卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年天津市南开区高考数学一模试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集，集合，或，则( )
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4. 某高中随机选取名学生一次数学统测测试成绩，分为组：，，，，，，绘制了频率分布直方图如图所示，则成绩在区间内的学生有( )
A. 名 B. 名 C. 名 D. 名
5. 已知直线与圆相交于，两点，则的长度可能为( )
A. B. C. D.
6. 已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7. 已知抛物线上一点到准线的距离为，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9. 已知函数则下列结论：
，
恒成立
关于的方程有三个不同的实根，则
关于的方程的所有根之和为
其中正确结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10. 是虚数单位，复数 ．
11. 在的展开式中，的系数为 ．
12. 已知实数，，，则的最小值为 ．
13. 如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为 ．
14. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为 ；如果买到的灯泡是合格品，那么它是甲厂产品的概率为 ．
15. 在平面四边形中，，则 ； ．
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
求的值；
求的值．
17. 本小题分
如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，，是中点，是上一点．
当时，
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
平面与平面夹角的余弦值为，求的值．
18. 本小题分
已知，是椭圆：的两个焦点，过的直线交于，两点，当垂直于轴时，且的面积是．
求椭圆的标准方程；
设椭圆的左顶点为，当不与轴重合时，直线交直线：于点，若直线上存在另一点，使，求证：，，三点共线．
19. 本小题分
已知等差数列的首项为，前项和为，单调递增的等比数列的首项为，且满足，．
求和的通项公式；
证明：；
记的前项和为，证明：．
20. 本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数有极大值，试确定的取值范围；
若存在使得成立，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，或，
，
则．
故选：．
求出，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由可得或，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
先解不等式可得或，然后检验充分性及必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设，则，
则是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，
又，排除选项，
当时，，，与比较，
，变化的快，则，且，排除选项．
故选：．
结合函数解析式的特点和选项中各个图象的不同，利用排除法判断即可．
本题考查函数的图象，函数的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
成绩在区间内的概率为，
成绩在区间内的人数为．
故选：．
先利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为求出的值，进而求出成绩在区间内的频率，结合总人数求解即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：直线过圆内定点，
圆的圆心与的距离．
圆的半径为，
则弦长的最小值为，最大值为直径．
的长度可能为．
故选：．
由直线方程可知直线过定点，求出直线被圆所截弦长的范围，核对四个选项得答案．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线系方程，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，，
，
，且，，
，即，
，，
，即，
，，且，
，即，
．
故选：．
可得出，，，然后根据对数函数的单调性即可得出，，的大小关系．
本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由抛物线，得抛物线的准线为，
点到准线的距离，，，
由对称性不妨取，
是双曲线的左焦点，
，，，，
右焦点为，
由双曲线的定义可得
，
当，，三点共线时，取得最小值．
故选：．
由题意求得点的坐标，进而求得双曲线右焦点的坐标，由双曲线的定义可得，从而求得的值．
本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把化为是解题的关键，属中档题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．
由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得的最大值．
【解答】
解：将的图象向右平移个单位长度后得到
的图象．
因为，所以，
因为在上单调递减，
所以，，即，所以，的最大值为，
故选B．
9.【答案】
【解析】解：对于：，故正确；
对于：由上可知要使得，恒成立，
只需满足时，成立，
即，
即成立，
令，
得，，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以当时有极大值，故错误；
对于：作出函数图象：
由图知，要使得方程，有三个不同的实数根，
则，即，故正确；
对于：由可知函数在上的函数图象可由上图象向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标为原来的倍，
由于的对称轴为，
所以的两根之和为，
同理可得的两根之和为，，的两根之和为，
所有根之和为，故错误，
故选：．
对于：，即可判断是否正确；
对于：由上可知要使得，恒成立，即成立，令，求导分析极值，即可判断是否正确；
对于：作出函数图象：由图知，要使得方程，有三个不同的实数根，则，即可判断是否正确；
对于：由可知函数在上的函数图象可由上图象向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标为原来的倍，
由于的对称轴为，可得的两根之和，的两根之和，，的两根之和，即可判断是否正确．
本题考查分段函数的应用，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：的展开式通项公式为，
令，解得，
故的系数为．
故答案为：．
先求出在的展开式的通项公式，令的系数为，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，当且仅当时取等号．
故答案为：．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：直三棱柱的六个顶点都在半径为的半球面上，，
故B，侧面边长为，
又三棱柱为直三棱柱，
过三点的截面圆的圆心在上，所以，
，
直三棱柱的体积为，
故答案为：．
根据已知，求出侧面的长和宽，代入矩形面积，可得答案．
本题考查与球有关的几何体的问题，考查勾股定理，空间点、线、面的位置关系的应用，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：设为甲厂产品，为乙厂产品，表示合格产品，则，，，．
所以，
灯泡是甲厂生产的概率为，所以，
故答案为：；．
由全概率公式与条件概率公式求解即可．
本题考查全概率公式与条件概率公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，
又，故，
，故，
为等边三角形，则；
，，
又，，
得，
，
根据以上分析作图如下：
则，
则，
故答案为：；．
根据求出的大小，从而可判断 的形状，从而求出；再求出，从而求出 的大小，再根即可求出．
本题主要考查向量的数量积，属于中档题．
16.【答案】解：由于，，所以，
由于，
由正弦定理得：，
故．
由于，；
所以，整理得，解得负值舍去；
由得：，且，故负值舍去，
，，
所以．
【解析】首先利用同角三角函数关系式的变换求出的值，进一步利用正弦定理求出的值；
利用的结论和余弦定理求出的值；
利用同角三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，正弦定理和余弦定理，倍角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
17.【答案】解：建立空间直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，过点作的垂线为轴，
则，，，，
由，，因为，
所以，，
证明：设平面的一个法向量，
则，
令，则，，
所以是平面的一个法向量，
因为，
所以，
又面，
所以面．
由可得，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
设，，
则，
设是平面的一个法向量，
所以，
取，则是平面的一个法向量，
所以，，
解得或舍去，
所以．
【解析】建立空间直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，过点作的垂线为轴，由得，．
设平面的一个法向量，则，解得，进而可得，由线面平行的判定定理可得答案．
由可得，，即可得出答案．
设，，则，设是平面的一个法向量，解得是平面的一个法向量，则，，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
18.【答案】解：由题意可得，
所以，
因为的面积为，
所以，
解得，
所以，
所以，
解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
证明：由知，
设直线的方程为，，，
由，得，
所以，，
直线的斜率为，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
所以，
直线的斜率为，
因为，即，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，则点，
所以直线的斜率，
又直线的斜率，
所以，
又，
所以，
所以，，三点共线．
【解析】由题意可得，，又的面积为，则，解得，，由椭圆的定义可得，解得，，即可得出答案．
由知，设直线的方程为，，，联立椭圆的方程，结合韦达定理得，，写出直线的方程为，进而可得点的坐标，直线的斜率，由，得，写出直线的方程为，进而可得点坐标，计算，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，，
所以，即，解得舍去，或，
所以；
证明：由知，
所以
；
由知，
所以，
所以，
即．
【解析】根据条件，列出关于，的方程组，即可求解；
根据数列的前项和与的关系，集合等差数列的通项公式，即可证明；
首先化简并放缩不等式，，再利用裂项相消求和，即可证明．
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．
20.【答案】解：当时，，
依题意，，可得，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增，此时无极大值；
当时，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，
此时在处取得极大值，符合题意；
当时，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，
此时在处取得极大值，符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，此时无极大值；
综上，实数的取值范围为．
等价于，
可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由，得，解得，
所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，
则，
根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，
由，可得，
所以．
【解析】利用导数的几何意义，求曲线的切线方程；
首先求函数的导数，再讨论，判断函数的单调性，讨论函数的极值；
不等式转化为，利用两点间的距离的几何意义，转化为点到直线的距离，求的值．
本题主要考查利用导数研究函数的最值与极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
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