卷子答案网-一个不只有答案的网站高台县2022-2023学年高一下学期7月月考
数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分）
1.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，为直线，为平面，若，，则与的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交或异面 C.异面 D.平行或异面
3.设，是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A.若，是对立事件，则事件，满足
B.事件，，两两互斥，则
C.若和互斥，则和一定相互独立
D.
4.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.
5.《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间分别为83，84，80，69，82，81，81（单位：min）.则这组时间数据的（ ）
A.极差为14 B.方差为22 C.平均数为80 D.中位数为80
6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
7.已知函数，若将其图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，底面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，则该刍甍的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分）
9.在中各角所对的边分别为，，，下列结论正确的有（ ）
A.则为等边三角形；
B.已知，则；
C.已知，，，则最小内角的度数为；
D.在，，，解三角形有两解.
10.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（ ）
A.“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件
B.“都是白球”与“都是黑球”是互斥事件
C.“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件
D.“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立
11.设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ）
A.若，则存在实数使得.
B.若，则.
C.若，则，反向.
D.若，则，一定同向
12.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B.直线与为相交直线
C.若是棱上一点，且，则、、、四点共面
D.平面截该长方体所得的截面可能为六边形
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分）
13.甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是______.
14.在我国古代数学名著《九章算术·商功》中刘徽注解“邪解立方得二堑堵”如图，在正方体中“邪解”得到一堑堵，为的中点，则异面直线与所成的角为______.
15.已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为______.
16.在边长为1的正方形中，，分别为，的中点，则______.
四、解答题
17.已知向量，，，求：
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，求；
（3）若，求的值.
18.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
19.已知函数.
（1）求的单调递减区间。
（2）在中，若，，求的外接圆的面积.
20.如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，，是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）若是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点，使得平面？请说明理由.
21.已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，.
（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
（3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率.
22.如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，分别是，的中点.
（1）证明：；
（2）设，，和平面所成角的大小为，求二面角的大小.
高台县2022-2023学年高一下学期7月月考
数学答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.【答案】B
【解析】，所以.故选：B
2.【答案】D
【解析】因为，所以直线与平面没有公共点，又，
所以与没有公共点，即与的位置关系是平行或异面.故选：D.
3.【答案】A
【解析】A.若，是对立事件，则事件，满足，所以该选项正确；
B.事件，，两两互斥，如：投掷一枚均匀的骰子，
设，，，
则，，两两互斥，，，所以该选项错误；
C.若和互斥，则，则和一定不相互独立，所以该选项错误；
D.只有当和互斥时，，所以该选项错误.故选：A
4.【答案】B
【解析】由题设知：原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.故选：B
5.【答案】C
【解析】极差为样本最大值与最小值之差：，A错误；
平均数为：，C正确；
方差为：，B错误；
样本由大到小排列：69，80，81，81，82，83，84，中位数为81，D错误.故选：C.
6.【答案】A
【解析】在中，因为，可得，
又因为，可得，
即，可得，
由，所以，，所以，
所以为钝角三角形.故选：A.
7.解析：由题意，将其图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为，则，即，又，所以的最小值为.故选C.
答案：C
8.【答案】A
【解析】取，中点，，正方形中心，中点，
连接，，，，如图，
依题意，平面，，点是的中点，，
等腰中，，，同理，
因此，等腰梯形的高，
由几何体的结构特征知，刍甍的外接球球心在直线上，连，，，
正方形外接圆半径，
则有，而，
当点在线段的延长线（含点）时，视为非负数，
若点在线段（不含点）上，视为负数，
即有，即，解得，
因此刍薨的外接球球心为，半径为，
所以刍甍的外接球的体积为.故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【解析】对选项A，因为，
所以.
又因为，所以，
即为等边三角形，故A正确.
对选项B，因为，所以，
所以.
又因为，所以，故C正确.
对选项C，因为，所以为最小角，
，又因为，所以，故C正确.
对选项D，因为，所以，
故不存在，D错误.
故选：ABC
10.【答案】BC
【解析】对A，“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”均包含“一个白球一个黑球”的情况，故A错误；
对B，“都是白球”与“都是黑球”不能同时发生，且不是对立事件，故为互斥事件，故B正确；
对C，“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件，故C正确；
对D，事件“第一次摸到的是白球”的概率，
事件“第二次摸到的是黑球”的概率，
又，因为，
故“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”不相互独立，故D错误；
故选：BC
11.【答案】ACD
【解析】对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且，
则存在实数，使得，故选项A错误；
对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，故选项B正确；
对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误；
对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误；
综上所述：选项ACD错误，故选：ACD.
12.【解析】由题意，在正方体中，因为平面，
所以在平面内射影为，
在长方形中，因为，，可得与不垂直，
结合三垂线定理可得与不垂直，所以A错误；
因为且，可得四边形为梯形，
所以与必相交，所以B正确；
点是棱上一点，且，取的中点，连接，，
因为，分别是和的中点，所以，
由四边形为平行四边形，所以，
所以，，，四点共面，所以C正确；
由选项C可知，，，为截面的边，截面又与平面及相交，
可得截面的两条边，所以截面共有五边形，所以D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.【答案】
【解析】由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是.
那么其中至少有1人解决这个问题的概率是.
故答案为：0.92
14.【答案】
【解析】因为在正方体中，，
所以异面直线与所成的角等于与所成的角，
又因为为正三角形，且为的中点，
所以，即与所成的角为，异面直线与所成的角为.
故答案为：.
15.解析：∵，∴，∴，又∴的面积为
答案：
16.解析：因为，，，
所以
答案：1
四.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【答案】（1）或；（2）1；（3）
【解析】（1）设，
由，且，
得，解得或
∴或
（2）∵，，，，
∴
∴，解得
∴
（3）由已知，
又，，，
∴，解得
18.[解]（1）依题意，，
解得.
∴直方图中的值为0.0075.
（2）由图可知，最高矩形的数据组为，
∴众数为.
∵的频率之和为，∴依题意，设中位数为，
∴.
解得，∴中位数为224.
（3）月平均用电量在的用户在四组用户中所占比例为，
∴月平均用电量在的用户中应抽取（户）.
19.答案略.
20.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当为中点时，平面.
【解析】（1）∵平面，平面，平面平面，
所以.
（2）因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面.
（3）取的中点，连接，，
，分别为，的中点，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面，，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面.
线段上存在点，使得平面.
21.【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，则；
（2）设事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，则，
则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
；
（3）设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，则，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件
是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：
22.【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点，连接，.
因为，分别是，的中点.
所以，
又因为，
所以，，
又∵，∴平面.
又平面，所以.
（2）因为，，，所以平面，
所以为二面角的平面角，
又因为，，所以平面，.
连接，则
在中，
因为，所以平面.
故是和平面所成的角，即，且，
在中，，，所以，
故所求二面角的大小为.
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