卷子答案网-一个不只有答案的网站2024 届淮安市高三第一次调研测试
数学试卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．集合 A 0,1,2,3 ，B 2a a A ，则 A B的所有元素之和是
A． 2 B．16 C．18 D．12
【答案】B
【解析】B 0,2,4,6 ， A B 0,1,2,3,4,6 ， A B中所有元素和16 ，选 B.
Z
2．设复数Z1 1 2i ，Z2 cos isin （ i为虚数单位），则 1 Z2
5 5 5 5A． B． C． D．
3 2 4
【答案】A
Z1 Z 5【解析】 1 5 ，选 A.
Z2 Z2 1
3．在平面直角坐标系 xOy中，直线 l通过原点，n (3,4) 是 l 的一个法向量，则直线 l倾斜
角的余弦值为
4 4 3 3
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】A
4 3 4
【解析】法向量对应的斜率为 ，则直线 l的斜率为 ，则直线 l倾斜角的余弦值为 ，
3 4 5
选 A.
4．在△ABC 中，设点 A(xA, yA) ，点B(xB , yB ) ，点C(xC , yC ) ，利用二次函数知识可确定
出到△ABC 3 个顶点距离的平方和最小的点为△ABC 的
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
【答案】A
【解析】设P(x, y) ，PA2 PB2 PC 2 (x xA)
2 (y yA)
2 (x xB )
2 (y yB )
2
(x xC )
2 (y y 2 2C ) 3x 2(xA x x )x x
2 x2 x2B C A B C 3y
2
2(yA yB y )y y
2
C A y
2
B y
2
C
x xA xB xC y y y y当 ， A B C 时PA2 PB2 PC 2 最小，
3 3
此时P为△ABC 的重心，选 A.
5．若锐角△ABC 的内角 B，C 满足cot B cotC 1，则cot A的最小值为
4 3 1
A． B． C．1 D．
3 4 2
【答案】B
cot x 1 cos x 1 1【解析】 ， 1，即 tanB tanC tanB tanC
tan x sin x tanB tanC
1 1 1 tanB tanC tanB tanC 1 1
1 ，
tan A tan(B C) tanB tanC tanB tanC tanB tanC
而 tan B tanC 2 tan B tanC ， tan B tanC 1 1 3 4 ， 1 ，选 B.
tan A 4 4
6．设数列 an 的前n项和为Sn .记命题 p :“数列 an 为等比数列”，命题q :“Sn ，S2n Sn，
S3n S2n成等比数列”，则 p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】 an 成等比，设公比为q，当q 1时，n为偶数时，Sn S2n Sn S3n S2n 0
显然不成等比，充分性不成立，若Sn ， S2n Sn，S3n S2n成等比数列.
n 1时，a1,a2 ,a3 成等比数列，例如取a1 1，a2 1，a3 1 .
n 2 时， a1 a2 ， a3 a4 ， a5 a6 也成等比数列 2(a5 a6 ) (1 a4 )
2 ，取 a4 3 ，
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
a5 a6 8 .
n 3 时，a1 a2 a3 ，a4 a5 a6 ，a7 a8 a9 成等比数列，
3(a7 a
121
8 a9) 11
2 a7 a8 a9 .3
以此类推可以赋值得到 an 的各项值，但此时a1,a2 ,a3,a4 已不成等比数列，故必要性也不成
立，选：D.
7．设正整数m 2023 .若m既可以表示为连续9 个正整数的和，又能表示为连续11个正整数
的和，则这样的m的个数为
A．18 B．19 C． 20 D． 21
【答案】C
【解析】m可表示为连续9 个正整数的和，则m是9 的倍数.
m可表示为连续11个正整数的和，则m是11的倍数，则m是99 的倍数.
2023 99 20.4 ， 满足条件的m有 20 个，选 C.
8．在四面体 ABCD中， AB 3，BC 4，CD 5，DA 6 ，则 AC BD的值为
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】B
【解析】 AC DC DA BC BA， (DC DA)2 (BC BA)2 ，
2 2 2 2
DC DA 2DC DA BC BA 2BC BA， BC BA DC DA 18
BD AD AB， AC BD (DC DA)(AD AB)
2
DC AD DC AB AD AB DA DC AD AB CA 36
DC AD AB(CB BA) 36 DC DA BA BC 9 36 18 27 9，选 B.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．已知实数a,b,c满足a b c，且a b c 0 ，则
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
ac2 bc2 a b
2
A． B． C．a2 4bc 1 aD． 2
c c 5 b2 c2
【答案】ACD
【解析】a b c且a b c 0 ，则a 0，c 0 ， c 0 ， c2 0 ，
ac2 bc2 a b ，A 对. ，B 错.
c c
a b c，a2 4bc (b c)2 4bc (b c)2 0 ，C 对.
a2 ( b c)2 b2 c2 2bc 1 2bc
2
2 2 a
b2 c2
2 ，b c 2bc， 2 ，b c2 b2 c2 b2 c2 b2 c2
a b c b， 2b c 0 ，a b c 0 ， b 2c 0
a2 1 2
2 2 5a b
2 c2 4a2 2bc (2b c)(b 2c) 0 ，D 对.
b c 5
选 ACD.
10．在三维空间中，定义向量的外积：a b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下
列两个条件：①a (a b) ，b (a b)，且a，b和a b构成右手系（即三个向量的方向
依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b的模 a b a b sin a,b
（ a,b 表示向量a，b的夹角）.
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，有以下四个结论，正确的有
A． AB1 AC AD1 DB B． A1C1 A1D与BD1 共线
C． AB AD AD AB D．6 BC AC 与正方体表面积的数值相等
【答案】ABD
【解析】对于 A，设正方体棱长为1，在正方体中 AB,AC 60 ，
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
则 AB1 AC AB1 AC sin AB1,AC 2 2
3
3 ，BD B1D1，2
且 AD1B1 60 ，则 AD1,DB 120 ，
AD1 DB AD1 DB sin AD ,DB 2 2
3
1 3 ，2
AB1 AC AD1 DB ，A 对.
对于 C，由a,b和a b构成右手系知a b与b a方向相反，由a b模的定义知
a b a b sin a,b b a sin b,a b a ， a b b a，
AB AD AD AB，C 错.
对于 B， A1C1 B1D1 ， A1C1 BB1 ， A1C1 面BDD1B1 ， A1C1 BD1 ，
又BD1 A1D，由右手系知 A1C1 A1D与BD1 同向，B 对.
对于 D，设正方体的棱长为a，6 BC AC 6 BC AC sin 45 6 2 2a a 6a2 ，
2
正方体表面积为6a2 ，D 对.
11．某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在
两人抽取的一批产品中均有5 件次品.员工 A从这一批产品中有放回地随机抽取3 件产品，员工
B从这一批产品中无放回地随机抽取3 件产品.设员工 A抽取到的3 件产品中次品数量为 X ，
员工B抽取到的3 件产品中次品数量为Y，则下列判断正确的是
A．随机变量 X 服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C．P(X k) P(Y k) D．E(X ) E(Y )
【答案】ABD
5
【解析】 X 服从二项分布，A 对. X ~ B 3, n
，Y服从超几何分布，B 对. X ~ H (3,5,n)
5 15 3 5 15
对于 D，E(X ) 3 ，E(Y ) ， E(X ) E(Y ) ，D 对.
n n n n
对于 C，若P(X k) P(Y k) ，则E(X ) E(Y ) ，矛盾，C 错，选 ABD.
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
12．已知曲线C : x2n 2nx y
2 0(n 1,2, ) .点P( 1,0) 向曲线Cn 引斜率为kn (kn 0) 的
切线 ln，切点为Pn (xn , yn ) .则下列结论正确的是
A．当n 2 2 5 n时，kn B．数列 xn 的通项为 x 5 n n 1
C．数列 yn y
2n 1
的通项为 n
1 x
D． n 2 sin xn
n 1 1 xn yn
【答案】ABD
【解析】n 2时C : x22 4x y
2 0，即 (x 2)2 y2 4 过P( 1,0) 作C2 的切线，
2k k
设切线： y k(x 1) ，即kx y k 0 2 k 2 5 ， ， ，
k 2 1 5
k 2 5n 0 ， k2 ，A 对.5
设 ln : y kn (x 1) 与 x
2 2nx y2 0 联立 (1 k 2 )x2n (2k
2
n 2n)x k
2
n 0
0 即 4(k 2 n)2n 4(1 k
2
n )k
2 n
n 0 得kn 2n 1
n k 2x n n y k (1 x ) n 2n 1n 2 ， n n n ，B 对，C 错.1 kn n 1 n 1
xn 1 1 x n ，令 f (x) x 2 sin x， f (x) 1 2 cos x 0 ， x
yn 2n 1 1 xn 4
f (x) 在 0,
， f (x) f (0)
0 ，即 x 2 sin x在 0, 恒成立，
4 4
1 1 1
又 ， 2 sin 1 成立，故 D 正确，选 ABD.
2n 1 3 4 2n 1 2n 1
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．3 名女生和 2 名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有_____种站法.
【答案】96
【解析】由题意排除两名男生相邻且排在两端即可， A5 2A35 3A
2
2 96 .
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
3
14．已知a 0 ，则 (x2 a)4 1 1
的展开式中， x2 的系数所能取得的最大值为________.
x
【答案】54
【解析】 (x2 a)4 展开式第 r 1项T Cr (x2 )4 r ar Crar 8 2rr 1 4 4 x
3 p
1
1
展开式第 p 1项T C
r 1 1 1 pp 1 3 C3 ( 1)
p x p
x x
T T CrC pa r ( 1) p x 8 2r pr 1 p 1 4 3 ，8 2r p 2 ， r 2, p 2 ，C
2C24 3a
2 ( 1)2 x2 18a2x2
r 3 ， p 0，C3C0a3( 1)0 x2 4a3x2 ， x2 34 3 系数 4a 18a
2
f (a) 4a3 18a2 (a 0)， f (a) 12a2 36a 0 ，a 3
f (a) 在 ( , 3) ， ( 3,0) ， f (a)max f ( 3) 54 ， x
2 系数最大值54 .
15．已知a lg ablgbclg c 5，a lgbblg cclg a 2 ，则abc的值为_________.
1
【答案】10 或
10
【解析】 lga lg ablgbclg c lg5 ，则 (lga)2 (lgb)2 (lgc)2 195①，
lgalgbblgcclga lg 2 ，则 2lga lgb 2lgb lgc lga lgc lg 2②，
① ②， (lga lgb lgc)2 1， lgabc 1 1， abc 10 或 .
10
16．已知四面体 ABCD各顶点都在半径为3 的球面上，平面 ABC 平面BCD，直线 AD与
BC所成的角为90 ，则该四面体体积的最大值为________.
【答案】5 4 45
【解析】设三棱锥外接球球心为O，半径为R，O到平面 ABC的距离为 x，O到平面BCD
的距离为 y，BC 2m， x2 y2 m2 9
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
AE 9 x2 y，DE 9 y2 x，
AE DE 9 x2 9 y2 x y 2 18 (x2 y2) 2 x2 y2
2
2(9 m2
s 2(9 m )
) 2(9 m2) ，令 ， s2 t 2 36 ， s2 t 2 BC
t 2(9 m
2 )
V 1 1 AE DE BC 1 AE DE
2
( s t) 2 s 2 t 2
A BCD BC 3 2 6 2 24
4 (s t)
2 (s t)2 (s t)2 5(s t)2
4 (s t)10 5(s t)2
5个
24 4 5 24 4 5
6
5(s t)2 5(s t)2
4 6
s 15 3
5 4 45 ，当且仅当 t 15 3 时取“ ”，
24 4 5 m2 3 5,x y
应填：5 4 45 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x2 y2
17.（10 分）设直线 l : y kx m（其中k ,m为整数）与椭圆 1交于不同两点 A,B，
16 12
x2 y2
与双曲线 1交于不同两点C,D，问是否存在直线 l，使得向量 AC BD 0，若存
4 12
在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.
【解析】
设 A(x1, y1) ，B(x2 , y2 ) ，C(x3, y3) ，D(x4 , y4 )
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
由 AC BD 0 (x3 x1, y3 y1) (x4 x2 , y4 y2) (0,0)
x1 x2 x3 x4 y kx m ， (3 4k 2 )x2 8kmx 4m2 48 0 ， 0
y1 y2 y3 y4 3x
2 4y2 48
y kx m
(3 k 2)x2 2kmx m2 12 0 ，k 2 3 ，2 2 0
3x y 12
8km 2km
2 2 2km
15
3 4k 3 k (3 k 2
0， km 0
)(3 4k 2 )
①当k 0时，m2 12 且m2 36 ， m Z，此时m 0， 1， 2， 3
5
②当m 0 时， y kx 9，3 k 2 0 k 2 3且k 2 ， k Z， k 1
8
综上：存在，这样的直线有9 条.
18. （ 12 分 ） 在 非 Rt△ABC 中 ， 已 知 sin AsinBsin(C ) sin2C ， 其 中
tan 3 0
.
4 2
1 1
（1）若 tanC 2 ， 1，求 的值；
tan A tanB
1 1 2
（2）是否存在 使得 为定值？若存在，求 的值，并求出该定值为多
tan A tanB tanC
少；若不存在，请说明理由.
【解析】
sinC sin(C ) sin(A B)
（1）
sin AsinB sinC sin AsinB
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
2 4 1 3
C C sin cos cos sin
5 5 5 5 12 .sinC 2
5
sin AcosB cosAsinB 1 1 1 1
，即 .
sin AsinB 2 tan A tanB 2
4 3
sinC sin(C ) 1 1 sinC cosC 4 3 1
（2） 5 5
sin Asin B sinC tan A tan B sinC 5 5 tanC
1 1 3 1 4 3 3
，令 2 ，即 时，
tan A tanB 5 tanC 5 5 10
1 1 2
4 8为定值， .
tan A tanB tanC 3 3
2
19．(12 分）设数列 an 的前n项和为Sn ，a1 1，当n 2 时，Sn n(an an 1) .
（1）求a2k 的值.（k N
* ）
n 2 n n 1 S （2）试证明当 时， .并结合此不等式求值 2023 .（其中[x]表示不大于 x
n 1 n 10
的最大整数.）
【解析】
（1） Sn n(an an 1)①，
n 3时，Sn n(Sn Sn 2 ) (n 1)Sn nSn 2
且在①中令n 2 S2 0 ， n为偶数时Sn 0 .
n为奇数n 3 Sn n时， ， n 3且n为奇数时，
Sn 2 n 1
S Sn Sn 2 S3 S n n 2 3 1 n!!n 1 Sn 2 Sn 4 S1 n 1 n 3 2 (n 1)!!
且S 1 n!!1 也满足上述， Sn ，n为奇数.(n 1)!!
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
a S S (2k 1)!! *2k 2k 2k 1 ,k N .(2k 2)!!
S 2023 2021 3 3 4 6 2022（2） 2023 ，一方面S ，2022 2020 2 2023 2 3 5 2021
S 2 3 3 4 5 2023 3 12023 2 2 3 4 2022
2023 1517
4 4
4 6 2024 3 4 5 2024
另一方面S2023 ， S
2
2023 10123 5 2023 2 3 4 2023
S
30 S 40 ， 3 2023 4 S， 2023 2023 10
3 .
10
20．（12 分）随着我国综合国力的不断增强，不少综合性娱乐场所都引进了“摩天轮”这一娱
乐设施.（如图 1）有一半径为 40m 的摩天轮，轴心O距地面50m ，摩天轮按逆时针方向做匀
速旋转，转一周需要3min .点P与点Q都在摩天轮上，且点P相对于点Q落后1min ，当点P
在摩天轮的最低点处时开始计时，以轴心O为坐标原点，平行于地面且在摩天轮所在平面内
的直线为 x轴，建立图 2 所示的平面直角坐标系.
（1）若 t [0,3] ，求点P的纵坐标关于时间 t(min) 的函数关系式 g(t) ；
（2）若 t [0,3] ，求点P距离地面的高度关于时间 t(min) 的函数关系式h(t) t 5，并求 (min)
8
时，点P离地面的高度.（结果精确到 0.1，计算所用数据： 2 1.4 ， 3 1.7 ）
（3）若 t [0,3] ，当P,Q两点距离地面的高度差不超过 20 3m 时，求时间 t(min) 的取值范
围.
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
【解析】
（1） g(t) 40sin 2 t ,t [0,3] .
3 2
h(t) 50 40sin 2 t 5 t h(t) 50 40sin 50 40 6 2（2） ， 时，
3 2 8 12
4
50 10 2( 3 1) 50 14 (1.7 1) 40.2m .
（3） tmin 后，Q距地面的高度为H (t) 50 40sin 2 (t 1)
3 2
50 40sin 2 t ，
3 6
P,Q两点高度差为 40sin 2 t 40sin 2 3 6
t 20 3
3 2
sin 2 t 1 2 7 ， 0 t 3 ， t
3 3 2 3 3 3 3
5 2 t 7 11 2 13 或 t
6 3 3 6 6 3 3 6
3 t 5 9 t 11 或 .
4 4 4 4
21．（12 分）如图，斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC BC，D为 AB的中点，D1为 A1B1 的
中点，平面 ABC 平面 ABB1A1 .
（1）求证：直线 A1D 平面BC1D1 ；
（2）设直线 AB1 与直线BD1 的交点为点E，若三角形 ABC是等边三角形且边长为 2 ，侧棱
AA 71 ，且异面直线BC1 与 AB1 互相垂直，求异面直线 A1D与BC1 所成角.2
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
【解析】
（1）证明：在三棱柱 ABC A1B1C1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形
D,D1 分别为 AB,A1B
1 的中点， BD A1D1， 四边形BDA1D1 为平行四边形.
A1D BD1 ， A1D 平面BC1D1 ，BD1 平面BC1D1 ，
A1D 平面BC1D1 .
（2） △ABC 是等边三角形， CD AB，又 平面 ABC 平面 ABB1A1 ，
平面 ABC 平面 ABB1A1 AB，CD 平面 ABC， CD 平面 ABB1A1
CD AB1 ， AB1 C1D1，又 AB1 BC1 ，C1D1 BC1 C1
AB1 平面BC1D1 ， AB1 BD1 .
D1E 1 7 1 ，设D1E x， BE 2x， 1 x
2 4x2 x D1EBE 2 4 2
D B 31 ，而D1C1 平面 ABB1A1 ， D1C1 BD2 1
3 2 3
C1D1B 90 ， tan D1BC1 3 .3
2
A1D与BC1 所成角即为BD1 与BC
2 3
1 所成角，即为 D1BC1 arctan .3
22．（12 分）已知函数 f (x) ex ln x， g(x) (x 1)ex x .
（1）证明： f (x) 有且仅有一个极小值点 x0 ，且 e
1
f (x0) 2 ln 2 ；2
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
（2）若对任意 x 0 ， f (x) mg(x) 1恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】
f (x) ex 1（1）证明： ， f (x)在 (0, ) 上 ，
x
注意到 f 1 e 2 0 ， f (1) e 1 0 ，
2
x 1 ,1 ex 1 存在唯一的 0 使 f (x 00 ) 0 ，即 ， 2 x0
且当0 x x0 时， f (x) 0, f (x) ；当 x x0 时， f (x) 0, f (x) ，
1
f (x)有唯一的极小值点 x0 ，且 f (x ) e
x0
0 ln x e
x0 x e 2 1 10 0 e 2 2
1 1
另一方面 f (x0) e
x0 ln x0 ln x0 2 ln 2 ln 2x0 2
1
综上： e f (x0) 2 ln 2 .2
（2）ex ln x m[(x 1)ex x] 1对 x 0 恒成立，
F (x) ex ln x m[(x 1)ex x] F (x) ex 1 m(xex 1) (xex 1) 1 令 ， mx x
①当m 0 时，令F (x) 0 xex 1，设 x ex 100 1，由（1）知 x
0 ,12
且当0 x x0 时，F (x) 0 ，F (x) ；当 x x0 时，F (x) 0 ，F (x)
只需F (x)min F (x0 ) e
x0 ln x0 m[(x0 1)e
x0 x0 ] 1
1
x 1 1 1
x 0
m 1 xx 0
1 m 1 x0 1 x0 ，
0 0 x0 x0
m 1，此时0 m 1 .
②当m 0 时，不等式变为[m(x 1) 1]ex ln x mx 1 0
当 x 时，不等式左边 0 ，这与条件矛盾，舍去.
或限制 x 1， F (x) [m(x 1) 1]ex ln x mx 1 [m(x 1) 1]ex mx
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}
令m(x 1) m 1 1 1 m，即 x 1 2 ， F (x) mex mx m(ex x) 0
m m
这与条件矛盾，舍去.
综上：实数m的取值范围为[0,1] .
{#{QQABBYyQogioABJAARhCQQWwCgKQkBCCAIgOABAIMAABCBFABAA=}#}淮安市2024届高三上学期第一次调研测试（期初考试）
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合，，则的所有元素之和是
A． B． C． D．
2．设复数，（为虚数单位），则
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，直线通过原点，是的一个法向量，则直线倾斜角的余弦值为
A． B． C． D．
4．在中，设点，点，点，利用二次函数知识可确定出到 个顶点距离的平方和最小的点为的
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
5．若锐角的内角B，C满足，则的最小值为
A． B． C． D．
6．设数列的前项和为.记命题“数列为等比数列”，命题“，，成等比数列”，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设正整数.若既可以表示为连续个正整数的和，又能表示为连续个正整数的和，则这样的的个数为
A． B． C． D．
8．在四面体中，，，，，则的值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知实数满足，且，则
A． B． C． D．
10．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②的模（表示向量，的夹角）.
在正方体中，有以下四个结论，正确的有
A． B．与共线
C． D．与正方体表面积的数值相等
11．某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有件次品.员工从这一批产品中有放回地随机抽取件产品，员工从这一批产品中无放回地随机抽取件产品.设员工抽取到的件产品中次品数量为，员工抽取到的件产品中次品数量为，则下列判断正确的是
A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布
C． D．
12．已知曲线.点向曲线引斜率为的切线，切点为.则下列结论正确的是
A．当时， B．数列的通项为
C．数列的通项为 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．名女生和名男生站成一排照相，若每名男生至少与名女生相邻，则共有_____种站法.
14．已知，则的展开式中，的系数所能取得的最大值为________.
15．已知，，则的值为_________.
16．已知四面体各顶点都在半径为的球面上，平面平面，直线与所成的角为，则该四面体体积的最大值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.
18.（12分）在非中，已知，其中.
（1）若，，求的值；
（2）是否存在使得为定值？若存在，求的值，并求出该定值为多少；若不存在，请说明理由.
19．(12分）设数列的前项和为，，当时，.
（1）求的值.（）
（2）试证明当时，.并结合此不等式求值.（其中表示不大于的最大整数.）
20．（12分）随着我国综合国力的不断增强，不少综合性娱乐场所都引进了“摩天轮”这一娱乐设施.（如图1）有一半径为的摩天轮，轴心距地面，摩天轮按逆时针方向做匀速旋转，转一周需要.点与点都在摩天轮上，且点相对于点落后，当点在摩天轮的最低点处时开始计时，以轴心为坐标原点，平行于地面且在摩天轮所在平面内的直线为轴，建立图2所示的平面直角坐标系.
（1）若，求点的纵坐标关于时间的函数关系式；
（2）若，求点距离地面的高度关于时间的函数关系式，并求时，点离地面的高度.（结果精确到，计算所用数据：，）
（3）若，当两点距离地面的高度差不超过时，求时间的取值范围.
21．（12分）如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面平面.
（1）求证：直线平面；
（2）设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角.
22．（12分）已知函数，.
（1）证明：有且仅有一个极小值点，且；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 江苏省淮安市2024届高三上学期第一次调研测试（期初考试）数学试题（含解析）