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江苏省扬州市2023年中考数学模拟考试黑马卷
满分150分
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．在﹣3，2，﹣6，0四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣6 D．0
2．下列选项中，能确定物体位置的是（ ）
A．距离学校500米 B．季华路
C．东经120°，北纬30° D．北偏西60°
3．如图所示，正三棱柱的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是137.5°．我们知道圆盘一周为360°，360°﹣137.5°＝222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．这体现了（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割
5．在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数是（ ）
A．56 B．60 C．63 D．72
6．如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，点P为∠MON的平分线上一点，∠APB的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，∠APB绕点P旋转时始终满足OA OB＝OP2，若∠MON＝54°，则∠APB的度数为（ ）
A．153° B．144° C．163° D．162°
8．如图，在平面直角坐标系中，经过A（0，6）的一次函数y1的图象与经过B（0，2）的一次函数y2的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y＝y1 y2的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为 兆瓦．
11．因式分解：a2﹣9＝ ．
12．若一组数据2，3，4，5，7的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则 （填“＞”“＜”或“＝”）．
13．设x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1 x2＝ ．
14．在一个不透明的袋中装有7个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
15．如图，小聪探索发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P，Q时，的长度保持不变．若⊙O的半径为3cm，则的长为 cm．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点和B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为 ．
17．某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是说真话的，也可能是不说真话的，现在知道下面两项事实：①这100人中，至少有1名是不说真话的；②其中任何2人中，至少有1名是说真话的．则这次会议活动中，说真话的人数是 ．
18．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D，E分别是射线AB，射线AC上的点，AD，AE的垂直平分线交于点O，当点O落在BC上时，DE长的最小值为 ．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）（1）计算：．
（2）解不等式：．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）某学校开设四门社团课程：A美术创作、B音乐欣赏、C跨学科实践、D劳动教育．为了解学生喜欢的课程，学校随机抽取部分学生进行调查，每名学生只能选择一门课程，并将调查结果整理数据，绘制成如下不完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）“B音乐欣赏”课程所对应扇形圆心角的度数为 °；
（3）已知该校有800名学生，请估计该校学生选择“C跨学科实践”课程的人数．
22．（8分）象棋比赛中，采用翻扑克牌比大小的方式决定哪方先走子，五张扑克牌点数分别是1、2、3、4、5，背面无差别，将扑克牌背面朝上，由参赛棋手中一方先翻出一张，然后另一方翻剩下的四张中的一张，点数大者先走；
（1）棋手甲先翻出点数是4，甲先走的概率是 ；
（2）两轮比赛，假设棋手甲翻出点数都是3，求两轮都是甲先走的概率（用画树状图或列表的方法求解）．
23．（10分）在2022年北京冬奥会上，除了精彩的赛事，冬奥会吉祥物“冰墩墩”也吸引了不少人的目光，网友戏称：炙手可热，“一墩难求”．某工厂承接了90万个吉祥物的加工任务，为了尽快满足消费者的需求，在实际加工时，每天的产量比原计划提高了50%，结果提前10天完成了这一任务，求原计划每天加工的产量为多少万个．
24．（10分）身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上，在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上），经测量，兵兵与建筑物的距离BC＝4米，建筑物底部宽FC＝6米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A据地面的高度AB＝1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝据地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距离3米处固定摆放，通过计算说明；若兵兵充分利用梯子和一根3.5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长AC、ED交于点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）当CD＝2，⊙O的半径为时，求tan∠BDE的值．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，0），B（6，10）．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画；
在函数y＝﹣2x+b中，输入b的值，得到直线CD，其中点D在x轴上，点C在y轴上．
①在输入过程中，若△ABD的面积为5，直线CD就会发蓝光，求此时输入的b值；
②若直线CD与线段AB有交点，且交点的横坐标不大于纵坐标时，直线CD就会发红光，直接写出此时输入的b的取值范围．
27．（12分）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作发现
某数学小组对图1的矩形纸片ABCD进行如下折叠操作：
第一步：如图2，把矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，然后把纸片展开；
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点A'处，折痕与AD交于点E，然后展开纸片，连接AA'，BA'，EA'．
问题解决
（1）请在图2中利用尺规作图，作出折痕BE；（保留作图痕迹）
（2）请你判断图3中△ABA'的形状，并说明理由；
（3）如图4，折痕BE与MN交于点F，BA'的延长线交直线CD于点P，若MF＝1，BC＝7，请你直接写出PD的长．
28．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．
①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；
②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH QH的最大值．
江苏省扬州市2023年中考数学模拟考试黑马卷
试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．在﹣3，2，﹣6，0四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣6 D．0
【分析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：∵﹣6＜﹣3＜0＜2，
∴最小的数是﹣6，
故选：C．
2．下列选项中，能确定物体位置的是（ ）
A．距离学校500米 B．季华路
C．东经120°，北纬30° D．北偏西60°
【分析】确定一个物体的位置，要用一个有序数对，即用两个数据．找到一个数据的选项即为所求．
【解答】解：A．距离学校500米，不是有序数对，不能确定物体的位置，故本选项不合题意；
B．季华路，不是有序数对，不能确定物体的位置，故本选项不符合题意；
C．东经120°，北纬30°，是有序数对，能确定物体的位置，故本选项符合题意；
D．北偏西60°，不是有序数对，不能确定物体的位置，故本选项不合题意．
故选：C．
3．如图所示，正三棱柱的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】正三棱柱从上面看到的图形即俯视图．
【解答】解：俯视图是从上面看所得到的图形，看见的棱用实线表示，看不见的用虚线表示，
故选：B．
4．神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是137.5°．我们知道圆盘一周为360°，360°﹣137.5°＝222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．这体现了（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割
【分析】根据黄金分割的定义判断即可．
【解答】解：因为0.618是黄金分割数，
所以体现了黄金分割．
故选：D．
5．在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数是（ ）
A．56 B．60 C．63 D．72
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，这组数据中60出现3次，次数最多，
∴这组数据的众数是60，
故选：B．
6．如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝3，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，可求得OM，进而就可求得EM．
【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，
∴EM⊥CD，
∵CD＝6，
∴CM＝CD＝3，
设OC是x米，则OM＝9﹣x，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝32+（9﹣x）2，
解得：x＝5，
∴OC＝5．
故选：B．
7．如图，点P为∠MON的平分线上一点，∠APB的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，∠APB绕点P旋转时始终满足OA OB＝OP2，若∠MON＝54°，则∠APB的度数为（ ）
A．153° B．144° C．163° D．162°
【分析】通过证明△AOP∽△POB可得∠OAP＝∠OPB，即可解决问题．
【解答】解：∵OP平分∠MON，
∴∠AOP＝∠BOP＝27°，
∵OA OB＝OP2，即，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，
∴∠OAP+∠APO＝153°，
∴∠OPB+∠APO＝153°，即∠APB＝153°，
故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系中，经过A（0，6）的一次函数y1的图象与经过B（0，2）的一次函数y2的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y＝y1 y2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意设C（m，3），y1＝k1x+6，y2＝k2x+2，由一次函数y1的图象与一次函数y2的图象相交于点C，求得k1＝﹣，k2＝，即y1＝﹣x+6，y2＝x+2，得到y＝y1 y2＝（﹣x+6）（x+2）＝﹣x2+12，然后根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：根据题意设C（m，3），y1＝k1x+6，y2＝k2x+2，
∴一次函数y1的图象与一次函数y2的图象相交于点C，
∴3＝mk1+6，3＝mk2+2，
∴k1＝﹣，k2＝，
∴y1＝﹣x+6，y2＝x+2，
∴y＝y1 y2＝（﹣x+6）（x+2）＝﹣x2+12，
∴函数y是二次函数，
∵﹣＜0，
∴函数y图象开口向下，顶点为（0，12），
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】直接利用二次根式的有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
10．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为 2.53×105 兆瓦．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字253000用科学记数法可表示为2.53×105．
故答案为：2.53×105．
11．因式分解：a2﹣9＝ （a+3）（a﹣3） ．
【分析】a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
12．若一组数据2，3，4，5，7的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则 ＞ （填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】先计算两组数据的平均数，再计算两组数据的方差比较即可．
【解答】解：∵1＝（2+3+4+5+7）＝4.2，2＝（11+12+13+14+15）＝13，
∴＝[（7﹣4.2）2+（2﹣4.2）2+（3﹣4.2）2+（4﹣4.2）2+（5﹣4.2）2]＝2.952，
＝[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，
∴＞．
故答案为：＞．
13．设x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1 x2＝ 1 ．
【分析】由韦达定理可知x1+x2＝3，x1 x2＝2，代入计算即可；
【解答】解：x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝2，
∴x1+x2﹣x1 x2＝3﹣2＝1；
故答案为1；
14．在一个不透明的袋中装有7个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
【分析】根据随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：P（这个球是白球）＝＝．
故答案为：．
15．如图，小聪探索发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P，Q时，的长度保持不变．若⊙O的半径为3cm，则的长为 π cm．
【分析】连接OP，OQ，根据圆周角定理求出∠POQ＝60°，再根据弧长公式即可求解．
【解答】解：连接OP，OQ，
∵∠PAQ＝30°，
∴∠POQ＝60°，
∵⊙O的半径为3cm，
∴PQ弧长为：＝π，
故答案为：π．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点和B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为 ﹣3 ．
【分析】先过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，构造矩形CDOE，再根据折叠的性质求得AC＝2，∠ACD＝30°，根据直角三角形的性质以及勾股定理，求得AD与CD的长，得出点C的坐标，最后计算反比例函数解析式即可．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，则CE＝DO，CD＝EO，
∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴AO＝2，OB＝2，
∴AB＝4，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°，
由折叠得，AC＝AO＝2，∠CAB＝30°，
∴∠CAD＝60°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝，CD＝3，
∴DO＝AO﹣AD＝2﹣＝，OE＝CD＝3，
∵点C在第二象限，
∴C（﹣，3），
∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝﹣×3＝﹣3，
故答案为：﹣3．
17．某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是说真话的，也可能是不说真话的，现在知道下面两项事实：①这100人中，至少有1名是不说真话的；②其中任何2人中，至少有1名是说真话的．则这次会议活动中，说真话的人数是 99人 ．
【分析】首先根据①，这次会议活动中，说真话的人数最多是99人，然后根据②，假设有2人不说真话，不满足“其中任何2人中，至少有1名是说真话的”，所以只能有1人不说真话，所以说真话的人数是99人．
【解答】解：∵这100人中，至少有1名是不说真话的，100﹣1＝99（人），
∴说真话的人数最多是99人；
假设有2人不说真话，当抽到的2人都是不说真话的人的时候，不满足“其中任何2人中，至少有1名是说真话的”，
∴只能有1人不说真话，
∴说真话的人数是99人．
故答案为：99人．
18．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D，E分别是射线AB，射线AC上的点，AD，AE的垂直平分线交于点O，当点O落在BC上时，DE长的最小值为 2 ．
【分析】以O为圆心，OD长为半径作△ADE外接圆⊙O，连接OD，OE，OA，由圆周角定理推出△ODE是等腰直角三角形，得到DE＝OD＝OA，当OA⊥BC时，OA长最小，由锐角的正弦求出OA长即可解决问题．
【解答】解：∵AD，AE的垂直平分线交于点O，
∴OD＝OA＝OE，
∴点O是△ADE外接圆的圆心，
以O为圆心，OD长为半径作△ADE外接圆⊙O，连接OD，OE，OA，
∵∠BAC＝45°，
∴∠DOE＝2∠BAC＝90°，
∵OD＝OE，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝OA，
∴当OA长最小时DE长最小，
当OA⊥BC时，OA长最小，
∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴AO＝2，
∴DE长的最小值是OA＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）（1）计算：．
（2）解不等式：．
【分析】（1）先化简二次根式、取绝对值符号、计算负整数指数幂、代入三角函数值，再计算加减即可；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：（1）原式＝2+3﹣﹣3﹣
＝0；
（2）去分母得，x+1≥6（x﹣1）﹣8，
去括号得，x+1≥6x﹣6﹣8，
移项得，x﹣6x≥﹣6﹣8﹣1，
合并同类项得，﹣5x≥﹣15．
系数化为1，得x≤3．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先算括号内的式子，然后算除法即可将所求式子化简，再将m的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：÷
＝
＝
＝
＝m+3，
当m＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．
21．（8分）某学校开设四门社团课程：A美术创作、B音乐欣赏、C跨学科实践、D劳动教育．为了解学生喜欢的课程，学校随机抽取部分学生进行调查，每名学生只能选择一门课程，并将调查结果整理数据，绘制成如下不完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）“B音乐欣赏”课程所对应扇形圆心角的度数为 108 °；
（3）已知该校有800名学生，请估计该校学生选择“C跨学科实践”课程的人数．
【分析】（1）根据D课程的人数和所占的百分比求出样本容量，用总人数减去A、B、D的人数，求出C的人数，从而补全统计图；
（2）用“B音乐欣赏”所占的百分比乘360°即可；
（3）用800乘样本中“C跨学科实践”课程的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由题意得，样本容量为：48÷24%＝200，
故C的人数为：200﹣36﹣60﹣48＝56，
补全条形统计图如下：
（2）“B音乐欣赏”课程所对应扇形圆心角的度数为360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）800×＝224（人），
答：估计该校选择“C跨学科实践”课程的人数大约为224人．
22．（8分）象棋比赛中，采用翻扑克牌比大小的方式决定哪方先走子，五张扑克牌点数分别是1、2、3、4、5，背面无差别，将扑克牌背面朝上，由参赛棋手中一方先翻出一张，然后另一方翻剩下的四张中的一张，点数大者先走；
（1）棋手甲先翻出点数是4，甲先走的概率是 ；
（2）两轮比赛，假设棋手甲翻出点数都是3，求两轮都是甲先走的概率（用画树状图或列表的方法求解）．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）先利用列表法展示所有16种等可能的结果，再找出两轮都是甲先走的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）甲先走的概率是；
故答案为：；
（2）对手翻牌的情况：
第二次第一次 1 2 4 5
1 √ √ × ×
2 √ √ × ×
4 × × × ×
5 × × × ×
共有16种等可能的结果，其中两轮都是甲先走的结果数为4，
所以两轮都是甲先走的概率＝＝．
23．（10分）在2022年北京冬奥会上，除了精彩的赛事，冬奥会吉祥物“冰墩墩”也吸引了不少人的目光，网友戏称：炙手可热，“一墩难求”．某工厂承接了90万个吉祥物的加工任务，为了尽快满足消费者的需求，在实际加工时，每天的产量比原计划提高了50%，结果提前10天完成了这一任务，求原计划每天加工的产量为多少万个．
【分析】设原计划每天加工x万个，则实际每天加工（1+50%）x万个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出x的值，即可求出结论．
【解答】解：设原计划每天加工x万个，则实际每天加工（1+50%）x万个，
根据题意得：﹣＝10，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是所列方程的解，且符合题意，
答：原计划每天加工3万个．
24．（10分）身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上，在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上），经测量，兵兵与建筑物的距离BC＝4米，建筑物底部宽FC＝6米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A据地面的高度AB＝1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝据地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距离3米处固定摆放，通过计算说明；若兵兵充分利用梯子和一根3.5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）过A作AP⊥GF于点P．在Rt△PAG中利用三角函数求得GP的长，进而求得GF的长；
（2）在直角△MNF中，利用勾股定理求得NF的长度，NF的长加上身高再加上竹竿长，与GF比较大小即可．
【解答】解：（1）过A作AP⊥GF于点P，
则AP＝BF＝10米，AB＝PF＝1.4米，∠GAP＝37°，
在Rt△PAG中，tan∠PAG＝，
∴GP＝AP tan37°≈10×0.75＝7.5（米）．
∴GF＝7.5+1.4＝8.9（米）．
（2）由题意可知MN＝5，MF＝3，
∴在直角△MNF中，NF＝＝4米，
∵4+1.65+3.5＝9.15＞8.9，
∴能触到挂在树上的风筝．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长AC、ED交于点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）当CD＝2，⊙O的半径为时，求tan∠BDE的值．
【分析】（1）连接AD、OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，则利用等腰三角形的性质得到BD＝CD，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AB，然后根据平行线的性质得到OD⊥DE，
然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）先证明∠DAC＝∠BDE，再利用勾股定理计算出AD＝4，则利用正切的定义得到tan∠DAC＝，从而得到tan∠BDE的值．
【解答】（1）证明：连接AD、OD，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∴DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
而OD为⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：∵DE⊥AB，
∴∠B+∠BDE＝90°，
∵∠ACD+∠DAC＝90°，∠B＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠BDE，
在Rt△ADC中，∵CD＝2，AC＝2，
∴AD＝＝4，
∴tan∠DAC＝＝＝，
∴tan∠BDE＝．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，0），B（6，10）．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画；
在函数y＝﹣2x+b中，输入b的值，得到直线CD，其中点D在x轴上，点C在y轴上．
①在输入过程中，若△ABD的面积为5，直线CD就会发蓝光，求此时输入的b值；
②若直线CD与线段AB有交点，且交点的横坐标不大于纵坐标时，直线CD就会发红光，直接写出此时输入的b的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，则，再由△ABD的面积为5，得到，即可建立方程，解方程即可得到答案；②先求出直线CD恰好经过A和恰好经过B时b的值，由此得到当2≤b≤22时，直线CD与线段AB有交点，再求出直线CD与线段AB的交点坐标为，根据交点的横坐标不大于纵坐标，建立不等式，解不等式即可得到答案．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b'，
把A（1，0），B（6，10）代入y＝kx+b'中得：，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2；
（2）解：①在y＝﹣2x+b中，当y＝0时，，
∴，
∴，
∵△ABD的面积为5，
∴，
∴，
∴，
∴b＝0或b＝4；
②当直线y＝﹣2x+b恰好经过A（1，0）时，则﹣2+b＝0，
∴b＝2；
当直线y＝﹣2x+b恰好经过B（6，10）时，则﹣12+b＝10，
∴b＝22，
∴当2≤b≤22时，直线CD与线段AB有交点，
联立，解得，
∴直线CD与线段AB的交点坐标为，
∵交点的横坐标不大于纵坐标，
∴，即2b+4≤4b﹣8，
解得b≥6，
综上所述，6≤b≤22．
27．（12分）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作发现
某数学小组对图1的矩形纸片ABCD进行如下折叠操作：
第一步：如图2，把矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，然后把纸片展开；
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点A'处，折痕与AD交于点E，然后展开纸片，连接AA'，BA'，EA'．
问题解决
（1）请在图2中利用尺规作图，作出折痕BE；（保留作图痕迹）
（2）请你判断图3中△ABA'的形状，并说明理由；
（3）如图4，折痕BE与MN交于点F，BA'的延长线交直线CD于点P，若MF＝1，BC＝7，请你直接写出PD的长．
【分析】（1）由题意画出图形即可；
（2）由折叠的性质可得AB＝AB'，MN⊥AB，AM＝BM，可证出A'A＝A'B＝AB，则可得出结论；
（3）由等边三角形的性质及直角三角形的性质求出DH和CD的长，证明△PDH∽△PCB，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】解：如图2，BE为所求．
（2）△ABA'是等边三角形．
理由如下：由折叠的性质可得AB＝AB'，MN⊥AB，AM＝BM，
∴MN是AB的垂直平分线，
∴A'A＝A'B，
∴A'A＝A'B＝AB，
∴△ABA'是等边三角形；
（3）如图4，
∵△ABA'是等边三角形，
∴∠ABA'＝60°，
∴∠MBF＝30°，
在Rt△BMF中，MF＝1，
∴BM＝，
∴AB＝2BM＝2，
在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，
∴AH＝AB tan60°＝2＝6，
∵BC＝AD＝1，
∴DH＝AD﹣AH＝7﹣6＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DH∥BC，AB＝CD＝2，
∴△PDH∽△PCB，
∴，
设PD＝x，
∴，
解得x＝，
∴PD＝．
28．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．
①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；
②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH QH的最大值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①求出点D（2k+2，2k2+3k），点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝（2k+3）x﹣（2k+3），进而求解；
②由PH QH＝2MH QH＝2（﹣s）（t﹣）＝2（）×（s+t）﹣2st﹣（m﹣1）2＝﹣（m﹣4）2+≤，即可求解．
【解答】（1）解：由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1①；
（2）①证明：设直线AD的表达式为：y＝k（x+1）＝kx+k②，
联立①②得：x2﹣x﹣1＝kx+k，
解得：x＝2k+2（不合题意的值已舍去），
则点D（2k+2，2k2+3k），
设直线AD的表达式为：y＝k（x+1）＝kx+k②，
当k＞0时，如图，
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，
当x＝时，y＝k（x+1）＝kx+k＝，即点F（，），
则点F′的坐标为：（，﹣），
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝（2k+3）x﹣（2k+3），
当x＝时，y＝（2k+3）x﹣（2k+3）＝﹣﹣
则F′G＝﹣++＝为定值；
当k＜0时，同理可得：F′G＝为定值；
②解：设AD交PQ于点H，过点H作x轴的平行线交过点Q与y轴的平行线于点N，交过点P与y轴的平行线于点M，
当∠BAD＝45°时，则直线AD的表达式为：y＝x+1，
则直线PQ和x轴负半轴的夹角为45°，
则MH＝PH，NH＝HQ，
则PH QH＝2MH QH，
设直线PQ和y轴交点坐标为：（0，m），则PQ的表达式为：y＝﹣x+m，
联立y＝x+1和y＝﹣x+m并解得：x＝（m﹣1）＝xH，
设点P、Q的横坐标分别为：s，t，
联立y＝x2﹣x﹣1和y＝x+m得：x2﹣x﹣1＝x+m，
则s+t＝3，st＝﹣2﹣2m，
则PH QH＝2MH QH＝2（﹣s）（t﹣）＝2（）×（s+t）﹣2st﹣（m﹣1）2＝﹣（m﹣4）2+≤，
即PH QH的最大值为：；
当点D在x轴下方时，同理可得：PH QH的最大值为：；
故PH QH的最大值为：．