卷子答案网-一个不只有答案的网站云南省楚雄州2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数的虚部为（ ）
A．5 B．3 C． D．
3．已知单位向量的夹角为，且，则（ ）
A． B．6 C．2 D．4
4．已知样本数据的平均数为9，则另一组数据的平均数为（ ）
A． B． C．4 D．3
5．若是方程的解，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．“”是“对任意恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数满足，则（ ）
A．
B．是纯虚数
C．
D．复数在复平面内对应的点在第四象限
10．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（ ）
A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件
C． D．
11．下列式子计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．在正三棱锥中，与底面所成角的余弦值为，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．二面角的大小为
D．三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题
13．某游客计划从海口市 三亚市 普洱市 昆明市 丽江市这5个地区中随机选择2个地区去旅行，其中海口市 三亚市属于海南省，普洱市 昆明市 丽江市属于云南省，则这2个地区在同一省的概率为 .
14．若一个样本的中位数是4，则这个样本的方差为 ，这个样本的分位数为 .
15．已知函数在上的最小值为，则的值为 ．
16．已知外接圆的圆心为是边上一动点，若，则的最大值为 .
四、解答题
17．为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生550名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（成绩都在内）分为组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值以及女生被抽取的人数；
（2）估计这100人比赛成绩的分位数（小数点后保留2位）.
18．已知函数且在区间上的最大值是2.
（1）求的值；
（2）若函数的定义域为，求不等式中的取值范围.
19．已知向量，设函数.
（1）求在上的单调增区间；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
20．袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.
（1）每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
（2）从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立.
21．如图，在三棱柱中，侧面底面为等边三角形，且.
（1）证明：.
（2）若，求点到平面的距离.
22．在中，角所对的边分别为.
（1）求；
（2）若，过作垂直于交于点为上一点，且，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意求得 ，.
故答案为：D.
【分析】先求出集合，再根据并集定义求.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： ，虚部为3.
故答案为：B.
【分析】根据复数除法运算法则求出，写出其虚部即可.
3．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： ， .
故答案为：A.
【分析】根据数量积计算公式先求，再求.
4．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意得 ，求得， .
故答案为：D.
【分析】根据平均数定义求出，进而求即可.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，显然单调递增，又，，只有一个零点且在，.
故答案为：C.
【分析】令，结合函数单调性和零点存在性定理判断取值范围.
6．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；异面直线；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：连接、、、，令正方体边长为2，
分别是的中点 ，易证， 为异面直线与所成角或其补角，，，
在中，由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】连接、、、，由得到为异面直线与所成角或其补角，进而在中利用余弦定理求解.
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解： 求得，
对任意恒成立，，求得，
””““
”“是“对任意恒成立”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的解法和二次函数的性质，分别求出实数的取值范围，结合充分必要条件的判定方法判断.
8．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作，在点处测得点的仰角为，即，，
在点处测得点的仰角为，，在中，
，，在中由正弦定理得，，
.
故答案为：D.
【分析】过作，则，在得，在中由正弦定理求，进而求.
9．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：A设，则， ，，，，求得，，A错误；
B、，B正确；
C、，C错误；
D、复数在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，D正确.
故答案为：BD.
【分析】A设，则，代入 求出，进而分析选项.
10．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A.AUB表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲还可能获得二等奖，事件A和事件B不是对立事件，A错误
B.AUC表示“甲没有中奖或甲中奖”为全集，且事件A和事件C是互斥的，事件A和事件C是对立事件，B正确
C.，事件B+C表示“甲中奖”，即 ，C正确；
D.事件BC表示“甲获得一等奖”， ，D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据对立事件定义判断A,B；根据事件的包含关系判断C,D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；诱导公式
【解析】【解答】解：A、 ，A错误；
B、，B正确；
C、，C正确；
D、，，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据三角函数诱导公式和余弦函数两角和、正切函数两角和公式逐一化简分析.
12．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图，
取等边中心，取中点，连接，，，则点在上
由题意得，，
，，，，
A、在正三棱锥中，是的中点，，，又，平面，平面， 平面，，A正确；
B、三棱锥是正三棱锥，，B错误；
C、由A知二面角的平面角为，易得，，二面角的大小为，C正确；
D、设正三棱锥的外接球的半径为，则即，求得，正三棱锥外接球的表面积，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】取等边中心，取中点，连接，，，由题意得，进而求出，，逐一分析选项.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理
【解析】【解答】解：5个地区中随机选择2个地区去旅行有种情况，2个地区在海南省有1种情况，2个地区在云南省有种情况，
随机选择2个地区在同一省的概率为.
故答案为： .
【分析】分2个地区在海南省或2个地区在云南省两类讨论，结合古典概型的概率公式求解.
14．【答案】；
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：样本数据有5个，中位数是样本数据中的一个，，
样本平均数：，方差，
样本数据从小到大排列为 ，，样本的分位数为.
故答案为：4； .
【分析】根据中位数的定义得到，求样本的平均数，再利用方差的公式和根据百分位数定义求样本的方差和分位数.
15．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的图象；余弦函数的性质
【解析】【解答】解： 在上的最小值为，在上的最小值为，为偶函数，由图象性质易知当，取得最小值，，又 ，求得.
故答案为： .
【分析】将问题转化为在上的最小值为，再结合图象性质知求得最小值，进而求解 .
16．【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；余弦定理的应用；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：在 中，由余弦定理得，即，求得（舍负），由数量积的公式知当在方向上的投影最大时最大，即当点P运动到点B时最大，.
故答案为： .
【分析】在 中，利用余弦定理求，结合数量积的公式知当在方向上的投影最大时最大，即当点P运动到点B时最大，进而求解.
17．【答案】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得，其中女生被抽取的人数为.
（2）解：由频率分布直方图可得：，，
所以分位数位于区间，则分位数为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的性质得所有小长方形面积和为1列出方程求得a的值，结合分层抽样原理求女生被抽取的人数；
(2)根据频率分布直方图的百分位数的计算方法求解.
18．【答案】（1）解：当时，函数在区间上是减函数，
因此当时，函数取得最大值2，即，因此.
当时，函数在区间上是增函数，
当时，函数取得最大值2，即，因此.
故或
（2）解：因为的定义域为，
所以，则，即，
代入不等式，得，
则，解得，因此的取值范围是.
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】(1)分 和 两种情况讨论对数函数单调性，进而求a的值；
(2)由函数的定义域为 ，可得二次函数， 结合（1）求a的值，然后利用指数函数的单调性求m的取值范围.
19．【答案】（1）解：，
当时，则.
由，可得，
故函数在上的单调增区间为.
（2）解：当时，则，
故当，即时，函数的最大值为，
当，即时，函数的最小值为0，
所以在上的最大值为1，
由于对任意恒成立，故，
故的取值范围为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的图象
【解析】【分析】(1)根据数量积的坐标运算先求，结合二倍角公式和两角和的正弦公式化简，再利用正弦函数的单调性求在上的单调增区间；
(2)根据x范围，先求得的最值，再求 的最大值，进而得到的取值范围.
20．【答案】（1）解：第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：，
第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，
则所求的概率为.
（2）解：“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1，概率，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率.
因为成立，所以事件与事件相互独立.
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；分类加法计数原理
【解析】【分析】(1)第一类：求第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率；第二类： 求第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率 ，然后概率相加即可；
(2) 求出事件、事件与事件的概率，验证与是否相等判断事件与事件是否相互独立.
21．【答案】（1）证明：在三棱柱中，取的中点，连接，取的中点，连接，
则且，四边形为平行四边形，有，
由为的中点，得，又，平面，
于是平面，又，因此平面，又平面，即有.
而，则，又为的中点，
所以.
（2）解：连接，由为等边三角形，得，，
因为平面平面，平面平面平面，则平面，
又平面，即有，由（1）知，于是，
，，
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得，
所以点到平面的距离为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1)取的中点，连接，取的中点，连接，通过证明平面得到平面，所以 ，即有 ，证得 .
(2)由已知结合面面垂直的性质，得到平面，再利用等体积法 求解点到平面的距离.
22．【答案】（1）解：因为，
所以，
又，所以，
因为，，所以，
又，解得，
因为，所以.
（2）解：
由已知可设，
在中，则由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，所以.
在中，由余弦定理，得，
，
当时，的长度取得最大值.
【知识点】正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角化简得，结合 及 求 的值 ;
(2) 由已知设，在中由正余定理正定理得，再在中利用余定理求的最大值.
云南省楚雄州2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意求得 ，.
故答案为：D.
【分析】先求出集合，再根据并集定义求.
2．复数的虚部为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： ，虚部为3.
故答案为：B.
【分析】根据复数除法运算法则求出，写出其虚部即可.
3．已知单位向量的夹角为，且，则（ ）
A． B．6 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： ， .
故答案为：A.
【分析】根据数量积计算公式先求，再求.
4．已知样本数据的平均数为9，则另一组数据的平均数为（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意得 ，求得， .
故答案为：D.
【分析】根据平均数定义求出，进而求即可.
5．若是方程的解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，显然单调递增，又，，只有一个零点且在，.
故答案为：C.
【分析】令，结合函数单调性和零点存在性定理判断取值范围.
6．如图，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；异面直线；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：连接、、、，令正方体边长为2，
分别是的中点 ，易证， 为异面直线与所成角或其补角，，，
在中，由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】连接、、、，由得到为异面直线与所成角或其补角，进而在中利用余弦定理求解.
7．“”是“对任意恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解： 求得，
对任意恒成立，，求得，
””““
”“是“对任意恒成立”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的解法和二次函数的性质，分别求出实数的取值范围，结合充分必要条件的判定方法判断.
8．“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作，在点处测得点的仰角为，即，，
在点处测得点的仰角为，，在中，
，，在中由正弦定理得，，
.
故答案为：D.
【分析】过作，则，在得，在中由正弦定理求，进而求.
二、多选题
9．已知复数满足，则（ ）
A．
B．是纯虚数
C．
D．复数在复平面内对应的点在第四象限
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：A设，则， ，，，，求得，，A错误；
B、，B正确；
C、，C错误；
D、复数在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，D正确.
故答案为：BD.
【分析】A设，则，代入 求出，进而分析选项.
10．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（ ）
A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件
C． D．
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A.AUB表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲还可能获得二等奖，事件A和事件B不是对立事件，A错误
B.AUC表示“甲没有中奖或甲中奖”为全集，且事件A和事件C是互斥的，事件A和事件C是对立事件，B正确
C.，事件B+C表示“甲中奖”，即 ，C正确；
D.事件BC表示“甲获得一等奖”， ，D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据对立事件定义判断A,B；根据事件的包含关系判断C,D.
11．下列式子计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；诱导公式
【解析】【解答】解：A、 ，A错误；
B、，B正确；
C、，C正确；
D、，，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据三角函数诱导公式和余弦函数两角和、正切函数两角和公式逐一化简分析.
12．在正三棱锥中，与底面所成角的余弦值为，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．二面角的大小为
D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图，
取等边中心，取中点，连接，，，则点在上
由题意得，，
，，，，
A、在正三棱锥中，是的中点，，，又，平面，平面， 平面，，A正确；
B、三棱锥是正三棱锥，，B错误；
C、由A知二面角的平面角为，易得，，二面角的大小为，C正确；
D、设正三棱锥的外接球的半径为，则即，求得，正三棱锥外接球的表面积，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】取等边中心，取中点，连接，，，由题意得，进而求出，，逐一分析选项.
三、填空题
13．某游客计划从海口市 三亚市 普洱市 昆明市 丽江市这5个地区中随机选择2个地区去旅行，其中海口市 三亚市属于海南省，普洱市 昆明市 丽江市属于云南省，则这2个地区在同一省的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理
【解析】【解答】解：5个地区中随机选择2个地区去旅行有种情况，2个地区在海南省有1种情况，2个地区在云南省有种情况，
随机选择2个地区在同一省的概率为.
故答案为： .
【分析】分2个地区在海南省或2个地区在云南省两类讨论，结合古典概型的概率公式求解.
14．若一个样本的中位数是4，则这个样本的方差为 ，这个样本的分位数为 .
【答案】；
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：样本数据有5个，中位数是样本数据中的一个，，
样本平均数：，方差，
样本数据从小到大排列为 ，，样本的分位数为.
故答案为：4； .
【分析】根据中位数的定义得到，求样本的平均数，再利用方差的公式和根据百分位数定义求样本的方差和分位数.
15．已知函数在上的最小值为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的图象；余弦函数的性质
【解析】【解答】解： 在上的最小值为，在上的最小值为，为偶函数，由图象性质易知当，取得最小值，，又 ，求得.
故答案为： .
【分析】将问题转化为在上的最小值为，再结合图象性质知求得最小值，进而求解 .
16．已知外接圆的圆心为是边上一动点，若，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；余弦定理的应用；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：在 中，由余弦定理得，即，求得（舍负），由数量积的公式知当在方向上的投影最大时最大，即当点P运动到点B时最大，.
故答案为： .
【分析】在 中，利用余弦定理求，结合数量积的公式知当在方向上的投影最大时最大，即当点P运动到点B时最大，进而求解.
四、解答题
17．为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生550名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（成绩都在内）分为组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值以及女生被抽取的人数；
（2）估计这100人比赛成绩的分位数（小数点后保留2位）.
【答案】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得，其中女生被抽取的人数为.
（2）解：由频率分布直方图可得：，，
所以分位数位于区间，则分位数为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的性质得所有小长方形面积和为1列出方程求得a的值，结合分层抽样原理求女生被抽取的人数；
(2)根据频率分布直方图的百分位数的计算方法求解.
18．已知函数且在区间上的最大值是2.
（1）求的值；
（2）若函数的定义域为，求不等式中的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数在区间上是减函数，
因此当时，函数取得最大值2，即，因此.
当时，函数在区间上是增函数，
当时，函数取得最大值2，即，因此.
故或
（2）解：因为的定义域为，
所以，则，即，
代入不等式，得，
则，解得，因此的取值范围是.
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】(1)分 和 两种情况讨论对数函数单调性，进而求a的值；
(2)由函数的定义域为 ，可得二次函数， 结合（1）求a的值，然后利用指数函数的单调性求m的取值范围.
19．已知向量，设函数.
（1）求在上的单调增区间；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
当时，则.
由，可得，
故函数在上的单调增区间为.
（2）解：当时，则，
故当，即时，函数的最大值为，
当，即时，函数的最小值为0，
所以在上的最大值为1，
由于对任意恒成立，故，
故的取值范围为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的图象
【解析】【分析】(1)根据数量积的坐标运算先求，结合二倍角公式和两角和的正弦公式化简，再利用正弦函数的单调性求在上的单调增区间；
(2)根据x范围，先求得的最值，再求 的最大值，进而得到的取值范围.
20．袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.
（1）每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
（2）从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立.
【答案】（1）解：第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：，
第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，
则所求的概率为.
（2）解：“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1，概率，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率.
因为成立，所以事件与事件相互独立.
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；分类加法计数原理
【解析】【分析】(1)第一类：求第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率；第二类： 求第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率 ，然后概率相加即可；
(2) 求出事件、事件与事件的概率，验证与是否相等判断事件与事件是否相互独立.
21．如图，在三棱柱中，侧面底面为等边三角形，且.
（1）证明：.
（2）若，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：在三棱柱中，取的中点，连接，取的中点，连接，
则且，四边形为平行四边形，有，
由为的中点，得，又，平面，
于是平面，又，因此平面，又平面，即有.
而，则，又为的中点，
所以.
（2）解：连接，由为等边三角形，得，，
因为平面平面，平面平面平面，则平面，
又平面，即有，由（1）知，于是，
，，
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得，
所以点到平面的距离为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1)取的中点，连接，取的中点，连接，通过证明平面得到平面，所以 ，即有 ，证得 .
(2)由已知结合面面垂直的性质，得到平面，再利用等体积法 求解点到平面的距离.
22．在中，角所对的边分别为.
（1）求；
（2）若，过作垂直于交于点为上一点，且，求的最大值.
【答案】（1）解：因为，
所以，
又，所以，
因为，，所以，
又，解得，
因为，所以.
（2）解：
由已知可设，
在中，则由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，所以.
在中，由余弦定理，得，
，
当时，的长度取得最大值.
【知识点】正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角化简得，结合 及 求 的值 ;
(2) 由已知设，在中由正余定理正定理得，再在中利用余定理求的最大值.