卷子答案网-一个不只有答案的网站北镇三高2023～2024学年度第一学期第二次月考
高三数学试卷
考试时间120分钟 试卷满分150分
※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则（ ）
A. B. C. 3 D.
3. 函数的大致图象为
A. B.
C. D.
4. 已知是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D. y＝|x－|
6. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7. 若（且）在R上为增函数，则单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格.
成绩 60 65 70 75 80 85 90
人数 2 3 3 5 4 2 1
下列结论正确的是（ ）
A. 这20人成绩的众数为75
B. 这20人成绩的极差为30
C. 这20人成绩的分位数为65
D. 这20人成绩的平均数为75
10. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. x∈R，2x>x2
B. x∈R，x2－x＋1<0
C. 命题“ x∈R， n∈N*，使得n>x2”的否定形式是“ x∈R， n∈N*使得n≤x2”
D. 方程有两个正实数根的充要条件是
11. 若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式有解，则实数m的取值范围是错误的是（ ）
A. m<－3或m> B. －3
12. 已知正实数x，y，z满足，则下列正确的选项有（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的图象在点处的切线方程是______．
14. 已知定义在上的函数为奇函数，且满足.当时，，则__________.
15. 已知函数， 则使函数有零点的实数的取值范围是____________
16. 若函数在上存在单调递减区间，则m取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数在时的最小值为．
（1）求；
（2）若函数的定义域为，求的取值范围．
18. 在中，角 对边分别是 ，．
（1）求C；
（2）若，的面积是，求的周长．
19. 已知公差不为零的等差数列满足，，成等比数列，．
（1）求的通项公式；
（2）记的前n项和为，求使成立的最小正整数n．
20. 新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在内，按区间分组为，，，，，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀．
（1）求这名学生平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
（2）按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取名学生座谈，再在这名学生中，选名学生发言，记优秀学生发言人数为随机变量，求的分布列和期望．
21. 已知函数，其中.
（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；
（2）若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围.
22. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在使，证明：．北镇三高2023～2024学年度第一学期第二次月考
高三数学试卷
考试时间120分钟 试卷满分150分
※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得到集合，根据函数的值域得到集合，然后求交集即可.
【详解】，，则.
故选：B.
2 设，则（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算和模长公式即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
3. 函数的大致图象为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将函数表达式化为，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊值得到最终结果.
【详解】因为是奇函数排除，且当时，.
故答案为A.
【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.
4. 已知是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．
【详解】都是实数，由“”有成立，
反之不成立，例如.
所以“”是“”的充分不必要条件，.
故选：B
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关充分不必要条件的判断，在解题的过程中，关键点是要注意对数式有意义的条件.
5. 下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D. y＝|x－|
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数、复合函数、分段函数的单调性逐一判断.
【详解】对于A，，因为，所以指数函数在单调递减，故A选项错误；
对于B，，因为，所以对数函数在单调递减，故B选项错误；
对于C，，因为二次函数在上单调递增，所以函数在单调递增，故C选项正确；
对于D，由，可得函数在内上单调递减，在内单调递增，故D选项错误.
故选：C.
6. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指对数的性质与中间数比大小即可.
【详解】，
所以.
故选：D.
7. 若（且）在R上为增函数，则的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的单调性求出a的取值范围，再求出函数的定义域，利用复合函数单调性求解作答.
【详解】且，函数与在R上有相同的单调性，即函数与函数在R上有相同的单调性，
因此函数在R上单调递增，，在中，，解得或，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数单调递增区间为.
故选：B
8. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】变形给定的不等式，构造函数并探讨单调性，借助单调性可得，再逐项判断作答.
【详解】不等式，令函数，
因为函数在R上都是增函数，因此函数是R上的增函数，
又，于是，即，
则，从而，A正确，B错误；
给定条件不能比较与1的大小，当时，，CD错误.
故选：A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格.
成绩 60 65 70 75 80 85 90
人数 2 3 3 5 4 2 1
下列结论正确的是（ ）
A. 这20人成绩的众数为75
B. 这20人成绩的极差为30
C. 这20人成绩的分位数为65
D. 这20人成绩的平均数为75
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，众数是出现次数最多数；
对于B，极差是最大值减最小值；
对于C，根据百分位数的计算公式即可；
对于D，根据平均数的计算公式即可.
【详解】根据表格可知：
这20人成绩的众数为75，故A对；
极差为故B对;
，所以分位数为，故C错；
平均数为.故D错
故选：AB
10. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. x∈R，2x>x2
B. x∈R，x2－x＋1<0
C. 命题“ x∈R， n∈N*，使得n>x2”的否定形式是“ x∈R， n∈N*使得n≤x2”
D. 方程有两个正实数根的充要条件是
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接利用函数的性质，恒成立问题和存在性问题，命题的否定，一元二次方程的根和系数的关系的应用判断A、B、C、D的结论.
【详解】对于A，当或时，，故A选项错误；
对于B，恒成立，故B选项错误；
对于C，“，使得”的否定形式是“使得”， 故C选项正确；
对于D，方程有两个正实数根的充要条件是，解得，故D选项错误.
故选：ABD.
11. 若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式有解，则实数m的取值范围是错误的是（ ）
A. m<－3或m> B. －3
【答案】BCD
【解析】
【分析】使不等式有解，大于的最小值，根据题意先利用基本不等式求的最小值，再解不等式求m的取值范围.
【详解】因为正实数x，y满足，所以，
则=，
当且仅当，即时等号成立.
因为不等式有解，所以，
即，，
解得或.
故选：BCD.
12. 已知正实数x，y，z满足，则下列正确的选项有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】设，把指数式改写为对数式，利用对数的运算法则判断．
【详解】设，则，，，
所以．所以．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的图象在点处的切线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数的图象在点处的切线方程.
【详解】 ，
，则，
又，切点为，
函数的图象在点处的切线方程是 即.
故答案为：.
14. 已知定义在上的函数为奇函数，且满足.当时，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用周期性和奇偶性可把转化到已知范围上，代入表达式可求，，即可求出答案.
【详解】函数为定义在上的奇函数，所以，
，
所以，所以2为的周期，
所以，，
故答案为：.
15. 已知函数， 则使函数有零点的实数的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【分析】令，进而作出的图象，然后通过数形结合求得答案.
【详解】令，现作出的图象，如图：
于是，当时，图象有交点，即函数有零点.
故答案为：.
16. 若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先对求导，将问题转化为在上有解，即在上有解，利用换元法与基本不等式求出的最大值即可得解.
【详解】因为，
所以，
则原问题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，
令，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
所以，则，
所以，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数在时的最小值为．
（1）求；
（2）若函数的定义域为，求的取值范围．
【答案】（1）3；（2），．
【解析】
【分析】（1）直接利用基本不等式求出最小值，即可得到m；
（2）由定义域为R，建立不等式，分类讨论，求出a的范围即可.
【详解】解：（1），，
，
当且仅当，即时等号成立，
；
（2）由（1）可知定义域为，
不等式的解集为，
①时，恒成立，满足题意；
②时，，解得，
综上得，的取值范围为，．
18. 在中，角 的对边分别是 ，．
（1）求C；
（2）若，的面积是，求的周长．
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）将化为，由余弦定理即可求得角C.
（2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意在中，，
即，故 ，
由于，所以.
【小问2详解】
由题意的面积是，，即 ，
由，得，
故的周长为.
19. 已知公差不为零的等差数列满足，，成等比数列，．
（1）求的通项公式；
（2）记的前n项和为，求使成立的最小正整数n．
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）设的公差为，利用等差数列通项公式可构造方程组求得，由此可得；
（2）由等差数列求和公式可求得，由可构造不等式组求得的范围，由此可得结果.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
【小问2详解】
由（1）得：，
若，，即，
解得：或；
成立的最小正整数.
20. 新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在内，按区间分组为，，，，，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀．
（1）求这名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
（2）按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取名学生座谈，再在这名学生中，选名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量，求的分布列和期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定名学生中优秀学员的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.
【小问1详解】
名学生的平均成绩为.
【小问2详解】
根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为，则非优秀学员对应的频率为，
抽取的名学生中，有优秀学生人，非优秀学生人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
21. 已知函数，其中.
（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；
（2）若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围.
【答案】（1）2（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，令，即可求得的值；
（2）由题可知，在上恒成立，参变分离，利用导数求最值即可求解.
【详解】（1）由题可知，则，解得．
（2）∵在上是减函数，
∴对恒成立，所以，
令，
则由得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故只需
故的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：函数在定义域上单调递减转化为函数导数在上小于等于零恒成立，采用了参变分离法，再构造函数，利用导数求出新函数的最值，其中转化的思想，参变量分离的方法，是解题的关键，属于中档题．
22. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在使，证明：．
【答案】（1）的单调增区间为，减区间为.
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）对求导，令和，即可求出函数的单调区间；
（2）由题意分析要证，对不等式两边同时取对数换元可知即证，对求导，得到的单调性即可证明.
小问1详解】
的定义域为，
，令，解得：.
令，解得：，令，解得：，
所以的单调增区间为，减区间为.
【小问2详解】
若存在使，
，
两式相减可得：，得，
两式相加可得：，得
所以，则，
欲证，两边同时取对数，即证，
即证，即
而，，因为，令，
即证，
设，
故在上单调递增，所以，
故在上单调递增，所以，
所以，所以.
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