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奥数拓展第七讲：百分数-数学六年级上册苏教版
一、选择题
1．在500克含盐率为8%的盐水中加（ ）克盐能得到含盐率为20%的盐水。
A．15 B．35 C．55 D．75
2．有酒精含量为的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为的溶液，如果再稀释到，那么还需要加水的数量是上次加的水量的（ ）倍。
A．1.5 B．2 C．3 D．2.5
3．甲、乙、丙三个班级人数相同，甲班有60%是男生，乙班的男生与丙班的女生同样多，三个班级中所有男生与所有女生人数的比是（ ）。
A．7∶8 B．8∶7 C．3∶2
4．某商品进价为每件2000元，按标价的9折出售，每件利润减少，则该商品的标价是（ ）元。
A．4000 B．2500 C．2400 D．3000
5．下列图（ ）中的阴影部分不能表示一个正方形的25%。
A． B．
C． D．
6．下面几种说法中，正确的是（ ）。
A．一个长方体，如果有两个相邻的面是正方形，这个长方体就是正方体。
B．某种产品的合格率为，那么合格产品与不合格产品的比是。
C．钟面上分针与时针转动的速度比是。
D．调查显示：“双十一”期间，个别网店卖家提前将商品提价，再在“双十一”期间降价出售，这件商品的实际价格与原价相同。
二、填空题
7．一瓶牛奶，喝了60%，已喝的和剩下的比是( )，已喝的比剩下的多( )（填百分数），如果还剩200毫升，则喝了( )毫升，如果喝了的比剩下的多200毫升，则还剩( )毫升。
8．40米的正好是50米的( )%，( )吨减少后是45吨，258增加后是( )。
9．最新的《个人所得税条例》规定，公民工资薪水每月不超过3000元者不必纳税，超过3000部分，按超过金额分段纳税，详细内容如下。某人3月份纳税166元，则他月薪为( )元。
超过3000元部分税率：
10．某种微波炉的标价为1260元，若九折降价出售仍可获利8%（相对于进价）。若以标价1260元出售，可获利（相对于进价）( )元。
11．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是EC的中点，阴影部分的面积是正方形面积的( )%。
12．在100千克浓度为50%的硫酸中，再加入( )千克浓度为5%的硫酸溶液。就可以配制浓度为25%的硫酸溶液。
13．张阿姨买一件商品的售价为480元，商场的优惠活动是“满300元减120元”，那么张阿姨买这件商品是打了( )折，如果我在这家商场买一件商品的售价是180元，那么我的这件商品是打了( )折。
14．我们知道对于糖水来说，如果往糖水里加糖，它将会变得更甜；如果加水，它将会变得更淡，根据这个事实请在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( )
三、解答题
15．王师傅计划用若干小时加工一批零件。如果按计划加工120个后，工作效率提高25%，就可以提前40分钟完工；如果一开始工作效率就提高，可以提前1小时完工。王师傅原计划每小时加工多少个零件？
16．甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多，然后甲、乙分别按80%与50%的利润出售，两人全部售完后甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装13套（进价不变），甲原来购进这种时装多少套？
17．乘坐飞机的每位旅客，携带行李超过20千克的部分，每千克要按飞机票原价的1.5%购买行李票。张芳从南京乘飞机到北京，票价打八折后是808元。南京到北京飞机票的原价是多少元？张芳带了40千克行李，应付行李费多少元？
18．食堂原来有一些大米和面粉，现又运进24袋大米，则大米的袋数是面粉的。如果运进的24袋是面粉，则面粉的袋数是大米的150%。食堂原来有大米和面粉各多少袋？
19．商店卖一种书包，如果每个售价为150元，那么售价的60%是进价，售价的40%就是赚的钱。现在要搞促销活动，为保证一个书包赚的钱不少于30元，应该怎样确定折扣？
20．小明是一个小统计迷，某天他统计了学校六（1）班和六（2）班的人数后，回去跟妈妈交流，给了妈妈这样几条信息：
①这两个班的人数正好相等；②六（1）班的女生人数比六（2）班的女生人数少10%；③六（1）班的男生人数与六（2）班全班人数的比是；④六（2）班有女生30人 请你帮小明妈妈计算出：
（1）六（1）班女生有多少人？
（2）六（2）班男生有多少人？
参考答案：
1．D
【分析】含盐率＝盐的重量÷盐水的重量×100%，盐的重量＝盐水的重量×含盐率．先求出原来的含盐量，设要加盐x克，那么后来盐的重量＝原来盐水的重量加上加的盐的重量乘20%，据此列方程解答。
【详解】解：设要加盐x克，由题意得：
500×8%＋x＝（500＋x）×20%
40＋x＝100＋20%x
40＋x－40＝100＋20%x－40
x＝60＋20%x
x－20%x＝60＋20%x－20%x
80%x＝60
0.8x＝60
0.8x÷0.8＝60÷0.8
x＝75
故答案为：D
【点睛】本题要注意的是加上盐之后，盐水的重量也发生了变化，需要加上加的盐的重量。
2．A
【分析】假设有100克含量为的盐水，题干所蕴含的等量关系：加水前后所含的盐的质量不变，设加了克的水后稀释成浓度为的盐水，将未知数代入等量关系式进行解答即可得到加入的水，再进一步求出第二次加入的水的质量，据此进一步解答。
【详解】解：设有100克含量为的盐水，第一次加了克的水后稀释成浓度为的盐水，
设有100克含量为的盐水，第二次加了克的水后稀释成浓度为的盐水，
还需要加的水量是上次加的水的1.5倍。
故答案为：。
【点睛】本题主要考查了浓度问题，题干里的加水前后所含的盐的质量不变，是解决此题的关键。
3．B
【分析】假设每个班都有100人，甲班人数×男生对应百分率＝甲班男生人数；因为乙班的男生与丙班的女生同样多，说明乙丙两班的男女总人数相等，即都是100人。据此确定三个班的男生和女生总人数，写出男女生人数比，化简即可。
【详解】假设每个班都有100人。
100×60%＝60（人）
男生总人数：100＋60＝160（人）
女生总人数：100－60＋100＝140（人）
160∶140＝16∶14＝8∶7
故答案为：B
【点睛】整体数量×部分对应百分率＝部分数量，两数相除又叫两个数的比，本题关键是理解乙丙两班的男女总人数相等。
4．C
【分析】设该商品的标价为x元。按标价的9折出售，则售价是90%x元，每件商品的原利润为（x－2000）元。售价比标价减少的部分即是现在减少的利润，即标价－售价＝原利润×60%，据此列方程解答。
【详解】解：设该商品的标价为x元。
x－90%x＝（x－2000）×60%
0.1x＝0.6x－1200
0.5x＝1200
x＝2400
故答案为：C
【点睛】本题考查经济问题。明确题目中进价、标价、售价和利润之间的等量关系是列方程的关键。
5．C
【分析】分别求出每个图形中阴影部分所占正方形的百分率，选择即可。
【详解】A．正方形分成两种图形，每种图形平均分成4份，每份各占相同图形的 ，所以2份阴影占正方形的，即25%。
B．正方形分成4个相同的小正方形，阴影图形面积正好等于一个小正方形的面积，所以阴影部分占正方形的25%；
C．通过图形旋转、平移可得，阴影部分与扇形组成了正方形，设正方形的边长为1，可得正方形的面积1，扇形的面积为π，阴影部分的面积则为1－π，可得阴影部分是正方形的1－π，所以阴影部分不能表示一个正方形的25%；
D．当一个正方形的1个顶点在另一个正方形的中心时，无论怎么旋转形成的阴影部分都等于不动的正方形的25%。
故选择：C
【点睛】认真观察图形，根据图形的特点进行旋转平移，寻找问题突破点。
6．A
【分析】长方体中，如果有四个面是正方形，那么就一定是长方体；产品的合格率指的是合格产品的数量占总数的百分率；分针每小时走360度，时针每小时走30度，转过的度数比即为速度比；先提价10%，后降价10%，价格比原价要低。
【详解】A．有两个相邻的面是正方形，那说明有4个面是正方形，这样余下的两个面也一定是正方形，所以这个长方体是正方体，正确；
B．合格率是90%，相当于合格产品是9份，不合格产品是1份，合格产品与不合格产品的比是9∶1，错误；
C．分针与时针转动的速度比360∶30，化简后是12∶1；
D．可以假设原价是100元，那么现价是，比原价低，错误；
故答案选：A。
【点睛】长方体中最多只能有两个面是正方形，如果有四个面是正方形，必然六个面都是正方形。
7． 3∶2 50% 300 400
【分析】把这瓶牛奶的容积看作单位“1”，喝了60%，那么还剩下（1－60%），根据比的意义，求出已喝的和剩下的比；再根据求一个数比另一个数多百分之几，把剩下的部分看作单位“1”，用除法求出已喝的比剩下的多百分之几；如果还剩200毫升，剩下的占这批牛奶的（1－60%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法求出这批牛奶的总量，然后根据求一个数的百分之几是多少，用乘法求出喝了多少毫升；如果喝了的比剩下的多200毫升，先求出这批牛奶共有多少毫升，进而求出还剩下多少毫升。
【详解】60%∶（1－60%）
＝60%∶40%
＝3∶2
[60%－（1－60%）]÷（1－60%）×100%
＝[0.6－0.4]÷0.4×100%
＝0.2÷0.4×100%
＝0.5×100%
＝50%
200÷（1－60%）×60%
＝200÷0.4×0.6
＝500×0.6
＝300（毫升）
200÷[60%－（1－60%）]×（1－60%）
＝200÷[0.6－0.4]×0.4
＝200÷0.2×0.4
＝1000×0.4
＝400（毫升）
已喝的和剩下的比是3∶2，已喝的比剩下的多50%，如果还剩200毫升，则喝了300毫升，如果喝了的比剩下的多200毫升，则还剩400毫升。
【点睛】此题属于稍复杂的百分数乘除法应用题，关键是确定单位“1”，根据比的意义，已知一个数的百分之几是多少，求这个数的方法，求一个数的百分之几是多少的方法解答。
8． 16 60 301
【分析】（1）先把40米看成单位“1”，用40米乘，求出40米的是多少米，再除以50米即可；
（2）把要求的质量看成单位“1”，它减少后就是它的（1－），也就是45吨，根据分数除法的意义，用45吨除以（1－）即可求解；
（3）把258看成单位“1”，增加后的就是258的（1＋），用258乘这个分率即可求解。
【详解】（1）
40×÷50
＝8÷50
＝16%
40米的正好是50米的 16%；
（2）45÷（1－）
＝45÷
＝45×
＝60（吨）
60吨减少后是45吨；
（3）258×（1＋）
＝258×
＝301
258增加后是 301。
【点睛】这种类型的题目属于基本的分数乘除的应用，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问题。
9．5410
【分析】超过3000元部分的税率：先用1500元乘5%，求出1500元需缴纳的税款；然后用总纳税166元减去1500元的税款，就是还剩余的税款，按10%纳税，用剩余的税款除以10%，即可求出这部分纳税前的薪水；所以他的月薪为三部分：不必纳税的3000元、按5%纳税的1500元、按10%纳税的这部分的薪水，这三部分相加即可。
【详解】1500×5%＝75（元）
（166－75）÷10%
＝91÷0.1
＝910（元）
3000＋1500＋910
＝4500＋910
＝5410（元）
他月薪为5410元。
【点睛】本题考查分段纳税问题，分清每一段的临界点，以及每一段的税率是解题的关键。
10．210
【分析】九折降价出售，则售价为1260×90%＝1134元。此时获利8%，则进价为1134÷（1＋8%）＝1050元。若以标价1260元出售，可获利1260－1050＝210元；据此解答。
【详解】1260－1260×90%÷（1＋8%）
＝1260－1134÷1.08
＝1260－1050
＝210（元）
【点睛】本题主要考查折扣问题，求出进价是解题的关键。
11．62.5
【分析】如图，连接AC，把阴影部分分成两部分：三角形ABC和三角形ACF，计算三角形ACF与正方形ABCD的面积关系，即可求得。
【详解】
由图可知，S三角形ACD＝S三角形ABC＝S正方形ABCD
E是AD的中点，则S三角形ACE＝S三角形DCE＝S三角形ACD
F是EC的中点，则S三角形ACF＝S三角形AEF＝S三角形ACE
则S三角形ACF＝×S三角形ACD＝S三角形ACD＝×S正方形ABCD＝S正方形ABCD
所以，阴影部分的面积＝S正方形ABCD ＋S正方形ABCD＝S正方形ABCD＝62.5%S正方形ABCD
【点睛】分析图形计算出三角形ACF与正方形ABCD的面积关系是解答题目的关键。
12．125
【分析】先求出100千克浓度为50%的硫酸中的含硫酸的量，设加入x千克浓度为5%的硫酸溶液，就可以配制浓度为25%的硫酸溶液。则加入的溶液中含硫酸的量为5%x千克，而配制成的溶液中含硫酸的量为25%×（x＋100）千克，由此根据硫酸的含量不变列出方程，解答即可。
【详解】解：设加入x千克浓度为5%的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液，根据题意列出方程：
100×50%＋x×5%＝25%（x＋100）
50＋0.05x＝0.25x＋25
0.2x＝25
x＝125
【点睛】关键是根据题意，设出未知数，再根据硫酸的含量不变列出方程，解方程即可。
13． 七五 十
【分析】一件商品的原价是480元，按照商场推出的活动，享受优惠，满300元减120元，即是花了480－120＝360（元），实际花了360元，商品原价是480元，用实际价格÷原价×100%可求出几折。
【详解】（480－120）÷480×100%
＝360÷480×100%
＝0.75×100%
＝75%
75%即七五折。
售价为180元，未满足优惠条件，所以不能优惠，即十折。
【点睛】本题考查折扣问题，掌握折扣和百分数的关系是关键。
14． ＞ ＜
【分析】根据题意，表示糖水的含糖率，含糖率＝。表示在糖水中加入质量为a的水后的含糖率，糖水变淡，含糖率减少，即＞；表示在糖水中加入质量为a的糖后的含糖率，糖水变得更甜，含糖率增加，即＜。
【详解】如果往糖水里加糖，它将会变得更甜；如果加水，它将会变得更淡。据此可得＞，＜。
【点睛】理解含糖率和含有字母的式子的意义是解题的关键。
15．270个
【分析】从开始提高，那么工作效率是原来的1＋＝，工作时间与工作效率成反比例，工作时间是原来的，工作时间提高了，它对应的时间是1小时，由此求出原来用的时间；
如果全部加工完，效率提高25%后是原来的，那么所用的时间为原来时间的；前120个零件按原效率工作提前40分钟，即小时，剩下零件需要的时间看作单位“1”，小时是原来的1－，由此求出剩下零件用的时间，进而求出前120个零件用的时间；然后用120除以这个时间就是原来的效率，进而可以求出全部的零件数。
【详解】1＋＝
1÷（1－）
＝1÷
＝1×6
＝6（小时）
1＋25%＝
÷（1－）
＝÷
＝×5
＝（小时）
120÷（6－）
＝120÷
＝120×
＝45（个）
45×6＝270（个）
答：这批零件有270个。
【点睛】解决本题先根据第一次效率提高求出原来完成全部工作量需要的时间；再由120个零件后，再将效率提高25%，提高时间40分钟即小时，求出120个零件用的时间，再求出原来每小时加工的零件数，进而求出工作总量。
16．60套
【分析】设甲原来购进这种时装x套，乙购进的套数比甲多，则乙购进甲的套数的（1＋），用甲购进的套数×（1＋），求出乙购进的套数；即乙购进x×（1＋）套；甲、乙分别按80%与50%的利润出售，两人全部售完后甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装13套，即甲套数的80%减去乙套数的50%等于再购进的13套，列方程：80%x－（1＋）x×50%＝13，解方程，即可解答。
【详解】解：设甲原来购进这种时装x套。
80%x－（1＋）x×50%＝13
x－x×＝13
x－x＝13
x－x＝13
x＝13
x＝13÷
x＝13×
x＝60
答：甲原来购进了60套。
【点睛】本题考查方程的实际应用，关键明确甲、乙分别按80%与50%的利润出售，也就是甲购进服装的80%减去乙购进服装的50%的套数等于13套。
17．1010元；303元
【分析】票价打八折后是808元，则808元是原价的80%，用808除以80%即可求出飞机票的原价。
张芳带了40千克行李，超过20千克的部分是：40－20＝20（千克）。超出部分每千克要按飞机票原价的1.5%购买行李票，用飞机票的原价乘1.5%即可求出每千克收取的行李票价格，再乘超出的20千克求出张芳应付的行李费。
【详解】808÷80%＝1010（元）
1010×1.5%＝15.15（元）
15.15×（40－20）
＝15.15×20
＝303（元）
答：南京到北京飞机票的原价是1010元，张芳应付行李费303元。
【点睛】本题考查百分数的应用。已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算；求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。
18．大米144袋，面粉192袋
【分析】设食堂原来有面粉x袋，则运进24袋大米后，大米有x袋，那么原来大米有（x－24）袋。如果运进的24袋是面粉，则面粉的袋数是大米的150%，那么原来大米的袋数×150%－原来面粉的袋数＝24袋，据此列方程解答求出原来面粉的袋数，继而求出原来大米的袋数。
【详解】解：设食堂原来有面粉x袋。
（x－24）×150%－x＝24
x－36－x＝24
x＝60
x＝60×
x＝192
大米：192×－24
＝168－24
＝144（袋）
答：食堂原来有大米144袋，面粉192袋。
【点睛】本题用方程解答比较简便。列方程解含有两个未知数的问题时，设其中的一个未知数是x，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据等量关系即可列出方程。
19．八折
【分析】根据题意，售价的60%是进价，把原来的售价看作单位“1”，用原来的售价乘60%求出这种书包的进价；然后用进价加上至少要赚的钱，求出实际售价；根据折扣＝实际售价÷原价×100%，即可求出这种书包的折扣。
【详解】150×60%＝90（元）
90＋30＝120（元）
120÷150×100%
＝0.8×100%
＝80%
80%＝八折
答：八折促销。
【点睛】本题考查折扣问题，百分之几十就是几折；掌握进价、原价、售价、折扣之间的关系是解题的关键。
20．（1）27人
（2）30人
【分析】（1）根据题意，六（2）班有女生30人，把六（2）班女生人数看作单位“1”；六（1）班的女生人数比六（2）班的人数少10%，六（1）班女生人数是（1－10%），再用六（2）班人女生数×（1－10%），即可求出六（1）班人数。
（2）根据题意可知，这两个班的人数正好相等，六（1）班的男生人数与六（2）班全班人数的比是，即六（1）班男生人数占全班人数的 ，则女生占全班人数的1－ ＝ ，对应的是六（1）班女生人数，再用六（1）女生人数÷，即可求出全班人数，进而求出六（2）班男生人数。
【详解】（1）30×（1－10%）
＝30×90%
＝27（人）
答：六（1）班女生人数有27人。
（2）27÷（1－）
＝27÷
＝27×
＝60
60－30＝30（人）
答：六（2）男生人数是30人。
【点睛】根据求一个数的百分之几是多少；比的应用，以及已知一个数的几分之几是多少，求这个数的知识进行解答。
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