卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024年第一学期高一年级期末摸底调研
数学学科
（总分：150分；考试时长：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设，且，则（ ）
A．－1 B． C．1 D．
5．心理学家经常用函数测定时间（单位：）内的记忆量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．已知一个学生在内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率约为（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图象向右平移个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
8．设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得（为常数），则称函数在上的均值为，下列函数中在其定义域上的均值为1的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（ ）
1 2 3 4 5 6
A．在区间上不一定单调
B．在区间内可能存在零点
C．在区间内一定不存在零点
D．至少有个零点
11．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在单调递减
B．函数图象关于中心对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
12．已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知扇形的周长为6，圆心角为，则该扇形的面积为 ．
14．已知a，b为正实数，满足，则的最小值为 ．
15．已知，则 ．
16．已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．(1)已知角终边上一点，求的值；
(2)已知关于x的方程的两根为和，.求实数b以及的值.
19．已知函数（）的图象关于直线对称，且函数的最小正周期为.
(1)求；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
20．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若存在实数，使得不等式有解，求实数m的取值范围．
21．耸立在无锡市蠡湖北岸的“太湖之星”水上摩天巨轮被誉为“亚洲最高和世界最美”.如图,摩天轮的半径为50m,点O距地面的高度为65m,摩天轮的圆周上均匀地安装着64个座舱,并且运行时按逆时针匀速旋转,转一周大约需要.甲、乙两游客分别坐在P,Q两个座舱里,且他们之间间隔7个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点）.
(1)求劣弧PQ的弧长l（单位:m）;
(2)设游客丙从最低点M处进舱,开始转动后距离地面的高度为Hm,求在转动一周的过程中,H关于时间t的函数解析式;
(3)若游客在距离地面至少90m的高度能够获得最佳视觉效果,请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲,乙两位游客都有最佳视觉效果.
22．已知函数．
(1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若且，讨论函数在上的零点个数．
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．A 2．A 3．C 4．C 5．A 6．D 7．D 8．B
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．ABD 10．ABD 11．AD 12．ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
14．
15．
16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1），若，，
，
.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，有A是B的真子集
可得等号不同时取，解得，
所以实数的取值范围为
18．（1）因为角终边上一点，
所以，
所以.
（2）因为关于的方程的两根为和，
所以，，
因为，所以，所以，
因为，所以，且，
所以，则，故，
所以.
19．（1）因为函数f（x）的最小正周期为π，
所以.
∵为f（x）的一条对称轴，
∴，
又，所以，
故；
（2）当时，，
所以当，即时，.
当，即时，.
20．（1）∵为定义在上的奇函数，∴，则有
由得，∴，
又，∴，，；
（2）任取，，
∵，∴，，且，，
∴，∴，在上单调递增；
（3）由（2）知在上单调递增，∴，
．
令，则有
令，，，∴．
21．（1）解:由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着64个座舱,
所以两个相邻座舱所对的圆心角为:,
因为甲、乙之间间隔7个座舱,所以劣弧PQ所对的圆心角为:,
所以,
即劣弧PQ的弧长为;
（2）因为摩天轮距离地面高度是周期变化,且与三角函数有关,
不妨设开始转动后距离地面的高度,
由题可知,,
所以,
因为,解得,此时,
因为,带入有:,
解得,,
故
,
综上:,;
（3）因为在距离地面至少90m的高度能够获得最佳视觉效果,
所以,,即,
解得:,即,解得,
所以，故有的时间使游客有最佳视觉效果,
因为劣弧PQ所对的圆心角为,所以甲乙相隔的时间为,
解得,当甲刚开始有最佳视觉效果时,乙需后才有视觉效果,
故甲乙都有最佳视觉效果的时间为.
22．（1）当时，，函数的定义域为，
，
是偶函数；
（2）因为函数的定义域为，设，
则，
，，
，，，
即，
故函数在上是增函数．
当时，，
即，
所以函数在上零点的个数，等价于方程在上根的个数，
令，
①当时，，，，，
且的图象对称轴，
所以，函数在上有两个不同的零点．
②当时，，方程只有一个根，
即函数在上只有一个零点．
③当时，，
，又，
且的图象对称轴，
当时，，
所以当时，，函数在上有两个不同的零点，
当时，，函数在上只有一个零点．
综上所述，当或时，函数在上有两个不同的零点；
当或时，函数在上只有一个零点．
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