卷子答案网-一个不只有答案的网站4.5.3 函数模型的应用
一、单项选择题
1．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝mlog2(x＋1)，设这种动物第一年有200只，到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
3．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
4．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝(0.9576) eq \s\up15() B．y＝(0.9576)100x
C．y＝x D．y＝1－(0.0424) eq \s\up15()
5．已知函数t＝－144lg 的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t表示达到打字水平N(字/分)所需的学习时间(时)，N表示每分钟打出的字数(字/分)，则按此曲线要达到90字/分的水平，所需的学习时间是( )
A．12小时 B．90小时 C．100小时 D．144小时
6．某品牌电视机投放市场后，第一个月销售100台，第二月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝500x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
7．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为( )
A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4
B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4
D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
二、多项选择题
9．化学上常用pH值来表示溶液酸碱性的强弱，pH＝－lg (c(H＋))，其中c(H＋)表示溶液中H＋的浓度，下列说法中正确的是( )
A．pH随着溶液中H＋浓度的增加而增大
B．纯净水的c(H＋)＝1×10－7 mol/L，则纯净水的pH值为7
C．若一杯胡萝卜汁的c(H＋)＝1×10－5 mol/L，则这杯胡萝卜汁的pH值为5
D．pH值为3的溶液的c(H＋)＝1×10－3 mol/L
10．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T，现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t(单位时间) 0 2 4 6 8 10
A(t) 320 226 160 115 80 57
则下列结论正确的是( )
A．这种元素的半衰期为4个单位时间
B．剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝320·2
C．t＝12时，A(t)＝45
D．t＝16时，A(t)＝20
11. 如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象，则( )
A．第3个月有害物质的剩留量是
B．第4个月时，剩留量就会低于
C．每月减少的有害物质质量都相等
D．当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
12．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cmt(c，m为常数)．则( )
A．c＝128
B．m＝
C．排气16分钟后，一氧化碳浓度为8 ppm
D．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态
三、填空题
13．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
给出下列几个函数：
①y＝a＋bx；②y＝a＋bx；③y＝ax2＋b；④y＝a＋.
其中可以近似表示这些数据满足的规律的是________．
14．家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，臭氧量Q呈指数函数型变化，满足关系Q＝Q0e－0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量，则________年以后将会有一半的臭氧消失.
15．人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0 dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x) dB，则有f(x)＝10lg .等级为0 dB的声音强度是________，90 dB与60 dB的声音强度之比是________．
16. 如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有a L水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1＝ae－nt，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过________分钟，桶1中的水只有 L.
四、解答题
17．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
18．某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q(单位：千克)与ex成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100千克．
(1)求该工厂的日销售利润y(单位：元)与每千克蘑菇的出厂价x(单位：元)的函数关系式；
(2)若t＝5，当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的日销售利润y为100e4元？
4.5.3 函数模型的应用
一、单项选择题
1．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝mlog2(x＋1)，设这种动物第一年有200只，到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
答案 D
解析 由已知第一年有200只，得m＝200.将m＝200，x＝7代入y＝mlog2(x＋1)，得y＝600.
2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
答案 D
解析 经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
3．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
答案 D
解析 由题图知可能是y＝log2t.
4．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝(0.9576) eq \s\up15() B．y＝(0.9576)100x
C．y＝x D．y＝1－(0.0424) eq \s\up15()
答案 A
解析 设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t%)100，1－t%＝(0.9576) eq \s\up15() ，∴y＝(1－t%)x＝(0.9576) eq \s\up15() .
5．已知函数t＝－144lg 的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t表示达到打字水平N(字/分)所需的学习时间(时)，N表示每分钟打出的字数(字/分)，则按此曲线要达到90字/分的水平，所需的学习时间是( )
A．12小时 B．90小时 C．100小时 D．144小时
答案 D
解析 当N＝90时，t＝－144lg ＝144.
6．某品牌电视机投放市场后，第一个月销售100台，第二月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝500x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
答案 C
解析 对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大；对于B中的函数，当x＝3或4时误差也较大；对于 C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，当x＝4时，误差为10，误差很小；对于D中的函数，当x＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远，故选C.
7．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为( )
A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4
B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4
D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4
答案 A
解析 第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对于4个选项而言，当n＝1时，C，D相对应的函数值均不为12，故可排除C，D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额，第二年有11个老工人，3个新工人，工资总额为(11×1.22＋2.4)万元，故选A.
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
答案 C
解析 依题意，a＝a·e－50k，∴e－k＝ eq \s\up15() .设经过t1天后，新丸体积变为a，则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝ eq \s\up15() ，∴t1＝，即t1＝75.
二、多项选择题
9．化学上常用pH值来表示溶液酸碱性的强弱，pH＝－lg (c(H＋))，其中c(H＋)表示溶液中H＋的浓度，下列说法中正确的是( )
A．pH随着溶液中H＋浓度的增加而增大
B．纯净水的c(H＋)＝1×10－7 mol/L，则纯净水的pH值为7
C．若一杯胡萝卜汁的c(H＋)＝1×10－5 mol/L，则这杯胡萝卜汁的pH值为5
D．pH值为3的溶液的c(H＋)＝1×10－3 mol/L
答案 BCD
解析 ∵pH＝－lg (c(H＋))为减函数，∴pH随着溶液中H＋浓度的增加而减小，故A错误；当c(H＋)＝1×10－7 mol/L时，pH＝7，当c(H＋)＝1×10－5 mol/L时，pH＝5，故B，C正确；当pH＝3时，c(H＋)＝1×10－3 mol/L，故D正确．故选BCD.
10．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T，现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t(单位时间) 0 2 4 6 8 10
A(t) 320 226 160 115 80 57
则下列结论正确的是( )
A．这种元素的半衰期为4个单位时间
B．剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝320·2
C．t＝12时，A(t)＝45
D．t＝16时，A(t)＝20
答案 AD
解析 从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，故A正确；由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2 eq \s\up15(－) (t≥0)，故B错误；当t＝12时，A(t)＝40，故C错误；当t＝16时，A(t)＝20，故D正确．故选AD.
11. 如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象，则( )
A．第3个月有害物质的剩留量是
B．第4个月时，剩留量就会低于
C．每月减少的有害物质质量都相等
D．当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
答案 BD
解析 由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝t.当t＝3时，y＝3＝，故A错误；当t＝4时，y＝<，故B正确；当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少的有害物质质量不相等，故C错误；分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，所以t1＋t2＝t3，故D正确．故选BD.
12．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cmt(c，m为常数)．则( )
A．c＝128
B．m＝
C．排气16分钟后，一氧化碳浓度为8 ppm
D．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态
答案 ACD
解析 由题意可得解得A正确，B错误；y＝128× eq \s\up15( ) ，当t＝16时，y＝128×4＝8，C正确；令128× eq \s\up15( ) ≤，即 eq \s\up15( ) ≤8，解得t≥32，即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态，D正确．故选ACD.
三、填空题
13．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
给出下列几个函数：
①y＝a＋bx；②y＝a＋bx；③y＝ax2＋b；④y＝a＋.
其中可以近似表示这些数据满足的规律的是________．
答案 ②
解析 明显不是一次函数，排除①；③是二次函数，且对称轴为x＝0，y值不关于x＝0对称，故排除③；④中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，x≠0，故排除④.
14．家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，臭氧量Q呈指数函数型变化，满足关系Q＝Q0e－0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量，则________年以后将会有一半的臭氧消失.
答案 277
解析 令＝，即e－0.0025(t2－t1)＝，∵e－0.6932＝，∴－0.0025(t2－t1)＝－0.6932，解得t2－t1≈277，即277年后臭氧减少一半．
15．人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0 dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x) dB，则有f(x)＝10lg .等级为0 dB的声音强度是________，90 dB与60 dB的声音强度之比是________．
答案 10－12 1000∶1
解析 当f(x)＝0时，x＝10－12；当f(x)＝90时，x＝10－3；当f(x)＝60时，x＝10－6，＝103.所以等级为0 dB的声音强度是10－12,90 dB与60 dB的声音强度之比是1000∶1.
16. 如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有a L水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1＝ae－nt，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过________分钟，桶1中的水只有 L.
答案 10
解析 由题意，可得ae－5n＝，n＝ln 2，令ae－tln 2＝，得t＝15，从而再经过10分钟，桶1中的水只有 L.
四、解答题
17．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解 作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
18．某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q(单位：千克)与ex成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100千克．
(1)求该工厂的日销售利润y(单位：元)与每千克蘑菇的出厂价x(单位：元)的函数关系式；
(2)若t＝5，当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的日销售利润y为100e4元？
解 (1)设日销售量q＝(25≤x≤40)，则＝100，
∴k＝100e30，∴日销售量q＝(25≤x≤40)，
∴y＝(25≤x≤40)．
(2)当t＝5时，y＝＝100e4，
则x－25＝ex－26，
根据函数y＝x－25与y＝ex－26的图象(如图所示)，
可求得方程x－25＝ex－26的解为x＝26，
∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的日销售利润为100e4元．
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