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考点08 二次根公式
【考点梳理】
1、二次根式：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，表示a的算术平方根,其中=0
2、 理解并掌握下列结论：
（1）是非负数（双重非负性）；
（2）；
（3）；
口诀：平方再开方，出来带“框框”
3、二次根式的乘法：，反之亦成立
4、二次根式的除法：，反之亦成立
5、满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
（1)被开方数不含分母，（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。
6、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。
【窗口导航】
【题型导航】
题型一：二次根式的概念和性质 1
角度1：二次根式的定义 1
角度2：二次根式有意义的条件 3
角度3：二次根式的化简和性质 5
题型二：二次根式的四则运算 6
题型三：二次根式的应用 8
【题型演练】
一、单选题 14
二、填空题 16
三、解答题 19
题型一：二次根式的概念和性质
角度1：二次根式的定义
1．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）估计的值应该在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】C
【分析】直接利用二次根式加减运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
【详解】解：，
∵，且＜＜，
又∵=7，=8
∴7＜＜8，
∴7＜3＜8，
∴5＜3﹣2＜6，
∴估计的值应该在5和6之间．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键．
2．（2023·河北·模拟预测）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对选项逐个进行计算即可判断．
【详解】A．，此选项正确，不符合题意；
B．，此选项正确，不符合题意；
C．，此选项正确，不符合题意；
D．，此选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了化简二次根式、零指数幂、负整数指数幂及实数的运算，熟练掌握它们的运算法则是解答的关键．
3．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】属于真分数，则是整数，且不能为的因数，即可求解．
【详解】∵属于真分数，
∴，且为整数，
∴可以取，即，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次根式的性质，理解真分数的定义是解题的关键．
4．（2023春·广东揭阳·八年级校考阶段练习）函数y＝中自变量x的取值范围是
【答案】
【分析】二次根式有意义的条件：二次根号内的数为非负数，二次根式才有意义.
【详解】由题意得，1 2x≥0，
解得： x≤.
故答案为：x≤.
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次根式有意义的条件，即可完成.
角度2：二次根式有意义的条件
5．（2023·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
6．（2023·浙江·模拟预测）若为实数，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：依题意，，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
7．（2023·新疆伊犁·校考二模）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而判断得出即可．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是正确的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是错误的；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
8．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】设，等式两边平方得，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：设，
两边平方得，
整理得，
解得，（舍去），
即则．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：方程的思想的运用是解决问题的关键．也考查了规律性问题的解决方法．
角度3：二次根式的化简和性质
9．（2023·河南周口·校联考三模）下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项，二次根式的除法，平方差公式，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，二次根式的除法，平方差公式，积的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
10．（2023·河北廊坊·统考二模）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：A、，此选项错误，符合题意；
B、，此选项正确，不符合题意；
C、，此选项正确，不符合题意；
D、，此选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算．准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2023·河南周口·校考三模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别根据同底数幂的乘法，二次根式的乘法，积的乘方与幂的乘方以及单项式除以单项式的运算法则计算出各选项后再进行判断即可．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，故选项A不符合题意；
B. ，此选项计算正确，故选项B符合题意；
C. ，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，二次根式的乘法，积的乘方与幂的乘方以及单项式除以单项式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
12．（2023·重庆·九年级专题练习）估算的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】B
【分析】先化简，后估算计算即可．
【详解】，
∵，
∴
即，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．
题型二：二次根式的四则运算
13．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，如：．根据这种方法，化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分子和分母都乘，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【详解】解：
＝
＝
＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．
14．（2023·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（ ）
A． B． C．2023 D．
【答案】B
【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可．
【详解】解：三个实数，，满足，且，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件．
15．（2023·河南三门峡·校联考一模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类二次根式、分式的除法、幂的乘方单项式与单项式乘法的运算法则逐项分析即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故A选项不符合题意；
B．，正确，故B选项符合题意；
C．，故C选项不符合题意；
D．，故D选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了合并同类二次根式，分式的除法，幂的乘方，单项式与单项式乘法的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16．（2023·湖北武汉·模拟预测）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，可以计算出的值．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
题型三：二次根式的应用
17．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2
【答案】3
【分析】理解题中新定义运算的规则，对36进行运算即可．
【详解】解：由题意可得：
故答案为：3
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是理解新定义运算以及掌握二次根式的性质．
18．（2023·安徽六安·校考三模）观察下列各式： ……，请你猜想：
(1) ， ．
(2)请你将猜想到的规律用含有自然数的等式表达出来：
【答案】(1)5；6
(2)
【分析】（1）根据题中所给等式，得到规律即可得到答案；
（2）根据题中所给等式，得到规律．
【详解】（1）解：由得到规律为，
，，
故答案为：，；
（2）解：由得到规律为，其中自然数．
补充证明如下：
自然数，
，即，其中自然数．
【点睛】本题考查代数式规律问题，涉及二次根式性质，准确根据等式找到规律是解决问题的关键．
19．（2023·江苏·统考二模）问题：已知实数a、b、c满足，且，求证：．
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考：
令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
．
可以发现：．
从而可知构造的方程两个根分别是1和
利用根与系数的关系得： _____；_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
【答案】；；见解析
【分析】令，则，原等式就可变为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出代数式的值．
【详解】解：令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
．
可以发现：．
从而可知构造的方程两个根分别是1和.
利用根与系数的关系得：；；
∴
．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意确定一元二次方程，得到方程的两个根，再由根与系数的关系用两根之和与两根之积表示代数式中的分式，代入代数式求出代数式的值．
20．（2023春·广东·九年级专题练习）【探究函数的图象与性质】
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是 ；
(3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵，∴______．
∵，∴____．
【拓展说明】
(4)若函数，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)C
(3)，
(4)
【分析】（1）题目中的函数解析式可以直接写出x取值范围；
（2）根据x的取值范围可以判断y的正负，从可以解答本题；
（3）根据题目中的式子，可以把未填写的补充完整；
（4）仿照（3）中的计算过程可以求得y的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵函数，
∴当时，，当时，，
故选：C．
（3）解：∵，∴．
∵，∴．
故答案为：，；
（4）解：∵，
∴
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键．
21．（2023·广东深圳·模拟预测）阅读与应用：同学们，你们已经知道()2，即2b2所以2b2当且仅当时取等号．
阅读：若、为实数，且，，，，当且仅当时取等号．
阅读：若函数为常数由阅读结论可知：，即当即，时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题：已知一个矩形的面积为，其中一边长为，则另一边长为，周长为，当______时，矩形周长的最小值为______．
问题：若函数，则______时，函数的最小值为______．
问题3：建造一个容积为立方米，深米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米元和元，设池长为米，水池总造价为元，求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？
【答案】问题1：2，8；问题2：4，7；问题3：当时，水池总造价最低，最低为元．
【分析】问题1：根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解；
问题2：先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解；
问题3：根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解．
【详解】解：问题1：∵，
∴，
∴当即（不合题意舍去），时，函数有最小值；
当2，矩形周长的最小值为8；
故答案为：2，8；
问题：∵，
∴，
∴由阅读2结论可知，，即，
∴当即，
∴，（不合题意舍去），
∴当时，函数的最小值为7；
故答案为：4，7；
问题3：∵根据题意得长方体的宽为米，
∴，
∵，
∴当，即（不合题意舍去），时，函数的最小值为，
∴当时，水池总造价最低，最低为元．
答：当时，水池总造价最低，最低为元．
【点睛】此题主要考查反比例函数，函数最值的确定方法，涉及到的知识点有二次根式、矩形的周长、立方体的体积等，读懂材料是解本题的关键，难点是理解和运用材料得到的结论解决问题．
22．（2023·安徽六安·校联考一模）判断下面各式是否成立
（1） （2） （3）
探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：
②用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明
【答案】都正确①②，证明见解析．
【分析】（1）①利用已知即可得出命题正确，同理即可得出其他正确性，猜想可得出；
②利用①的方法，可以得出规律，并加以证明即可．
【详解】解：①上面三题都正确，
，
==；
，
==；
，
==；
∴；
②上面规律：，
证明：=.
【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．
【题型演练】
一、单选题
1．（2023·浙江·模拟预测）若，则（ ）
A．2007 B．2008 C． D．
【答案】B
【分析】由题意得：，即，则先去绝对值，移项后再平方即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
则，
即：，
，即，
故选B．
【点睛】本题考查了去绝对值及二次根式有意义的条件，熟练掌握去绝对值的方法及二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．（2023·四川德阳·统考一模）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是．
②．
③若一个多边形的内角和是，则它的边数是5．
④的平方根是．
⑤．
A．③ B．①③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件，无理数的估算，多边形内角和，平方根和完全平方公式判断即可．
【详解】解：①若二次根式 有意义，则，解得．
故x的取值范围是，题干的说法是错误的；
②∵
∴故题干的说法是错误的；
③若一个多边形的内角和是，
设多边形的边数为n，
∴，解得，
则它的边数是5是正确的；
④，4的平方根是，故题干的说法是错误的；
⑤，故题干的说法是错误的．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，无理数的估算，多边形内角和，平方根和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的性质、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A．无法合并，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的性质、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2023·山东青岛·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
二、填空题
5．（2023秋·江苏南京·九年级南京市伯乐中学校考开学考试）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，分别分析得出答案．
【详解】由题意得，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
6．（2023春·山西临汾·九年级校考期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
7．（2023·内蒙古·统考中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】/
【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解．
【详解】由数轴位置可知，
．
【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键．
8．（2023·广东广州·校考一模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，即可求解．
【详解】解：若式子在实数范围内有意义，
则的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键．
9．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考模拟预测）使代数式有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】二次根式（），据此即可计算．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求含有二次根式的函数的自变量取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为，，，b，c，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据a，b，c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S．
【详解】解：∵，，，
∴，
则．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2023·山东济南·校考三模）估计的值应在 和 之间（填写整数）．
【答案】 6 7
【分析】先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算．
【详解】解：，
，
，
，
，
估计的值应在6和7之间，
故答案为：6，7．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
12．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）计算的结果为 ．
【答案】7
【分析】将化为最简二次根式为，再利用完全平方公式计算，最后合并即可．
【详解】解：
＝
＝
＝7，
故答案为：7．
【点晴】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题关键．
三、解答题
13．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）计算：
(1)计算：；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据零指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂化简，再计算，即可求解；
（2）先计算括号内的，然后计算除法，即可求解．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14．（2023·江苏泰州·校考二模）（1）计算：；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分别根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则，数的开方法则及特殊角的三角函数值把原式进行化简，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；
（2）根据分式的混合运算，先算括号里面的，再算除法即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，数的开方法则及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键．
15．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）（1）计算：
（2）先将代数式化简，并从中选取合适的整数代入求值．
【答案】（1）；（2），当时，原式
【分析】（1）先化简二次根式，绝对值和计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
，
∵分式要有意义且分数的分子不能为0，
∴，
∴且且，
∵且x是整数，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，实数的混合计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．
16．（2023·安徽滁州·校考一模）（1）计算：．
（2）解不等式．
【答案】（1）0；（2）
【分析】（1）先计算二次根式、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再合并同类项即可；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可解不等式．
【详解】（1）解：
．
（2）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
故不等式的解集为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解一元一次不等式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
17．（2023·江苏苏州·苏州市工业园区第一中学校考二模）计算：．
【答案】
【分析】先根据绝对值，完全平方公式和特殊角的三角函数值进行计算，再算加减即可．
【详解】解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后将x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
19．（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先去绝对值，计算负整数指数幂，化最简二次根式，计算特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可；
（2）分别解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求出其公共解即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及去绝对值，负整数指数幂，化最简二次根式，特殊角的三角函数值．还考查解一元一次不等式组．掌握实数的混合运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题关键．
21．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)6
(2)
(3)5+
(4)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）首先计算立方根和算术平方根，然后计算加减；
（3）根据二次根式的混合运算法则和零指数幂运算法则求解即可；
（4）根据二次根式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
22．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
23．（2023·内蒙古·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，45
【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可．
【详解】原式
．
当，时
原式．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键．
()
考点08 二次根公式
【考点梳理】
1、二次根式：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，表示a的算术平方根,其中=0
2、 理解并掌握下列结论：
（1）是非负数（双重非负性）；
（2）；
（3）；
口诀：平方再开方，出来带“框框”
3、二次根式的乘法：，反之亦成立
4、二次根式的除法：，反之亦成立
5、满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
（1)被开方数不含分母，（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。
6、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。
【窗口导航】
【题型导航】
题型一：二次根式的概念和性质 1
角度1：二次根式的定义 1
角度2：二次根式有意义的条件 3
角度3：二次根式的化简和性质 5
题型二：二次根式的四则运算 6
题型三：二次根式的应用 8
【题型演练】
一、单选题 14
二、填空题 16
三、解答题 19
题型一：二次根式的概念和性质
角度1：二次根式的定义
1．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）估计的值应该在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．（2023·河北·模拟预测）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ．
4．（2023春·广东揭阳·八年级校考阶段练习）函数y＝中自变量x的取值范围是
角度2：二次根式有意义的条件
5．（2023·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2023·浙江·模拟预测）若为实数，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·新疆伊犁·校考二模）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想则（ ）
A．3 B． C． D．
角度3：二次根式的化简和性质
9．（2023·河南周口·校联考三模）下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
10．（2023·河北廊坊·统考二模）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·河南周口·校考三模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·重庆·九年级专题练习）估算的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
题型二：二次根式的四则运算
13．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，如：．根据这种方法，化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（ ）
A． B． C．2023 D．
15．（2023·河南三门峡·校联考一模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·湖北武汉·模拟预测）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为( )
A． B． C． D．
题型三：二次根式的应用
17．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2
18．（2023·安徽六安·校考三模）观察下列各式： ……，请你猜想：
(1) ， ．
(2)请你将猜想到的规律用含有自然数的等式表达出来：
19．（2023·江苏·统考二模）问题：已知实数a、b、c满足，且，求证：．
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考：
令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
．
可以发现：．
从而可知构造的方程两个根分别是1和
利用根与系数的关系得： ___ __；___ __；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
20．（2023春·广东·九年级专题练习）【探究函数的图象与性质】
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是 ；
(3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵，∴______．
∵，∴____．
【拓展说明】
(4)若函数，求y的取值范围．
21．（2023·广东深圳·模拟预测）阅读与应用：同学们，你们已经知道()2，即2b2所以2b2当且仅当时取等号．
阅读：若、为实数，且，，，，当且仅当时取等号．
阅读：若函数为常数由阅读结论可知：，即当即，时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题：已知一个矩形的面积为，其中一边长为，则另一边长为，周长为，当______时，矩形周长的最小值为______．
问题：若函数，则______时，函数的最小值为______．
问题3：建造一个容积为立方米，深米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米元和元，设池长为米，水池总造价为元，求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？
22．（2023·安徽六安·校联考一模）判断下面各式是否成立
（1） （2） （3）
探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：
②用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明
【题型演练】
一、单选题
1．（2023·浙江·模拟预测）若，则（ ）
A．2007 B．2008 C． D．
2．（2023·四川德阳·统考一模）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是．
②．
③若一个多边形的内角和是，则它的边数是5．
④的平方根是．
⑤．
A．③ B．①③⑤ C．③④⑤ D．①②④
3．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东青岛·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023秋·江苏南京·九年级南京市伯乐中学校考开学考试）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
6．（2023春·山西临汾·九年级校考期中）计算： ．
7．（2023·内蒙古·统考中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
8．（2023·广东广州·校考一模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
9．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考模拟预测）使代数式有意义的x的取值范围是 ．
10．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为，，，b，c，若，，，则的面积为 ．
11．（2023·山东济南·校考三模）估计的值应在 和 之间（填写整数）．
12．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）计算的结果为 ．
三、解答题
13．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）计算：
(1)计算：； (2)化简：．
（2023·江苏泰州·校考二模）
（1）计算：； （2）．
（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）
（1）计算：
（2）先将代数式化简，并从中选取合适的整数代入求值．
（2023·安徽滁州·校考一模）
（1）计算：． （2）解不等式．
17．（2023·江苏苏州·苏州市工业园区第一中学校考二模）计算：．
18．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）先化简，再求值：，其中．
19．（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）先化简，再求值：，其中．
（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）
（1）计算： （2）解不等式组：
21．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：
(1) (2)
(3) (4)
22．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）先化简，再求值：，其中．
23．（2023·内蒙古·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，．
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