卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年上海市宝山区重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，则( )
A. B. C. 或 D.
2. 名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去个小区，每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
3. 已知某射击爱好者打靶成绩单位：环的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的标准差为精确到( )
A. B. C. D.
4. 已知直线与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，则满足的有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 函数的导数 ．
6. 已知一个等比数列的第项是，公比是，它的第项是 ．
7. 二项式的展开式中的常数项为 ．
8. 已知，是独立事件，，，则 ．
9. 为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取名，测得他们的体重数据如下按从小到大的顺序排列，单位：：、、、、、、、、、、、、、、、、据此估计该校高三年级男生体重的第百分位数为 ．
10. 电视台在电视剧开播前连续播放个不同的广告，其中个商业广告个公益广告，现要求个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有 种
11. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则此圆锥的高为 ．
12. 已知关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 ．
13. 某医院对某学校高三年级的名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知男生比女生少抽了人，则该年级的女生人数是 ．
14. 某学校组织学生参加劳动实践活动，其中名男生和名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与名同学站成一排合影留念，则名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于______ 用数字作答
15. 已知为椭圆上的一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 ．
16. 如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边：接着画正五边形，对这个正五边形不画第五边：接着画正六边形，，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线，称为比尔折线设第条线段与第条线段所夹的角为，，则 ．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
求函数在上的最大值与最小值．
18. 本小题分
如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点．
求正四棱锥的体积；
求直线与平面所成角的大小．
19. 本小题分
某中学为了解高中一年级学生对生涯规划读本学习情况，在该年级名学生中随机抽取了名学生作为样本，对他们一周内对生涯规划读本学习时间进行调查，经统计，这些时间全部介于至单位：分钟之间现将数据分组，并制成如图所示的频率分布直方图为了研究的方便，该年级规定，若一周学习生涯规划读本时间多于分钟的学生称为“精生涯生”，若一周学习生涯规划读本时间小于分钟的学生称为“泛生涯生”．
求图中的值；
用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？
从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选名学生，求这两名学生一周内对生涯规划读本学习时间的差不超过分钟的概率．
20. 本小题分
已知等差数列和正项等比数列，，．
；
设，记数列的前项和为，求的最小值；
设的前项和为，是否存在常数、，使恒成立？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由．
21. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，．
写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；
若弦，的斜率均存在，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，可得或．
故选：．
由组合数性质可求的值．
本题考查组合数公式及其性质，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：依题意可知，其中一个小区必安排名同学，
则先把名同学分成“，，”的组合，有种方式，
再将这三组安排到个小区，有种方式，
所以符合题意的不同的安排方法种数为种．
故选：．
先把名同学分成“，，”的组合，再将这三组安排到个小区，最后由分步计数原理得解．
本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由茎叶图可得数据的平均数为，
则数据的标准差为
因为，所以很接近，且小于，故只有选项满足．
故选：．
根据茎叶图求平均值，再由标准差与均值的关系求．
本题主要考查茎叶图的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：直线，可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，
而圆上的整数点共有个，分别为，，，，，，
个点中过任意两点，构成条直线，其中有条直线垂直轴，有条直线垂直轴，还有条过原点圆上点的对称性，故满足题设的直线有条．
又满足，即，也就是圆心到直线的距离，可知直线所过两点不能相邻，
综上可知满足题设的直线共有条，
故选：．
直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，再由，可得圆心到直线的距离小于等于，即直线所过两点不相邻，求出圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答．
本题考查直线的截距式方程，考查组合知识的应用，正确分类是关键，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
根据正弦函数的求导公式求导即可．
本题考查了正弦函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：一个等比数列的第项是，公比是，
则它的第项是．
故答案为：．
利用等比数列通项公式直接求解．
本题考查等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，，，，，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
故答案为：．
求出展开式的通项公式，然后令的指数为，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，是独立事件，，，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
数据从小到大第个数为，
故第百分位数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合百分位数的求法，即可求解．
本题主要考查百分位数的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：先安排个商业广告的播放顺序，有种方式
再将个公益广告插入个商业广告所形成的个空挡中，有种方式，
则由分步计数原理可知，符合题意的不同的播放方式共有种．
故答案为：．
先安排个商业广告的播放顺序，再将个公益广告插入个商业广告所形成的个空挡中，最后由分步计数原理得解．
本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，
设此圆锥的高为，
，
解得此圆锥的高为．
故答案为：．
利用圆锥的结构特征、体积公式能求出则此圆锥的高．
本题考查圆锥的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案．
由题意求得，再令，可得展开式的系数之和，属于中档题．
【解答】
解：关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，即最大，解得，再根据，可得，令可得展开式的系数之和为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：设样本中女生人数为，
则样本中男生人数为，
由题意可知，，解得，
故该年级的女生人数是．
故答案为：．
根据已知条件，先求出样本中女生的人数，再结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，农场主与名同学站成一排，有种不同的站法，
若农场主站在中间，有种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有种站法，
则名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有种站法，
则其概率，
故答案为：．
根据题意，由排列组合数公式计算“农场主与名同学站成一排”和“名女生互不相邻，且农场主站在中间”的站法数目，由古典概型公式计算可得答案．
本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的实际应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解；设圆和圆的圆心分别为，，半径分别为，，
则椭圆的焦点为，，
又，，
所以，当且仅当，分别在，的延长线上时取等号，
此时最大值为，
故答案为：．
设圆和圆的圆心分别为，，半径分别为，，则根据椭圆的性质可知为定值，再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和即可．
本题主要考查椭圆的定义的运用以及根据三角形两边之和大于第三边求线段之和的最大值问题，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：第一条线段与第二条线段所夹的角，由此类推，，，
，，，，，，，
观察规律，三角形会有个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，
正方形有个，正五边形有个，正六边形有个，
多边形有个，
又观察图形得：正三角形画条线段，正方形画条线段，正五边形画条线段，正六边形画条线段，，正边形画条线段；
所以画到正多边形时，画线段的条数为，
当时，；当时，，
第条线段应在正边形中，，
故答案为：．
根据正三角形、正方形、正五边形的角的度数规律，类比出多边形个角的度数表达式，再计算出条线段所在的正多边形的边数，进一步求出夹角．
本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，属于中档题．
17.【答案】解：，，，
，
，
函数在处的切线方程为：，化为：．
，
时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增．
时，函数取得极小值即最小值，，
又，，时，函数取得最大值，
函数在上的最大值与最小值分别为，．
【解析】，，，利用导数的运算法则可得，可得，利用点斜式可得切线方程．
，利用导数研究其单调性与极值即可得出得出最值．
本题考查了利用导数研究函数单调性与极值及其最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：在四棱锥中，平面，
正方形的边长为，，设为侧棱的中点，
点到平面的距离，
，
正四棱锥的体积：
；
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
直线与平面所成角，
，
．
直线与平面所成角为．
【解析】求出点到平面的距离，再求出，由此能求出正四棱锥的体积；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角．
本题考查正四棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
19.【答案】解：由频率分布直方图可得：
，解得．
由频率分布直方图得样本“精生涯生”的频率为，样本“泛生涯生”的频率为，
估计该年级学生中“精生涯生”的数量为人，
该年级中“泛生涯生”的数量为人．
在这名学生样本中有名“泛生涯生”，有名“业生涯生”，
从这人中选取人的不同选法有，
这两名学生一周内对生涯规划读本学习时间的差不超过分钟包含的不同选法有，
这两名学生一周内对生涯规划读本学习时间的差不超过分钟的概率．
【解析】由各组概率之和为，能求出图中的值．
由频率分布直方图求出样本“精生涯生”和“泛生涯生”的频率，由此能求出结果．
先求出人中选取人的所有基本事件和这名学生一周学习生涯规划的学习时间的差不超过分钟所包含的基本事件，用古典概型概率公式能求出这两名学生一周内对生涯规划读本学习时间的差不超过分钟的概率．
本题考查频率、频数、概率、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，
，，
，，
解得，，
，．
．
，
数列的前项和为，
由二次函数的单调性可得：或时，取得最小值．
的前项和为，
假设存在常数、，使恒成立，
则恒成立，
令，上式化为：，解得，
因此存在常数，，使恒成立．
【解析】设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，根据，，可得，，解得，，即可得出，．
由可得，利用等差数列的求和公式可得数列的前项和为，利用二次函数的单调性可得的最小值．
的前项和为，假设存在常数、，使恒成立，利用对数运算性质、恒等式的性质即可得出、．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、二次函数的单调性、恒等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由椭圆的方程可得，，可得，
所以，，
所以椭圆的右焦点，离心率；
由可得，
当直线，的斜率为或不存在时，设直线的方程为，可得的中点为原点，
此时直线的为，这时的中点与点重合，即，此时直线为轴；
当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，，设，，
联立，整理可得：，
显然，，
可得的中点的纵坐标为，代入直线的方程可得，
即，同理可得，
当时，轴，则的方程为：
当时，，
直线的方程为，
令，可得，为定值，
综上所述，可证得直线恒过定点；
由可得直线恒过定点，
所以，
设，
则在单调递增，所以所以当时，取到最小值，
所以由最大值，即，可得时三角形取到最大值，
即面积的最大值为．
【解析】由椭圆的方程可得，的值，进而求出的值，可得椭圆的右焦点的坐标及离心率的值；
分直线，的斜率为和不为讨论，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和，进而可得的中点的坐标，由题意可得的坐标，当，的横坐标相等时，可得直线的方程，当，的横坐标不等时，求出直线的斜率，由点斜式可得直线的方程，令，可得直线直线恒过的点的横坐标，进而求出直线恒过的点的坐标；
由可得恒过的定点的坐标，求出，的纵坐标之差的绝对值，代入三角形的面积公式，整理由函数的单调性，可得面积的最大值．
本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，直线恒过定点的求法，属于中档题．
第1页，共1页
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 2022-2023上海市宝山区重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）