卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年湖南省娄底市双峰县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 年月，中国船舶集团有限公司与法国达飞海运集团在北京正式签订合作协议，协议包括建造型艘大型集装箱船，金额达多亿元人民币，创下了中国造船业一次性签约集装箱船最大金额的新纪录，亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
4. 一组数据、、、、、、的中位数和众数是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5. 下列图形中不是中心对称图形的有( )
A. B. C. D.
6. 一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，，平分，若，则( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，将正方形的各边，，，顺次延长至，，，，且使，则四边形是( )
A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形
9. 如图是由个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，一个边长为的等边三角形木板在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，则顶点从开始到结束所经过的路程及的横坐标分别为( )
A. B. ， C. ， D. ，
11. 定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为( )
A. B. C. D.
12. 二次函数的图象如图所示下列结论：；；为任意实数，则；；若且，则，其中正确结论的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 函数的自变量的取值范围是______ ．
14. 一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则这个多边形的边数是______ ．
15. 一元二次方程有两个相等的实数根，则 ______ ．
16. 如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发光的概率为______．
17. 如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，分别是对角线，的中点当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为______ 结果留根号．
18. 如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，，它们的横坐标依次为，，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则 ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. 先约分，再求值：，其中．
四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
计算：．
21. 本小题分
为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间单位：分钟，按照完成时间分成五组：组“”，组“”，组“”，组“”，组“”将收集的数据整理后，绘制成如图所示两幅不完整的统计图根据以上信息，解答下列问题：
这次调查的样本容量是______ ，请补全条形统计图；
在扇形统计图中，组的圆心角是______ 度；
若该校有名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．
22. 本小题分
如图，塔的高度为，塔的底部与桥位于同一条水平直线上由塔顶测得和的俯角，分别为和求，的长结果精确到
23. 本小题分
某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元．
求篮球和足球的单价分别是多少元；
学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元那么有哪几种购买方案？
24. 本小题分
如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接．
判断四边形的形状，并说明理由．
若，，求四边形的面积．
25. 本小题分
如图，是的直径，点在的延长线上，点、是上的两点，，，延长交的延长线于点．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求直径的长．
26. 本小题分
如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为．
求点的坐标；
已知，为抛物线与轴的交点．
若点在抛物线上，且，求点的坐标；
设点是抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
2.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】
【解析】解：将数据按照从小到大的顺序排列：
、、、、、、，
处于中间位置的数是，
中位数是，
出现的次数最多，
众数是．
故选：．
根据中位数的定义先将数据按照从小到大的顺序排列，然后找出最中间的数即可，根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数是众数，找出出现次数最多的数即可．
此题考查了中位数、众数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．
5.【答案】
【解析】解：、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念．解题的关键是掌握中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
6.【答案】
【解析】解：从图象得到，当时，的图象对应的点在函数的图象上面，
不等式的解集为．
故选：．
函数和的图象交于点，求不等式的解集，就是看函数在什么范围内的图象对应的点在函数的图象上面．
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，数形结合即可得解．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
平分，
．
故选：．
首先根据平行线的性质得，进而可求出，然后根据对顶角相等得，最后根据角平分线的定义可求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
8.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即，
同理可得≌，≌，≌，
，，，
，
四边形是菱形，
又，
四边形是正方形．
故选：．
根据正方形的性质和已知条件可证得≌≌≌，于是得到，可证得四边形是菱形，再证得，即可证明四边形是正方形．
本题主要考查了正方形的性质与判定．熟知正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；掌握正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形；四条边相等的矩形是正方形．
9.【答案】
【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
10.【答案】
【解析】解：一个边长为的等边三角形木板，在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，
，，
弧．
作于，
是等边三角形，
，
，
的横坐标为，
故选：．
由题意知，顶点从开始到结束所经过的路径为圆弧，对的圆心角为，根据弧长公式计算即可求得顶点从开始到结束所经过的路程，根据等边三角形的三线合一的性质即可求得的横坐标．
此题考查了旋转的性质以及等边三角形的一个外角等于度和弧长公式等知识，得出点运动的路径是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据，可以计算出的值．
本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
12.【答案】
【解析】解：图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
，，，
，，故正确；
对称轴是直线，与轴交点在左边，二次函数与轴的另一个交点在与之间，，故正确；
对称轴是直线，图象开口向下，时，函数最大值是；为任意实数，则，，故错误；
，
由得，，故正确；
，，，，，，，，，故错误；
故正确的有个，
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：根据二次根式的意义，
，解得．
根据二次根式的意义，列不等式求的取值范围．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14.【答案】
【解析】解：设这个多边形的边数为，
，
解得，
故答案为：．
设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式和外角和定理，列出方程求解即可．
本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
15.【答案】
【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的方程，求出的值即可．
此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与画树状图求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
【解答】
解：列表如下：
共有种情况，必须闭合开关灯泡才亮，
即能让灯泡发光的概率是．
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：连接、．
四边形，四边形是菱形，，
，，
，分别是对角线，的中点，
，，
，
设，则，，，
，
时，有最小值，最小值为，
故答案为．
连接、首先证明设，则，，，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
18.【答案】
【解析】：当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标，
当时，的纵坐标，
当时，的纵坐标，
当时，的纵坐标，
则；
；
；
；
；
，
．
故答案为：．
求出、、、的纵坐标，从而可计算出、、、的高，进而求出、、、，从而得出的值．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出个阴影的面积表达式是解题的关键．
19.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【解析】先将分式的分子、分母因式分解，再约分即可化简，继而将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：
．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
21.【答案】
【解析】解：这次调查的样本容量是：，
组的人数为：，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：；
在扇形统计图中，组的圆心角是：，
故答案为：；
人，
答：估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生有人．
根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出组的圆心角的度数；
根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：在直角中，，
则，
在直角中，，
则，
则．
【解析】在直角中首先求得，然后利用三角函数求得的长，然后在直角中，利用三角函数求得，根据即可求解．
本题考查了解直角三角形，正确理解方向角的定义，理解直角三角形中的边和角的关系是关键．
23.【答案】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为元，足球的单价为元；
设果购篮球个，则果购足球为个，
要求篮球不少于个，且总费用不超过元，
，
解得，
为整数，
的值可为，，，．
答：共有四种购买方案，
方案一：采购篮球个，采购足球个；
方案二：采购篮球个，采购足球个；
方案三：采购篮球个，采购足球个；
方案四：采购篮球个，采购足球个．
【解析】根据购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据要求篮球不少于个，且总费用不超过元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
24.【答案】解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：≌，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
矩形中，，，，
，，
，
，
设，则，，
，
，
解得，，
，
四边形的面积是：．
【解析】根据题意和翻折的性质，可以得到≌，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；
根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积．
本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
证明：在和中，，
≌，
，
又，
；
解：，，
∽，
，
，
，
．
【解析】连接，可证得，由，可得出，即结论得证；
证明≌可得，又，则；
证明∽，可求出的长，得出的长即可．
本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
26.【答案】解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，
、两点关于直线对称，
点的坐标为，
点的坐标为；
，抛物线的对称轴为直线，
，
解得：，
将代入得，，
解得：，
二次函数的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，，
设点坐标为，
，
，即，
解得：，
点的坐标为或；
设
，，
，
，
，
若点为直角顶点，则，
，
解得：，
；
若点为直角顶点，则，
，
解得：，
；
若点为直角顶点，则，
，
解得：，，
或．
综上，点的坐标为 或或或．
【解析】由点与点关于直线对称即可求解；
求出抛物线的解析式为，则点的坐标为，，设点坐标为，由可得，以此求出的值即可求解；
根据题意可设，再根据两点间的距离公式可得，，，再分三种情况：若点为直角顶点，则；若点为直角顶点，则；若点为直角顶点，则根据勾股定理列出方程求解即可．
本题主要考查二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，解题关键是：利用二次函数的对称性求出点的坐标；根据和三角形面积公式列出方程并求解；根据不同的直角顶点进行分类讨论，利用勾股定理解决问题．
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