2022-2023浙江省金华市重点学校高一（下）期中联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市重点学校高一（下）期中联考数学试卷
1. 已知复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
3. 棱长为的正方体的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
4. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度下为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求该同学取端点绘制了，测得，，，，若点恰好在边上，请帮忙计算的值( )
A. B. C. D.
5. 设、是互不重合的平面，、、是互不重合的直线，下列命题正确的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
6. 已知命题，命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8. 平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 以下四种说法正确的是( )
A.
B. 复数的虚部为
C. 若，则复平面内的共轭复数对应的点位于第二象限
D. 复平面内，实轴上的点对应的复数是实数
10. 已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 已知向量，，对任意，恒有，则( )
A. B.
C. D.
12. 如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处平面，若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是( )
A. 存在某个位置，使得
B. 面积的最大值为
C.
D. 三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积
13. 若实数，满足是虚数单位，则______．
14. 已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为则 ______ ．
15. 已知圆锥，其侧面展开图是半圆，过上一点作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比为，则圆柱的体积与圆锥的体积的比为______ ．
16. 已知函数，若函数有三个不同的零点，，，且，则的取值范围是______ ．
17. 已知向量，，．
若，求实数，的值；
若，求实数的值．
18. 如图，在三棱柱中平面，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．
19. 已知函数，．
求函数的对称轴；
若对任意的恒成立，求的取值范围．
20. 已知，，分别是三个内角，，的对边，且．
求；
若锐角的面积为，求的取值范围．
21. 如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，．
在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由；
求平面与平面所成的锐二面角的正切值．
22. 已知函数，且函数是偶函数，设．
求的解析式；
若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数满足，
则：，
可得，
．
故选：．
直接利用复数两边求模的运算法则求解即可．
本题考查复数的模的求法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，，
又，则，解得．
故选：．
利用向量的数量积的性质结合题给条件即可得到关于的方程，求解即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方体的内切球的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．棱长为的正方体的内切球的半径，由此能求出其表面积．
【解答】
解：棱长为的正方体的内切球的半径，
表面积．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：由题意，在中，由余弦定理可得，，
因为，所以，
在中，由正弦定理，
即，解得．
故选：．
先根据三条边求出，利用平方关系得到，结合正弦定理可得．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：对于，若，，，，则，错误，满足条件与相交时正确，若与平行，不一定垂直于；
对于，若，，则或与相交或与异面，故B错误；
对于，若，，，则或与相交或与异面，相交与异面时也不一定垂直，故C错误；
对于，若，则内存在直线与平行，又，，而，，故D正确．
故选：．
由直线与平面垂直的判定判断；由垂直于同一条直线的两直线的位置关系判断，由线面平行即面面垂直的定义判断，由线面平行的性质及面面垂直的判定判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：由，得，
所以，所以：，
若，则：，此时满足是的充分不必要条件，
若，则：或，此时满足是的充分不必要条件，
若，则：或，此时要满足是的充分不必要条件，则，
综上，所以的取值范围为．
故选：．
根据不等式的解法求出命题，的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行讨论求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，即，，即，
则，，
，，，
，，，即，
，，即，，即，
综上．
故选：．
根据三角函数单调性得出，作商比较与，得出，即可得出，，同取以为底的对数得出与，则只需比较与即可，根据对数运算与单调性得出，即可比较得出，即可得出答案．
本题主要考查实数大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：已知平行四边形中，，，，
设，，
则
，
又，
则的取值范围是，
故选：．
由平面向量的数量积运算，结合平面向量的线性运算及二次函数值域的求法求解即可．
本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了平面向量的线性运算及二次函数值域的求法，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，由复数的概念知，B正确；
对于，，，复平面内对应的点为，故C错误；
对于，复平面内，实轴上的点为，其对应的复数是为实数，故D正确．
故选：．
由复数的概念及其几何意义、复数的运算等知识逐一判断即可．
本题考查复数的概念及其几何意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，原式，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C不正确；
对于，，故D正确．
故选：．
根据同角三角形函数的平方关系、商数关系，结合二倍角公式，转化求值即可．
本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：已知向量，，对任意，恒有
即
即
故选：．
对两边平方可得关于的一元二次不等式，为使得不等式恒成立，则一定有．
本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，，
为线段的中点，，且，
为边的中点，且，
四边形为平行四边形，，
又，不垂直于，不存在某个位置，使得，故A错误；
．
，
当且仅当时，即时取等号，故B正确；
过作平面于，作于，连接，，
则可得是平面与平面所成二面角的平面角，即，
是直线与平面所成角，即，
，，
，即，故C正确；
三棱锥体积最大时，平面，
取的中点，易证是三棱锥的外接球的球心，
外接球的半径为，故三棱锥的外接球的表面积，故D正确．
故选：．
依据题意，结合每个选项的条件逐项判断可得结论．
本题考查空间几何体的性质，考查推理论证能力，考查转化思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，
得，即，．
．
故答案为：．
利用复数相等的条件列式求得，的值，则答案可求．
本题考查复数相等的条件，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：设与的夹角为，
因为，
所以，
又因为在上的投影向量为．
所以，
所以．
故答案为：．
根据平面向量投影的定义结合平面向量数量积运算即可求解．
本题主要考查了平面向量数量积定义及投影的运算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，母线为，依题意，即有，
高，如图，
设圆柱的底面圆半径为，母线为，则，
由，得，
，，
，
圆柱的体积与圆锥的体积的比为：
．
根据给定条件，用圆锥的底面圆半径表示其母线，再用表示圆柱的底面圆半径及母线，结合圆柱、圆锥体积公式求解．
本题考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由于，
当时，方程有个不相等的实数根，在上递增，
所以时，有个根，
且时，有个根，
所以，解得．
由于，则，
所以
，
又，，
所以，．
当时，当时，方程的判别式，
所以此时不符合题意．
当时，，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
将表示为分段函数的形式，对进行分类讨论，求得，，，由此求得的取值范围．
本题考查函数的零点与方程根的关系，化归转化思想，分类讨论思想，属难题．
17.【答案】解：，，
则，
，，
，解得；
，，
又，
，解得．
【解析】根据已知条件，结合向量的坐标运算，即可求解；
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，以及向量平行的性质，属于基础题．
18.【答案】证明：平面，平面，
，
，，平面，，
，四边形是正方形，则，
，平面．
建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
，
，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，，得，令，得，，则，
设直线与平面所成的角为，
则，，
则，即直线与平面所成角的大小为．
【解析】根据线面垂直的判定定理进行证明即可．
建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查线面垂直的判定以及线面角的计算，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
19.【答案】解：，
由，，可得，，
所以，函数图象的对称轴方程为，；
由，得，
因为，所以，
则，
则，
令，
因为，即，
所以，
所以，，
所以，，
因为函数，在上单调递增，
所以函数在上为增函数，
所以，，即．
所以的取值范围为．
【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求得函数图象的对称轴方程；
令，由，可得出，分析函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围．
本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质、转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：，根据正弦定理可得：
，
，
，又，
，
，，
，；
由及题意可得的面积为：，
，根据正弦定理可得，为外接圆的半径，
，
又为锐角三角形，，，
，，，
，即，
【解析】根据正弦定理，三角恒等变换，解三角方程，即可求解；
根据三角形面积公式可得，从而根据正弦定理可得，为外接圆的半径，从而可得，再通过锐角三角形的条件求出的范围，最后通过函数思想，即可求解．
本题考查正弦定理的应用，三角恒等变换，解三角方程，三角形面积公式的应用，函数建模，函数思想的应用，属中档题．
21.【答案】解：当为上靠近的四等分点时，平面．
理由如下：如图，分别取，的中点，，连接，，，．
因为是正三角形，所以．

因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
在正三角形中，，
因为，分别为，的中点，所以，且，
又所以，所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
所以当为上靠近的四等分点时，平面．
如图，取的中点，连接并延长，交的延长线于，连接，，过作，垂足为，连接．

由知，平面，因为平面，所以．
因为，平面，，所以平面，
又平面，所以，
所以为平面与平面所成锐二面角的平面角．
因为，，所以，
在中，，，
所以．
在中，，所以，
所以平面与平面所成的锐二面角的正切值为．
【解析】分别取，的中点，，连接，，，从而可得平面；
取的中点，连接并延长，交的延长线于，连接，，过作，垂足为，连接可得为平面与平面所成锐二面角的平面角，求解即可．
本题考查线面平行的判定，考查二面角的正切值的求法，属中档题．
22.【答案】解：因为是偶函数，
所以二次函数的图象关于对称，
，，
．
不等式可化为，
，
，
不等式可化为．
令，
，
记，，
，
的取值范围是．
当时，，所以不是方程的根；
当时，令，则，
原方程有三个不等的实数根可转化为有两个不同的实数根，，其中，，或者是，．
记，其对称轴为，
所以方程记的两个根不可能为，，
，解得，
的取值范围为
【解析】根据已知函数是偶函数结合图象平移可以找出对称轴，从而确定的值，求出解析式；
化简不等式根据恒成立的条件结合换元法利用二次函数的最值求解即可；
分和两种情况讨论，可以构造函数求解．
此题属于函数与方程的综合应用题，属于难度较大题目．
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