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中考数学几何模型
第十九节：二次函数等腰三角形存在性问题
396.二次函数三角形面积最大值等腰三角形存在性问题(初三)
如图,在平面直角坐标系中,二次函数交轴于点，交y轴于点,在轴上有一点,连接
(1)求二次函数的表达式:
(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点,求面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点,使为等腰三角形 若存在,请直接写出所有点的坐标,若不存在,请说明理由.
397.二次函数线段最大值等腰三角形存在性问题(初三)
如图,已知二次函数的图象与轴相交于两点，与轴相交于点
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,轴于点,与线段交于点,连接PC
①求线段PM的最大值
②当是以为一腰的等腰三角形时,求点的坐标.
398.二次函数等腰三角形存在性问题(初三)
如图,抛物线与轴交于,与轴交于点.连接,点在抛物线上运动.
(1)求抛物线的表达式:
(2)如图①,若点在第四象限,点在的延长线上,当时,求点的坐标:
(3)如图②，若点在第一象限，直线交于点,过点作轴的垂线交于点,当为等腰三角形时,求线段的长.
399.二次函数二倍角存在性问题等腰三角形存在性问题(初三)
如图,二次函数的图象与一次函数的图象交于两点,点在点的右侧,直线分别与轴交于两点,其中.
(1)求两点的横坐标:
(2)若是以为腰的等腰三角形,求的值
(3)二次函数图象的对称轴与轴交于点,是否存在实数,使得,若存在,求出的值;若不存在,说明理由
400.二次函数线段最大值等腰三角形存在性问题(初三)
如图,抛物线交轴于两点,与轴交于点C,连接.点是第一象限内抛物线上的一个动点,点的横坐标为过点作轴,垂足为点交于点.
(1)求此抛物线的表达式:
(2)过点作,垂足为点,请用含的代数式表示线段的长,并求出当为何值时有最大值，最大值是多少
(3)试探究点在运动过程中,是否存在这样的点,使得以为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点的坐标,若不存在,说明理由
401.二次函数面积最大值等腰三角形存在性问题(初三)
如图，开口向上的抛物线与轴交于两点,与轴交于点,且,其中是方程的两个根
(1)求点的坐标,并求出抛物线的表达式;
(2)垂直于线段的直线1交轴于点,交线段于点,连接,求CDE的面积的最大值及此时点的坐标;
(3)在(2)的结论下,抛物线的对称轴上是否存在点,使得是等腰三角形 若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由
答案
396.【解】(1)函数经过点,
,
解得:,
所以二次函数的解析式为:,
(2)由,可求所在直线解析式为,如图,过点作轴于,交于点,交轴于点,过点作,垂足为,
设,则点与轴的两个交点,根据抛物线的两点式知,
.
,
当时,的面积取得最大值为.
(3)易知的对称轴为,设,又,可求,①.当时,,解得,,此时;
②.当时,,
解得,,此时点;
③.当时,,
解得,,此时点.
综上所述,点的坐标为:,
397.【解】(1)将代入函数解析式,得:,解得:,
这个二次函数的表达式为:;
(2)①.设的解析式为,将的坐标代入函数解析式,得:,解得:,
的解析式为,
设,
,
当时, 大;
②:同理,设,当时,,解得(不符合题意,舍),,.
当时,,解得(不合题意,舍),
(不合题意,舍),,.
综上所述:或.
398.【解】(1)是抛物线与轴的两个交点,根据抛物线的两点式知,
(2)根据抛物线表达式可求,即.
,
,
,
,
设,且过点作轴于,则是等腰直角三角形,,即,又在抛物线上,,联立①②两式,解得(-1舍去),此时,点的坐标是.
(3)设与轴的交点为,则,
,分三种情况讨论:
①.若,则,
,
即,
解得(-1舍去),此时.
②.若,如图2-1,过点作轴于点,
,
,又,
,
在Rt中,,
,将上式和抛物线解析式联立,并解得:(舍去负值),此时.
③.若,如图2-2,过点作交于点,,
即平分,,联立抛物线解析式,解得(舍去负值).此时.
综上所述，当时,；当时,；当时,；
399.【解】(1)将二次函数与一次函数联立得:,解得:和2,
故点的坐标横坐标分别为1和2;
(2)由题意得:点坐标是
则,
(1)当时,即:,解得:(舍去2);
(2)当时,,解得:或3;故的值为:-1或-2或-3;
(3)存在,理由:
①当点在轴上方时,过点作轴于点,过点作于点,作的角平分线交于.点,过点作丁点,过点作轴于点,已知点,则点,则,设:,则,则,
,由勾股定理得:
,即:,解得:,
在中,
,解得:,
此时,则,故:舍去正值,故;
②当点在轴下方时,
同理可得:,解得:或,
此时,
故的值为:或.
400.【解】(1)由二次函数交点式表达式得:,
即:,解得:,
则抛物线的表达式为,
(2).当,所以.由得直线的解析式为:.
设点,则点,
,
有最大值,
当时,的最大值为.
(3)存在,理由:设
.
①.当时,则,解得:(舍),此时点,
②.当时,则,解得:(舍去负值).此时点.
③.当时,则
解得:(不符合题意,舍去)
综上所述,点的坐标为:或(3)由知抛物线对称轴为直线,而在对称轴上,是的中点,
401.【解】(1)由得,
,,
,
,即,
,
设抛物线解析式为,
将代入得抛物线解析式为:;
(2)如图1:由得:,
,,设,则,,
,
,
而,
,
时,最大为,此时;
是的中位线,,所以存在,现分三种情况讨论:
①第一种情况:当时,如图2中的和:或,
②第二种情况:当时,如图3中的:
过作轴于,
,
,
即
在的垂直平分线上,,
③第三种情况:当时,如图4中的:设,则,解得,
综上所述,的坐标为或或或.
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