2023年新疆克州中考数学一模试卷（含解析）

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2023年新疆克州中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果零上记作，那么零下记作( )
A. B. C. D.
2. 用含的直角三角尺与直尺按如图所示的方式摆放，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 我国古代数学名著九章算术中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七；不足四，问入数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出钱，则多出钱；每人出钱，则差钱，问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
6. 已知锐角，如图，
在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；
分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，；
作射线交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，在一个宽为，长为的矩形地面上，修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数为常数的图象与、轴分别交于点、，直线与双曲线分别交于点、、若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10. 石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅米，这个数用科学记数法表示为______。
11. 一个暗箱里装有个黑球，个白球，个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是______．
12. 已知点关于原点的中心对称点在第三象限，则的取值范围是______ ．
13. 关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为 ．
14. 一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是______．
15. 如图，正方形的边长为，点在边上运动不与点，重合，点在边上，且，和交于点，当取得最小值时，的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：．
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且．
求证：≌．
若平分，则四边形的形状是______ ．
19. 本小题分
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程要求必须选修一门且只能选修一门？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
共有______名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度；
补全调查结果条形统计图；
小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
20. 本小题分
某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为元、元，这两种苹果的销售额单位：元与销售量单位：之间的关系如图所示．
写出图中点表示的实际意义；
分别求甲、乙两种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式，并写出的取值范围；
若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为元，求的值．
21. 本小题分
如图，海中有一个小岛，它周围海里内有暗礁，一艘渔船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由参考数据：
22. 本小题分
如图，是的直径，，与相切于点，弦与交于点，点在的延长线上．
求的度数；
求证：；
若，求的半径．
23. 本小题分
如图所示，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连结．
求抛物线顶点的坐标；
在直线上方的抛物线上有一点，使得四边形的面积最大，求点的坐标及四边形面积的最大值；
点在抛物线上，当时，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如果零上记作，那么零下记作．
故选：．
根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．
本题考查了正数和负数的意义，正数表示盈余，负数表示亏损，这是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：两直线平行，同位角相等，
等于含的直角三角尺的另外一个锐角，
．
故选：．
根据平行线的性质，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，难度不大，仔细审题即可．
3.【答案】
【解析】解：，故A选项不符合题意；
B.，故B选项不符合题意；
C.，故C选项符合题意；
D.，故D选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的积和单项式除以单项式对选项进行判断；根据单项式乘以单项式对选项进行判断；根据幂的乘方对选项进行判断；根据合并同类项法则对选项进行判断即可解答．
本题考查整式的混合运算，用到的知识点有同底数幂的运算乘法法则，底数不变，指数相加；除法法则，底数不变，指数相减，乘方底数不变，指数相乘，合并同类项只把系数相加减，字母与字母的次数不变，不是同类项的一定不能合并，熟练掌握相关知识点的运用是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：由表格知，乙的方差最小，
所以乙运动员发挥最稳定，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】
【解析】解：由题意可列方程组为，
故选：．
根据“物品价格人数多余钱数人数缺少的钱数”可得方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
6.【答案】
【解析】解：由作图可知：射线即为的角平分线，
，
故C正确，不符合题意；
由作图可知：，，
是的垂直平分线，
，
故D正确，不符合题意；
由作图可知：，
是等边三角形，
，
，
故B正确，不符合题意；
，
当时，，
，
，
故A错误，符合题意；
故选：．
由作图知，，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．
本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】解：矩形地长为，宽为，且小路的宽为，
种草的部分可合成长为，宽为的距离，
又耕地面积为，
根据题意可列方程．
故选：．
由小路的宽，可得出种草的部分可合成长为，宽为的距离，结合耕地面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，，，
，，且四边形为矩形，
矩形的周长．
，，
细线的另一端落在点上，即．
故选：．
根据点、、、的坐标可得出、的长度以及四边形为矩形，进而可求出矩形的周长，根据细线的缠绕方向以及细线的长度即可得出细线的另一端所在位置，此题得解．
本题考查了规律型中点的坐标、矩形的判定以及矩形的周长，根据矩形的周长结合细线的长度找出细线终点所在的位置是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴，轴，
设，则有，
由得：，，
，，，，
，，
在中：，
同理可求：；
，
，
整理得：，
即：，
，
．
故选：．
过点作轴，轴，设，则有，可求，，从而可求，即可求解．
本题考查了反比例函数中的几何意义，勾股定理，理解的几何意义掌握勾股定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法表示绝对值小于的数的一般形式为，其中，是正整数，等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数包括小数点前面的一个零。
【解答】
解：
故答案为。
11.【答案】
【解析】解：个黑球，个白球，个红球一共是个，所以从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是．
故答案为：．
让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】
【解析】解：点关于原点对称的点坐标是，
该点在第三象限，
，
解得．
故答案为：．
先确定点关于原点对称的点坐标，再根据坐标特征得出不等式组，求出解集即可．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解一元一次不等式组，根据不等关系列出不等式组是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了一元二次方程的概念，一元二次方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．
已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出的值，注意二次项系数不为．
【解答】
解：关于的一元二次方程的一个根是，
，即，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：设母线长为，底面半径为，
底面周长，底面面积，侧面面积，
侧面积是底面积的倍，
，
，
设圆心角为，有，
．
故答案为：．
根据圆锥的侧面积是底面积的倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
取的中点，连接，．
、为定点，
点的运动轨迹为以为直径，中点为圆心的圆，当，，共线时，的值最小，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据证明≌得，取的中点，连接，，首先证明点的运动轨迹为以为直径，中点为圆心的圆，当，，共线时，的值最小．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
16.【答案】解：
．
【解析】先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可．
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键．
17.【答案】解：
当时，原式．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式进行化简．再将代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题关键．
18.【答案】菱形
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
．
，
，
≌；
四边形的形状是菱形，理由如下：
平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
故答案为：菱形．
根据平行四边形的性质即可证明结论；
根据平行四边形的性质证明≌可得，再证明四边形是平行四边形，进而可得结论．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】；；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：
把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【解析】解：参与了本次问卷调查的学生人数为：名，
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：，；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：
把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：图中点表示的实际意义为当销量为时，甲、乙两种苹果的销售额均为元；
设甲种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式为，
把代入解析式得：，解得，
甲种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式为；
当时，设乙种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式为，
把代入解析式得：，解得：，
；
当时，设乙种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式为，把，代入解析式得：
，解得：，
，
综上，乙种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式为
；
当时，
根据题意得：，
解得：，不合题意；
当时，
根据题意得：，
解得：，
综上，的值为．
【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
根据图象即可得出结论；
用待定系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式即可；
分和两种情况列方程求解即可．
21.【答案】解：没有触礁危险，理由如下，
过点作，交的延长线于点，
由题意得．，，
，，
，
，
设海里，
在中，，
，即，
，
，
答：渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险．
【解析】过点作，交的延长线于点，根据等边对等角得出，在中，利用三角函数的定义列方程，解方程即可求解．
本题考查了直角三角形的边角关系及其应用，构造直角三角形是常用的方法，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
22.【答案】解：，
，
，点，，在上，
；
证明：连接，如图所示，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：为直径，点在上，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
中，，
，
，，
，
；
设，则，，半径，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
舍，或，
，
的半径为．
【解析】根据同弧所对圆心角是圆周角的倍即可求解；
连接，通过证明，即可证明；
根据相切和直径所对圆周角是直角证明∽，根据相似三角形的性质，对应边成比例，设，在中用勾股定理即可求出答案．
本题考查了圆的综合题，灵活运用所学知识是解题关键．
23.【答案】解：，
抛物线顶点的坐标为；
令，则，
解得，，
点，，
令，则，
点的坐标为，
，，
，
的面积最大时四边形面积最大．
设直线的解析式为，
则，
，
．
设过点与轴平行的直线交于点，
，，
则，
，
当时，的面积最大，最大值为，
此时，，
所以，当点时，四边形面积最大，最大值为．
连接，，作于点．
，，
，
是等腰直角三角形，
．
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
点与点重合，
点的坐标为；
作点关于的对称点，作于点，
，，，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
所以直线的解析式为，
联立，
解得为点坐标，舍去，，
所以，点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或时，．
【解析】化为顶点式求解即可；
先求出的面积，然后判断出的面积最大时四边形面积最大，求出直线的解析式，设过点与轴平行的直线与相交于点，表示出，再表示出的面积，然后利用二次函数的最值问题求出点的横坐标以及的面积，最后求解即可；
连接，，作于点，证明即可；作点关于的对称点，作于点求出直线的解析式，然后与二次函数解析式联立即可求解．
本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数与坐标轴的交点坐标的求法，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数与几何综合，轴对称的性质，数形结合是解答本题的关键．
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