卷子答案网-一个不只有答案的网站项城市第三高级中学2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学试卷
（满分：150分 考试时间：120分钟）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷、第Ⅱ卷的答案都写在答题卷上．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l在平面α外，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则下列选项能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（ ）
A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8
5．如图，在三棱锥中，，，，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知空间直角坐标系中的点关于xOy平面的对称点为B，则的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
7．设向量，，若，则（ ）
A．0 B． C． D．
8．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、多选题（共4小题每小题5分，共20分）
9．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若且，则
D．若与共线，与共线，则与共线
10．在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为 B．点关于点B对称的点为
C．点A关于直线BD1对称的点为 D．点C关于平面对称的点为
12．设，，是空间一个基底（ ）
A．若，，则
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．在空间直角坐标系中，已知点，，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标为______．
14．如图，在四面体OABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，用，，表示，则______．
第14题图
15．已知点，，，且ABCD是平行四边形，则顶点D的坐标为______．
16．在长方体中，，，点P为底面ABCD上一点，则，的最小值为______．
三、解答题（共6道大题，17题满分10分，18-22题满分12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）如图，已知平行六面体，设M是底面ABCD的中心，N是侧面的对角线上的点，且．若，求a，b，c的值．
第17题图
18．（12分）已知空间内三点，，．
（1）求以AB，AC为一组邻边的平行四边形的面积S；
（2）若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，平面ABCD，，，F是BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC：
（Ⅱ）试在线段PD上确定一点G，使平面PAF，请指出点G在PD上的位置，并加以证明：
20．（12分）．如图，三棱锥中的三条棱AP，AB，AC两两互相垂直，，点D满足．
（1）证明：平面ACD．
（2）若，求异面直线CD与AB所成角的余弦值．
21．（12分）．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，．
（Ⅰ）求证；；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点F，使得异面直线与BF所成角为60°，若存在，求出AF长；若不存在，请说明理由．
22．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，，，E是BC的中点．
（1）证明：；
（2）若线段PD上存在一点H满足，使得，求λ的值；
项城市第三高级中学2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学试卷答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C D A A C B B AC BD ACD BCD
二、填空题
13． 14．
15． 16．
17．解：因为
，
所以，，．
18．解：（1）∵，，
∴，∴，
∴． （2）设．由，得，
由，得，由，得，∴或．
∴或．
19．（Ⅰ）证明：∵平面ABCD，∴，
∵，∴，即，
∵，∴平面PAC﹔
（Ⅱ）解：设PD的中点为G，在平面PAD内作于H，连接FH，
则中，，且，
∵平行四边形ABCD中，，且，
则且，即四边形FCGH为平行四边形，得，
∵平面PAF，平面PAF，
∴平面PAF，即G为PD中点时，平面．
20．（1）证明：∵三棱锥中的三条棱AP，AB，AC两两互相垂直，
∴平面PAB，∵平面PAB，∴，
设，∵，点D满足，∴，，
∴，
∴，∴，
∵、AC、平面ACD，
∴平面ACD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
设异面直线CD与AB所成角为θ，
则异面直线CD与AB所成角的余弦值为：．
21．（Ⅰ）证明：因为是边长为4的正方形，所以，又，，
所以，所以，
因为平面平面，平面平面，平面ABC，
所以平面，因为面，
所以．
（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，AC，AB，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，设，
则，，
因为异面直线与BF所成角为60°，
所以，
解得，所以，则，
所以在棱上存在一点F，使得异面直线与BF所成角为60°，此时．
22（1）证明：连接AC，
因为四边形ABCD为菱形，
所以为等边三角形，，
因为E为BC的中点，所以，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为，所以平面PAD，
因为平面PAD，所以．
（2）因为，，，
所以平面AEH，
因为平面AEH，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为，，
所以，
所以，所以，
所以，所以，因为，所以．
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