卷子答案网-一个不只有答案的网站人教A版（2019）选择性必修第一册 1.2 空间向量基本定理 同步练习
一、单选题
1．如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
3．如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是,,,四点共面的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内，则实数x的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
7．在三棱锥中，，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在平行六面体中，点是棱的中点，连接、交于点P，则（ ）
A． B．
C． D．
12．若是空间的一个基底，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
15．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，在平行六面体中，，，，，，则________．（用基底表示）
17．在平行六面体中，设，，，用、、作为基底向量表示________．
18．设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则______．
三、解答题
19．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值．
20．如图所示，在平行四边形中，，，沿它的对角线将折起，使与成角，求此时两点间的距离．
21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E、F分别为、的中点.求证：
（1）平面；
（2）平面.（用向量方法证明）
22．已知是平行六面体．
(1)化简，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的，，值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据已给条件该题可利用数量积的方法求解要求与夹角的余弦值,可求与的夹角的值,利用代入向量的夹角公式求解即可.
【详解】
解：
设异面直线与的夹角为则
故选A
本题主要考查了利用向量的数量积求异面直线所成的角,属有一定难度的基础题.解题的关键是将异面直线与的夹角转化为求与的夹角!
2．C
根据空间向量基本定理判断选项可解.
【详解】
项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.
项，空间基底有无数个, 所以错.
项中因为基底不唯一，所以错.
故选.
本题考查空间向量基本定理.
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组使得
3．B
利用空间向量的基本定理，用，，表示向量．
【详解】
因为是的中点，是的中点，
，．
故选：B
4．B
利用空间中共面定理：空间任意一点和不共线的三点，，，且,得,,,四点共面等价于，然后分充分性和必要性进行讨论即可.
【详解】
解：空间任意一点和不共线的三点，，，且
则,,,四点共面等价于
若，，，则，所以,,,四点共面
若,,,四点共面，则，不能得到，，
所以，，是,,,四点共面的充分不必要条件
故选B.
本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.
5．B
记点E为BC的中点，连接AE，OE，G是的重心，则，又，化简可得选项．
【详解】
如图，
记点E为BC的中点，连接AE，OE，
所以，
又G是的重心，则，
所以.
因为，
所以
.
6．A
先由点的坐标确定三个向量，，，再根据三点在平面ABC内，则有成立求解.
【详解】
因为，，，
所以，，
因为空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内
所以设，
则有.
解得
故选：A
本题主要考查了四点共面问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．C
利用向量的线性运算把用表示出来即可得．
【详解】
由题意是中点，∴，
又，则，
∴，
若，则．
故选：C．
8．C
【详解】
设向量在基底下的坐标为，
则，
所以解得
故在基底下的坐标为.
故选：C.
本题解题的关键是设向量在基底下的坐标为，进而根据向量相等列方程求解，考查运算求解能力，是基础题.
9．C
根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，
所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；
对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；
同理选项D中，共面，故D错误.
故选：C
10．A
利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
因为在四棱锥中，底面是正方形，，，，，
所以
．
故选：A．
11．B
分析得出，将利用、加以表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式.
【详解】
连接，如下图所示：
，所以，，
因为点为棱的中点，则，
，
因此，.
故选：B.
12．A
由已知得，列方程组即可求.
【详解】
∴，
由空间向量基本定理，得，即.
故选：A.
13．B
由空间向量的基本定理求解即可
【详解】
因为OM＝2MA，
所以，
又点N为BC中点，
所以，
所以，
故选：B
14．B
根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【详解】
在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.
故选：B
15．D
由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值.
【详解】
依题意，，
因为为等边三角形，，，，，
所以，，，
，
所以，
.
故选：D.
16．
根据空间向量的线性运算求解．
【详解】
在平行六面体中
由题意，
，
所以
故答案为：．
17．
根据空间图形，根据向量加，减法的规则计算结果.
【详解】
有图形可知
.
故答案为：
18．
先根据不共线三点，用平面向量基底表示;再根据平面向量基本定理表示，求和即得结果.
【详解】
因为四点共面，三点不共线，
所以
因为，
因为是任意一点，故可不共面，所以，
故.
故答案为：1
本题考查用基底表示向量以及平面向量基本定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
19．.
以作为空间的一个基底，结合题意，可用基底表示出，，分别求得，，，代入求夹角公式，即可得答案.
【详解】
因为两两不共线，所以可以作为空间的一个基底，
且，
又 ，
∴
＝a2＋b2＋a2＋2abcos 120°－0－2abcos 120°＝2a2＋b2，
∴.
又
＝0＋a2＋abcos 120°＋abcos 120°－a2－0＝－ab.
∴
∴异面直线BD1和AC所成角的余弦值为 .
解题的关键是根据题意，确定基底，利用数量积公式、求模、求夹角公式求解，考查计算化简的能力.
20．或
利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果.
【详解】
四边形为平行四边形，，又， ，
，，
在空间四边形中，与成角，或，
又，，
当时，，，即此时两点间的距离为；
当时，，，即此时两点间的距离为；
综上所述：两点间的距离为或.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）通过计算得到 ，由此证得向量共面，从而证得平面.
（2）通过计算得到，由此证得，从而证得平面.
【详解】
（1）依题意E、F分别为、的中点，所以
，
所以向量共面，
又平面平面，
所以平面.
（2）因为侧面底面，侧面底面，底面是正方形，所以平面.
设，则，即，
所以，
所以，
所以，由平面，可得平面.
用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理.
22．(1)答案见详解图形
(2)
（1）作中点，延长至，使得，结合向量线性运算的加法公式和点乘运算化简即可；
（2）将向量结合线性运算的加法和减法运算表示成以为基底的向量，由对应关系即可求解，，值．
(1)
作中点，延长至，使得，
则
(2)
结合向量线性运算的加法与减法运算可得
，
又，所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理 同步练习（含解析）