安徽省六安顶级中学2023-2024高三上学期第二次月考数学试题（解析版）

六安一中2024届高三年级第二次月考
数学试卷
时间：120分钟
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “是第一象限角”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知中，，，，则的面积是（ ）
A. B. C. 6 D.
3. 函数的图象最有可能是以下的（ ）
A. B.
C. D.
4. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（ ）
A B. C. D.
5. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则在区间上零点的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 若是函数的一个极值点，则的极大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
8. 设是函数的导函数，当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递增
D. 将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
10. 已知，，，下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 有3个零点
D. 是奇函数
12. 在△ABC中，已知a＝2b，且，则（ ）
A. a，c，b成等比数列
B.
C. 若a＝4，则
D A，B，C成等差数列
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. “圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.
14. 已知是第三象限角，是终边上的一点，若，则______.
15. 已知函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围是__________.
16. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是________．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. （1）已知，且，求的值；
（2）化简.
18. 已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）设函数的零点为，求.
19. 已知在中，角所对的边分别是，且
（1）求的大小；
（2）若，求的取值范围.
20. 已知函数
（1）求函数在区间上的单调递减区间；
（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值.
21. 记的内角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求；
（2）若点在边上，且，，求.
22. 已知函数，
（1）若，求的单调区间；六安一中2024届高三年级第二次月考
数学试卷
时间：120分钟
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “是第一象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案.
【详解】若是第一象限角，则，无法得到一定属于，充分性不成立，
若，则一定是第一象限角，必要性成立，
所以“是第一象限角”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2. 已知中，，，，则的面积是（ ）
A. B. C. 6 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦定理求出，再求出，然后用面积公式即可.
【详解】，.
故选：A.
3. 函数的图象最有可能是以下的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数奇偶性排除CD，代入特殊点，排除A，选出正确答案.
【详解】定义域为，关于原点对称，又，所以是奇函数，故排除CD，又，故排除A选项，B正确.
故选：B
4. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设可得，应用正弦定理求得，进而求.
【详解】由题设且，在测得泰姬陵顶端处仰角为，
所以，则，
所以，故.
故选：A
5. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则在区间上零点的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦的二倍角公式变形解方程可得.
【详解】，
或，又，∴，或，
故选：C．
6. 若是函数的一个极值点，则的极大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对函数求导，由已知，先求出，再令，并判断函数在其左右两边的单调性，从而确定极大值点，然后带入原函数即可完成求解.
【详解】因为，，所以，
所以，，
令，解得或，
所以当，，单调递增；
时，，单调递减；
当，，单调递增，
所以的极大值为．
故选：D．
7. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.
【详解】由题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
因在上单调递增，所以，
所以在时，，
所以.
故选：B
8. 设是函数的导函数，当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数，利用函数单调性依次判断选项.
【详解】，
设在单调递增，
，所以A错误；
，
所以，所以B正确；
，所以C错误；
，
，所以D错误.
故选：B
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递增
D. 将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
【答案】AB
【解析】
【分析】根据辅助角公式和函数的最小正周期可得，然后利用的性质可得.
【详解】，
因最小正周期为，，故，得，
故，
选项A：
，故A正确；
选项B：
的对称轴为，，
即，，
当时，，故B正确；
选项C：
令，，
得，，
故的单调递减区间为，，
当时，的单调递减区间为，故C错误；
选项D：
将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到，
故D错误
故选：AB
10. 已知，，，下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.
【详解】由于且，所以，
又，，
故或，当时，显然不满足，故，所以，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C, ，故C错误，
对于D，由B可知，所以，故D正确，
故选：BD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 有3个零点
D. 是奇函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据与的关系, 再由奇偶性的定义判来判断D，根据图象平移的关系即可判断BA，对于C，可以直接求出的零点，从而判断其正确与否.
【详解】的定义域为，的定义域为，
且，
记，则有，
故为奇函数，选项D正确；
由于为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于点对称，B正确，A错误
令，则有，即或，
解得或，即，或，
故有3个零点，选项C正确．
故选：BCD
12. 在△ABC中，已知a＝2b，且，则（ ）
A. a，c，b成等比数列
B.
C. 若a＝4，则
D. A，B，C成等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得，再结合条件，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】因为，
所以，
即，即.
对选项A，因为，所以、、成等比数列，故A正确；
对选项B，因为，，即，所以，
即，故B正确；
对选项C，若，则，，
则，
因为，所以.
故，故C正确.
对选项D，若、、成等差数列，则.
又因为，则.
因为，设，，，，
则，故D错误.
故选：ABC
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. “圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】计算，再利用扇形的面积公式求解.
【详解】由题意可知，圆的半径为，即，
又，所以为正三角形，∴，
所以扇形的面积是.
故答案为：
14. 已知是第三象限角，是终边上的一点，若，则______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用二倍角公式求解即可.
【详解】因为是终边上的一点，所以,
则解得，
又因为是第三象限角，所以即，从而.
所以.
从而.
故答案为：
15. 已知函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出的范围，结合的图像即可
【详解】因为，所以，
若在内恰有4个零点，则，解得.
故答案为：
16. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数判断当时，的单调性，结合偶函数解不等式.
【详解】当时，，，
则在上单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，则在上单调递减，
若，即，
可得，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. （1）已知，且，求的值；
（2）化简.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）确定得到，再根据三角恒等变换计算得到答案.
（2）根据二倍角公式和同角三角函数关系结合正弦的和差公式化简即可.
【详解】（1）平方得，故，
，则，，
.
（2）原式
18. 已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）设函数的零点为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）易得，由平移变换得到，根据为奇函数，求得，从而，再由，令，利用二次函数的性质求解；
（2）由函数的零点为，得到，再由，利用二倍角公式求解.
【小问1详解】
解：因为函数的图像相邻对称轴之间的距离是，
所以，解得，
所以，
当将的图像向右平移个单位，得到函数，
因为为奇函数，
所以，即 ，
因为 ，所以 ，
则 ；
则，
因为，所以，则，
所以.
【小问2详解】
因为函数的零点为，
所以，则，
所以，
.
19. 已知在中，角所对的边分别是，且
（1）求的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简，再由正余弦定理即可得解；
（2）由正弦定理，可将化为三角函数，再由三角函数的值域求范围即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
整理得，由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以，
【小问2详解】
因，
所以，又，所以；
所以
又因为，则，
所以（当且仅当时，等号成立），
可得，即的取值范围是.
20. 已知函数
（1）求函数在区间上的单调递减区间；
（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，由求出的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求出函数在区间上的单调递减区间；
（2）利用三角函数图象变换可得出，令，，则函数与函数在时的图象有三个交点，数形结合可得出实数的取值范围，再利用正弦型函数的对称性可求得的值.
【小问1详解】
解：
，
因，则，
又在上单调递增，在上单调递减，
由可得，
即函数在区间上的单调递减区间为.
【小问2详解】
解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位，
可得到函数的图象，
再把所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得到函数的图象，
再将所得图象向上平移个单位，可得到函数的图象，
当时，，令，
则，令，
令，可得，其中，
作出函数与函数在时的图象如下图所示：
由图可知，当时，函数与函数在时的图象有三个交点，
设，其中，
则点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，
所以，，，则，
所以，，解得
21. 记的内角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求；
（2）若点在边上，且，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理化简可得出，可求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值；
（2）求出、的值，设，则，分别在和中，利用正弦定理结合等式的性质可得出、的等式，即可求得的值，即为所求.
【小问1详解】
解：因为，
由余弦定理可得，
化简可得，由余弦定理可得，
因为，所以，.
【小问2详解】
解：因，则为锐角，所以，，
因为，所以，，
所以，，
设，则，
在和中，由正弦定理得，，
因为，上面两个等式相除可得，
得，即，
所以，.
22. 已知函数，
（1）若，求的单调区间；
（2）若，，是方程的两个实数根，证明：．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数的单调性与导数正负的关系即可求解；
（2）根据已知条件构造，利用导数法研究函数的单调性和最值，进而得出，的范围，再构造函数，利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.
【小问1详解】
由题可知的定义域为，
.
令，则的两根分别为，．
当或时，；
当时，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．
【小问2详解】
原方程可化为，
设，则，．
令，得．∵上，，在上，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，且当，趋向于0时，趋向于，
当趋向于时，趋向于．
则在和上分别有一个零点，，
不妨设，∵，∴，
设，则，
．
当时，，
∴在上单调递增，而，
∴当时，，，即．
∵，
∴．
∵在上单调递减，
∴，即．

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