所示，分类讨论：①当点Q不与B重合时；②当点与重合，此时点为的中点，此时，点为的中点；根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：（1）将 代入
∴，解得：，
∴抛物线的解析式，
∴顶点坐标为．
（2）解：存在点，使，理由如下：
，
对称轴为直线，令，则，
，设，
，
，解得，
．
（3）解：在对称轴上取点，使是等腰直角三角形，对称轴与轴交于点，如图所示：
，
或，
当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点为点，
，
，设，
，
或，解得（舍）或（舍）或或，
当点在轴下方时，，此时
或，解得（舍）或（舍），
点在轴下方时不存在；
当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点只有，
此时不存在点使；
综上所述：或．
（4）解：连接，并延长至，使，过点作轴于点，连接，如下图，
①当点Q不与B重合时，
∵，为的中点，
∴，，
∴当最小时，即三点共线是时，有最小值，
∵，
∴，
∵为直径，点抛物线顶点，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时有最小值为．
②当点与重合，此时点为的中点，此时，点为的中点，如下图
∵，
，
综上所述：，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的变换，掌握二次函数图像的性质，几何图形的变换，等腰三角形的性质，两点之间的距离公式的计算方法，勾股定理等知识是解题的关键．
13．(1)；
(2)的度数为或；
(3)当时，有最小值，最小值为
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式．
（2）分两种情况：①当∠ABD＝90°时，如图1，可得△BEF是等腰直角三角形，可得结论．
②当∠ADB＝90°时，如图2，根据△ADB是等腰直角三角形，可得结论．
（3）设B（m，m2+2m﹣1），则D（m，m2+2m+1），求出点Q的坐标，利用勾股定理求出PQ，利用配方法解决问题即可．
【详解】（1）∵yx2+bx+c交y轴于点A（0，﹣1），且过点P（﹣1，），
∴，
∴，
∴；
（2）①∠ABD＝90°时，如图1，
∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝45°．
②∠ADB＝90°时，如图2，
∵AD∥x轴，
∴点D的纵坐标为﹣1，
∵BD＝2，
∴点B的纵坐标为﹣3，
将y＝﹣3代入，解得x1＝x2＝﹣2，
所以AD＝BD＝2，△ABD为等腰直角三角形，
∠BEF22.5°．
综上所述，∠BEF的度数为45°或22.5°；
（3）设B（m，m2+2m﹣1），则D（m，m2+2m+1），
∵A（0，﹣1），DQ＝AQ，
∴Q（，m2+m），
∵P（﹣1，），
∴当m+1＝0时，PQ有最小值，最小值为．
【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的应用、圆的性质、动点问题及抛物线的平移问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
14．（1）p＝1，q＝﹣1；（2）；（3）点H在抛物线y＝x2+x﹣1上．详见解析
【分析】（1）根据点A（1，0）作x轴的垂线与直线y＝x相交于点B，从而求出B点的坐标，以及C点的坐标，将B，C分别代入即可求出p，q的值；
（2）运用配方法求出二次函数的顶点坐标，再利用勾股定理求出CE的长，由Rt△CFD∽Rt△COE，求出EF的长；
（3）首先求出直线CG为：y＝ x 1，进而求出点H的坐标为（ 2，1）．代入解析式即可．
【详解】（1）∵点A（1，0）作x轴的垂线与直线y＝x相交于点B点，
∴B（1，1），
∵以原点O为圆心、OA为半径的圆与y轴相交于点C、点A（1，0），
∴C（0，﹣1）．
代入y＝x2+px+q，得，解得
故p＝1，q＝﹣1．
∴
（2）∵，
∴E（，0）
∴．
连接DF，
∵CD是直径，
∴∠CFD=90°，
又∠COE=90°，∠FCD=∠OCE
∴Rt△CFD∽Rt△COE，
得，即
∴．
∴．
（3）设过点C、G的直线为y＝kx+b．
将点C（0，﹣1），G（﹣1，0）代入得，
解得
得直线CG为：y＝﹣x﹣1．
设过点D作⊙O的切线与CG的延长线相交于点H．
∵DH平行于x轴，
∴点H的纵坐标为1．
将y＝1代入y＝﹣x﹣1，得x＝﹣2．
∴点H的坐标为（﹣2，1）．
又当x＝﹣2时，y＝x2+x﹣1＝1，
∴点H在抛物线y＝x2+x﹣1上．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合应用以及相似三角形的性质与判定和待定系数法求函数解析式等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
15．(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)①E(，)，周长为+；②HQ的最大值大为：+.
【分析】(1)用交点式函数表达式，即可求解；
(2)①证明△ERF为等腰直角三角形，当△EFR周长最大时，EF最长，EF＝﹣m2+3m，即可求解；
②HQ＝OP，利用OP≤OM+PM＝，即可求解.
【详解】(1)用交点式函数表达式得：y＝﹣(x+1)(x﹣3)＝﹣x2+2x+3；
(2) ①由（1）知C（0,3），∴OC=OB=3，∴∠OBC=45，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵∠CBO＝∠FER，∴△ERF∽△BOC，
∴△ERF为等腰直角三角形.
当△EFR周长最大时，EF最长，
设E(m，﹣m2+2m+3)，F(m，﹣m+3)，
∴EF＝﹣m2+3m，
∴当m＝时，EF最长，EF＝，
∴E(，)，
则Rt△EFR中，ER＝FR＝，
∴△EFR周长为+；
②如图，连接OP，点H(，0)为OB的中点，
∵Q是PB的中点，∴HQ∥OP，且HQ＝OP，
∵EF＝，FH＝，
∴点M(，)，
∴OM＝BM＝,
∵OP≤OM+PM＝，
∴HQ≤，
即HQ的最大值大为：+.
【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，（1）用交点式求抛物线的解析式；（2）先证得三角形是等腰直角三角形，故周长最大时即斜边最长，由此转化为求线段的最大值；（3）中两个点H、Q均为中点，所以两点连线即为三角形的中位线，根据中位线的性质，求与其平行的三角形的第三边的长度的最大值即为中位线的最大值，依此思路解题即可.
16．（1）；（2）（3）
【分析】（1）直线y=x-3，令x=0，则y=-3，令y=0，则x=3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，-3），即可求解；
（2）过点B作直线y=x-3的对称点B′，连接BD交直线y=x-3于点P，直线B′B交函数对称轴与点G，则此时△BDP周长=BD+PB+PD=BD+B′B为最小值，即可求解；
（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，即可求解．
【详解】解：（1）直线，令，则，令，则，
故点的坐标为、，
则抛物线的表达式为：，
则，解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
（2）过点作直线的对称点，连接交直线于点，
直线交函数对称轴与点，连接，
则此时周长为最小值，
，则点，即：，
即点是的中点，过点，
周长最小值；
（3）如图2所示，连接并延长交圆与点，此时为最大值，
点的坐标为，
则，，
则，
设点，点，
，
解得：，故点，
将点坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点的坐标分别为：
过点分别作轴的垂线交于点，
则.
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，其中（3），确定PQ最值时，通常考虑直线过圆心的情况，进而求解．
17．（1）y＝﹣x2+；（2）点C在（1）的抛物线上；（3）t＝2．
【分析】（1）利用待定系数法即可确定该抛物线的解析式．
（2）连接圆心和切点、再过点C作x轴的垂线，利用射影定理和勾股定理即可确定点C的坐标，再代入（1）的抛物线中进行验证即可．
（3）△BCM和△BOQ中，OB＝CM，∠BOQ＝∠BCM＝90°，若两个三角形全等，必须满足OQ＝BC，求出BC长即可．
【详解】（1）将点M（2，0）、B（﹣2，0）代入 yx2+bx+c 中，得：
解得：
∴抛物线的解析式：yx2．
（2）连接MC，则MC⊥BC；过点C作CD⊥x轴于D，如图，在Rt△BCM中，CD⊥BM，CM＝2，BM＝4，则：
DM1，CD，OD＝OM﹣DM＝1，∴C（1，）．
当x＝1时，yx2，所以点C在（1）的抛物线上．
（3）△BCM和△BOQ中，OB＝CM＝2，∠BOQ＝∠BCM＝90°，若两三角形全等，则：
OQ＝BC，∴当t＝2时，△MCB和△BOQ全等．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、直线与圆的位置关系以及全等三角形的判定和性质，属于基础知识的综合应用，难度不大．
18．（1） ；（2）证明见解析；（3） ．
【详解】试题分析：（1）可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解析式；
（2）联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标，则可求得C点坐标和线段BD的长，可求得圆的半径，可证得结论；
（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH，则可求得MF和BE的长，可求得其比值．
试题解析：
（1）∵已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），∴可设抛物线解析式为 ，∵抛物线经过点（4，2），∴，解得a=，∴抛物线解析式为，即；
（2）联立直线和抛物线解析式可得，解得：或，∴B（，），D（，），∵C为BD的中点，∴点C的纵坐标为 =，∵BD= =5，∴圆的半径为，∴点C到x轴的距离等于圆的半径，∴圆C与x轴相切；
（3）如图，过点C作CH⊥m，垂足为H，连接CM，由（2）可知CM=，CH=﹣1=，在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，∵HF= =，∴MF=HF﹣MH=，∵BE=﹣1=，∴= =．
19．（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+1；
（2）△DEM的周长=；
（3）点A1（，）或（﹣，）．
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）如图1，A与E重合，根据直线y=﹣x+1求得与x轴交点坐标可得OA的长，由勾股定理得AB的长，利用等角的三角函数得：sin∠ABO=，cos∠ABO=，则可得DE和DM的长，根据M的横坐标代入抛物线的解析式可得纵坐标，即ME的长，相加得△DEM的周长；
（3）由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，所以点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：
①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，根据点O1，B1的纵坐标相等列方程可得结论；
②如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，根据点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大，列方程可得结论．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+1交y轴于点B，∴B（0，1），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B和点C（4，﹣2）．∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+1；
（2）如图1，∵直线y=﹣x+1交x轴于点A，
当y=0时，﹣ x+1=0，x=，∴A（，0），∴OA=，
在Rt△AOB中，∵OB=1，∴AB=，∴sin∠ABO=，cos∠ABO=，
∵ME∥x轴，
∴∠DEM=∠ABO，
∵以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，
∴∠EDM=90°，
∴DE=ME cos∠DEM=ME，DM=ME sin∠DEM=ME，
当点E在x轴上时，E和A重合，则m=OA=，
当x=时，y=﹣×（）2+×+1=；∴ME=，
∴DE= =，DM= =，
∴△DEM的周长=DE+DM+ME= =；
（3）由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，
∵O1A1⊥x轴，
∴点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：
①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，
点O1，B1的纵坐标相等，
∴﹣x2+x+1=﹣（x+1）2+（x+1）+1，
解得：x=，
此时点A1的坐标为（，），
②如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，
点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大，
﹣x2+x+1+ =﹣（x+1）2+（x+1）+1，
解得：x=﹣，
此时A1（﹣，），
综上所述，点A1（，）或（﹣，）．
考点：二次函数综合题．
20．（1）（2）y=(3)
【详解】（1）设直线 AB的解析式为………………………….1分
把代入得，∴直线 AB的解析式为……….2分
（2）∵MN⊥OA，∴ON=AN=3………3分
∵………4分
∴AM=5，MN=4，CN=CM-MN=5-4=1
∴C(-3,1) ……….5分
设抛物线的函数表达式为
把（0，-8）代入解得a=-1
∴抛物线的函数表达式为………7分
（3）……….10分
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）首先根据抛物线的顶点在圆上且与y轴平行即可确定抛物线的顶点坐标，再根据待定系数法求函数解析式；
（3）三角形ABC的面积为15，所以假设三角形PDE的面积为1，因为DE长为2，所以P到DE的距离为1，则P的坐标是（x，1），代入抛物线解析式即可求解．
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