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第22章 二次函数 章末检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列式子中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣1 B．y＝ C．y＝3x2 D．y＝ax2+bx+c
2．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
3．二次函数y＝2（x+3）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（2，5）
4．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴有交点，那么a满足（ ）
A．a≥ B．a≤且a≠0 C．a≥﹣ D．a≤
5．若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．点（﹣2，y1）（﹣3，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
7．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2在a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值是（ ）
A．a＝﹣3或a＝1 B．a＝3或a＝﹣1 C．a＝﹣1或a＝1 D．a＝﹣3或a＝3
8．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝20t﹣5t2，其中t的取值范围是（ ）
A．t≥0 B．0≤t≤2 C．2≤t≤4 D．0≤t≤4
9．已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图象上，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知关于x的函数y＝（m+2）x|m|的图象是一条抛物线，则m＝ ．
12．已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为 ．
13．已知抛物线y＝﹣x2+2mx+m，当x＜1时，y随x的增大而增大，m的取值范围是 ．
14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为 ．
15．把二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点坐标 ．
16．如图，函数的图象，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为 ．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（1）将二次函数y＝﹣2x2+4x﹣5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并指出开口方向、顶点坐标和对称轴．
（2）已知某抛物线的顶点坐标是（3，﹣5），且经过点A（1，3）．求此抛物线的解析式；
（3）已知某抛物线经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，求此抛物线的解析式．
18．（8分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）若点C（x，y）在该函数图象上；
①当y＞0时，则x的取值范围为 ；
②当t﹣1≤x＜t（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是 ．
19．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．
20．（8分）如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线y＝ax2+x+c运动，然后准确落入篮筐内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离AO＝2.25米．以O为坐标原点，建立直角坐标系，篮筐的中心D的坐标为（4，3.05），对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求点B到DH所在直线的距离及点B到地面的距离BC．
21．（10分）已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得△ABQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上任意一点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交直线AC于点Q，R，求QR的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中QR取得最大值的条件下，将该抛物线向右平移个3个单位，点B平移后的对应点为D，E为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线上确定一点F，使得以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．
第22章 二次函数 章末检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解答】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、当a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
3．【分析】根据二次函数的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x+3）2﹣5，
∴该函数的顶点坐标为（﹣3，﹣5），
故选：C．
4．【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y＝ax2﹣x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ≥0，从而解出a的取值；②函数为一次函数，此时a＝0，从而求解．
【解答】解：①函数为二次函数，y＝ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ＝1﹣4a≥0，
∴a≤，
②函数为一次函数，
∴a＝0，
∴a满足a≤；
故选：D．
5．【分析】由一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限可得a，b的符号，从而可得抛物线y＝ax2+bx开口方向及对称轴位置．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx开口向且抛物线经过原点，对称轴在y轴右侧，
故选：D．
6．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数的性质得到y1、y2的大小关系．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+m，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∵﹣1＞﹣2＞﹣3，
∴y1＞y2．
故选：A．
7．【分析】先求出二次函数y＝x2﹣2x﹣2的对称轴，将y＝1代入函数求出对应的x值，分情况讨论即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x﹣2的对称轴为，
将y＝1代入y＝x2﹣2x﹣2得1＝x2﹣2x﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
当1≤a≤x≤a+2时，在x＝a+2＝3取得最大值，a＝1．
当a≤x≤a+2≤1时，在x＝a＝﹣1取得最大值，a＝﹣1．
∴a＝﹣1或a＝1．
故选：C．
8．【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程可得答案．
【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴当t＝2时，爆竹达到最大高度燃爆，
∴t的取值范围是0≤t≤2，
故选：B．
9．【分析】直接利用菱形的性质得出各边长，进而利用勾股定理得出DO的长，即可得出C点坐标，代入即可得出k的值．
【解答】解：作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADN+∠CDM＝90°＝∠CDM+∠DCM，
∴∠ADN＝∠DCM，
∵∠AND＝∠DMC＝90°，
∴△ADN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，DN＝CM，
设D（a，b），
∵点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），
∴，解得，
∴D（3，4），
∵D在抛物线的图象上，
∴+3k＝4，
∴k＝，
故选：B．
10．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象没有经过（﹣1，0），（5，0），可判断①错误；由抛物线开口向下，抛物线对称轴是直线x＝2，抛物线与y轴交于原点上方，可知a，b，c的符号从而判断②正确；根据b＝﹣4a，可判断③正确；由点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方，可判断④错误，从而可得答案．
【解答】解：由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象没有经过（﹣1，0），（5，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根不是x1＝﹣1，x2＝5，故①错误；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＞0，
∵抛物线与y轴交于原点上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确；
∵b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，故③正确；
由图可知，当x＝﹣2时，点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
∴正确的有②③，共2个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【分析】根据函数y＝（m+2）x|m|的图象是一条抛物线，可知含x项的最高次数为二次、二次项系数为非零数；据此列出关于m的方程和不等式，通过解方程和不等式确定满足要求的m的取值．
【解答】解：由题意得，
∴m＝2．
故答案为：2．
12．【分析】依据题意，令x＝0，则y＝8，从而可得点C的坐标．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，
∴令x＝0，则y＝8．
∴C（0，8）．
故答案为：（0，8）．
13．【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2mx+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝m，
∴当x＜m时，y随x增大而增大，
∵当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴m≥1，
故答案为：m≥1．
14．【分析】根据二次函数对称性可求出点（3，0）关于对称轴直线x＝2的对称点为（1，0），然后把（1，0）代入y＝ax2+bx+c即可求出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，
∴根据二次函数的对称性得：点（3，0）的对称点为（1，0），
∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴a+b+c的值等于0．
故答案为：0．
15．【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：把二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得新抛物线解析式为y＝2（x﹣2﹣2）2﹣5+3，即y＝2（x﹣4）2﹣2，其顶点坐标为（4，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）．
16．【分析】利用排除法，先求得直线y＝x+m与该图象有两个或三个交点时m的取值，则可求得结论．
【解答】解：由题意，直线y＝x+m与函数y＝的图象恒相交，
①当m＞0时，直线y＝x+m与直线y＝﹣x（x＜0）恒相交，与抛物线y＝﹣x2+2x（x＞0）至少有一个交点时，即方程x+m＝﹣x2+2x（x＞0）有两个实数根，
∴x2﹣x+m＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m≥0，
解得：；
∴当时，直线y＝x+m与函数y＝的图象有两个或三个交点，
∴当时，直线y＝x+m与函数y＝的图象只有一个交点；
②当m≤0时，由图象可知，直线y＝x+m与函数y＝的图象只有一个交点，
综上，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为或m≤0．
故答案为：或m≤0．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．【分析】（1）把已知函数解析式配方，即可得到答案；
（2）设顶点式，再将A（1，3）代入即可算得答案；
（3）设交点式，再将C（0，3）可得答案．
【解答】解：（1）∵y＝﹣2x2+4x﹣5＝﹣2（x2﹣2x+1）﹣3＝﹣2（x﹣1）2﹣3，
∴化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝＝﹣2（x﹣1）2﹣3，图象的开口方向向下，顶点坐标为（1，﹣3），对称轴为直线x＝1；
（2）由抛物线的顶点坐标是（3，﹣5），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣5，
把A（1，3）代入得：3＝a（1﹣3）2﹣5，
解得a＝2，
∴y＝2（x﹣3）2﹣5＝2x2﹣12x+13，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣12x+13；
（3）由抛物线经过A（﹣1，0）、B（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣3），
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3．
18．【分析】（1）求出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴的交点坐标即可画出其图象；
（2）①根据函数图象可直接写出x的取值范围；
②根据函数图象，y随x的增大而减小，必有x≥﹣1．所以当t﹣1≤x＜t时，要求t﹣1≥﹣1，由此确定t的取值范围．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．
（1）当﹣x2﹣2x+3＝0时，即（x﹣1）（x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣3．
该二次函数开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交点坐标为（﹣3，0）、（1，0）．其在平面直角坐标系中的图象如图：
（2）①由图象可知，当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故答案为：﹣3＜x＜1．
②∵y随x的增大而减小，
∴x≥﹣1，
又∵t﹣1≤x＜t，
∴t﹣1≥﹣1，
∴t≥0．
故答案为：t≥0．
19．【分析】（1）把A（﹣1，0）和点B（2，0）代入y＝x2+bx+c中求出b，c即可．
（2）设点Q的坐标为（m，0），则点P（m，m2﹣m﹣2），AQ＝|m﹣（﹣1）|＝|m+1|，PQ＝|m2﹣m﹣2|，由△APQ是等腰直角三角形得到AQ＝PQ，即|m+1|＝|m2﹣m﹣2|，求出m的值即可得到结果．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图，∵PQ⊥x轴于Q，
∴∠PQA＝90°，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ，
∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣2上，
∴设点Q的坐标为（m，0）则点P（m，m2﹣m﹣2），
∴AQ＝|m﹣（﹣1）|＝|m+1|，PQ＝|m2﹣m﹣2|，
∴|m+1|＝|m2﹣m﹣2|，
∴m+1＝m2﹣m﹣2或m+1＝﹣（m2﹣m﹣2），
即m2﹣2m﹣3＝0或m2＝1，
当m2﹣2m﹣3＝0时，
解得，m＝3或m＝﹣1（舍去），
此时P（3，4），
当m2＝1时，
解得，m＝1或m＝﹣1（舍去），
此时P（1，﹣2），
综上得，点P的坐标为P（3，4）或（1，2）．
20．【分析】（1）依据题意，由AO＝2.25米可得c＝2.25，再将D（4，3.05）代入解析式进而可以得解；
（2）根据（1）所得解析式，求出对称轴，再结合D的横坐标可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵AO＝2.25米，
∴A（0，2.25）．
∴c＝2.25．
再将D（4，3.05）代入y＝ax2+x+2.25，
∴a＝﹣0.2．
∴所求抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+x+2.25．
（2）由（1）所求抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+x+2.25，
∴对称轴为x＝﹣＝2.5．
∴B到DH所在直线的距离为4﹣2.5＝1.5（米）．
又当x＝2.5时，y＝1.625，
∴B到地面的距离BC为1.625米．
21．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，3），得到方程组，解方程组即可得到结论；
（2）解方程求得C（﹣1，0），由于A、C两点关于对称轴对称，则此时 PB+PC＝PB+PA＝AB最小．求得直线AB解析式为y＝x+3；于是得到P点坐标为（﹣1，2）；
（3）设Q（x，﹣x2﹣2x+3）是第二象限的抛物线上一点，过点Q作QD⊥x轴交直线AB于点E，于是得到E的坐标为（x，﹣x+3），根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，3），
∴，
解得b＝2，c＝3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）对称轴为x＝﹣＝﹣1，
令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（1，0），
如图所示，
∵点C与点A关于直线x＝﹣1对称，
∴连接AB与对称轴x＝﹣1的交点即为所求之P点，
∵BC的长是个定值，
则此时的点P，使△PBC的周长最小，
由于A、C两点关于对称轴对称，
则此时 PB+PC＝PB+PA＝AB最小．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
由A（﹣3，0）、B（0，3）可得：
，
解得k＝1，b＝3，
∴直线AB解析式为y＝x+3；
当x＝﹣1时，y＝2，
∴P点坐标为（﹣1，2）；
（3）结论：存在．
设Q（x，﹣x2﹣2x+3）是第二象限的抛物线上一点，
过点Q作QD⊥x轴交直线AB于点E，则E的坐标为（x，x+3），
∴QE＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S△ABQ＝S△BQE+S△AQE＝PE OA＝﹣（x2+3x）＝﹣（x+）2+，
∴当x＝时，S△ABQ取得最大值．
∴当x＝时，y＝﹣x2﹣2x+3＝，
∴Q（，）．
所以，在第二象限的抛物线上，存在一点Q，使得△ABQ的面积最大；Q点的坐标为（，）．
22．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
（2）运用待定系数法可得直线AC的表达式为y＝x+3，可证得△OAC为等腰直角三角形，得出∠CAO＝45°，由平行线性质可得∠PRQ＝∠COA＝45°，进而可得△PQR为等腰直角三角形，，设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）（其中﹣3＜t＜0），则点Q（t，t+3），PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，利用二次函数最值可得当时，PQ有最大值，即可得出答案；
（3）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移3个单位后的新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，新抛物线y＝﹣（x﹣2）2+4的对称轴为直线x＝2，点B（1，0）平移后的对应点为D（4，0），设E（2，m），F（n，﹣n2+4n），分三种情况：①当PF、DE为对角线时，②当DF、EP为对角线时，③当EF、DP为对角线时，分别计算出参数n的值，即可求出F点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，PQ∥y轴，PR∥x轴，
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0，得y＝3．
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴OA＝OC，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°．
设直线AC的表达式为y＝kx+m（k≠0），
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的表达式为y＝x+3，
∵PR∥x轴，
∴∠PRQ＝∠COA＝45°．
又∵PQ∥y轴，
∴△PQR为等腰直角三角形，
∴QR2＝PQ2+PR2＝2PQ2，
即．
设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）（其中﹣3＜t＜0），则点Q（t，t+3），
∴PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+．
∵﹣1＜0，
∴当时，PQ有最大值．
∴QR的最大值为．
此时，点P的坐标为；
（3）由题意得：将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移3个单位后的新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，点B（1，0）平移后的对应点为D（4，0），
∵新抛物线y＝﹣（x﹣2）2+4的对称轴为直线x＝2，
∴设E（2，m），F（n，﹣n2+4n），
由（2）知P，
分情况讨论：
①当PF、DE为对角线时，则﹣+n＝2+4，
解得：n＝，
∴F1（，﹣）；
②当DF、EP为对角线时，n+4＝﹣+2，
解得：n＝﹣，
∴F2（﹣，﹣）；
③当EF、DP为对角线时，n+2＝﹣+4，
解得：n＝，
∴F3（，）；
综上所述，点F的坐标为：F1（，﹣），F2（﹣，﹣），F3（，）．
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