卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年上海重点大学附中高考数学模拟试卷
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. “”是“”的条件．( )
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
2. 设，为两条不同的直线，为一个平面，则下列命题正确的是( )
A. 若直线平面，直线平面，则
B. 若直线上有两个点到平面的距离相等，则
C. 直线与平面所成角的取值范围是
D. 若直线平面，直线平面，则
3. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
4. 已知函数，若存在实数，，，满足，其中，则取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
5. 设集合，，则______．
6. 已知为虚数单位，复数满足，则 ．
7. 在平面直角坐标系内，直线：，将与两坐标轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为______．
8. 已知，，则_____________．
9. 设定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是______．
10. 在平面直角坐标系中，有一定点，若的垂直平分线过抛物线：的焦点，则抛物线的方程为______．
11. 设某产品的一个部件来自三个供应商，这三个供应商的良品率分别是，，，若这三个供应商的供货比例为：：，那么这个部件的总体良品率是 用分数作答．
12. 记的展开式中第项的系数为，若，则______．
13. 从所有棱长均为的正四棱锥的个顶点中任取个点，设随机变量表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望______．
14. 已知函数有两个零点，，数列满足，若，且，则数列的前项的和为 ．
15. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，若是抛物线上的动点，则的最大值为 ．
16. 已知，函数的图象的两个端点分别为、，设是函数图象上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，为侧棱的中点
求证：平面；
求二面角的大小结果用反三角函数值表示
18. 本小题分
已知函数
求函数的单调递增区间；
将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求方程的解．
19. 本小题分
如图，一智能扫地机器人在处发现位于它正西方向的处和处和北偏东方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少，于是选择沿路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为，忽略机器人吸入垃圾及在处旋转所用时间，秒钟完成了清扫任务；
求、两处垃圾之间的距离；精确到
求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角的大小；用反三角函数表示
20. 本小题分
如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于、两点，与轴交于点
若，求的值；
求证：；
求面积的最大值．
21. 本小题分
已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．
Ⅰ求证：数列是等差数列；
Ⅱ求数列，的通项公式；
Ⅲ 设，如果对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：时，，，得出，
得不出，即不是的充分条件；
时，，，得出，
是的必要条件．
故选：．
可看出时，；而时，，从而可得出正确的选项．
本题考查了充分条件和必要条件的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对选项A：平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，错误；
对选项B：当直线与平面相交时，也满足有两个点到平面的距离相等，错误；
对选项C：直线与平面垂直时夹角为，错误；
对选项D：垂直于同一平面的两条直线平行，正确．
故选：．
平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，A错误，当直线与平面相交时，也成立，B错误，直线与平面垂直时夹角为，C错误，D正确，得到答案．
本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量的数量积的定义和性质，同时考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．
由向量垂直的条件可得，运用向量的平方即为模的平方，可得，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．
【解答】
解：由题意可得，
可得，
所以
，，
即为，，
当，，即，同向时，
的最大值是．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的应用，对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，进行转化是解决本题的关键，属于中档题．先画出函数的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．
【解答】
解：函数的图象如下图所示：
若满足，其中，
则，，
则，即，
则，
同时，，
，关于对称，，
则，则，
则，
，
，
即，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
或，
则，
故答案为：．
求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，根据集合的基本运算实是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数求模问题，考查解方程组问题以及对应思想，是一道基础题．
设出，得到，根据实部虚部对应相等得到关于，的方程组，解出，的值，求出，从而求出的模．
【解答】
解：设，则，
，
，解得，
故，．
故答案为：．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
．
方法二：由题意可知绕轴旋转，形成的是以为半径，为高的圆锥，
则，
故答案为．
由题意此几何体的体积可以看作是：，求出积分即得所求体积，方法二由题意可得绕轴旋转，形成的是以为半径，为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积．
本题考查用定积分求简单几何体的体积，求解的关键是找出被积函数来及积分区间，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
，，
，解得：，
，
．
故答案为：．
由已知等式化简可得，结合范围，解得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角的正切函数公式可求的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：当，则，此时，
是奇函数，
，，
即，，
当时，由，得，
当时，成立，
当时，由，得，即，则，
综上或，
即不等式的解集为，
故答案为：，
根据函数奇偶性的性质，先求出函数的解析式，然后解不等式即可．
本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．
10.【答案】
【解析】解：点，
依题意我们容易求得直线的方程为，
把焦点坐标代入可求得焦参数，
从而得到抛物线的方程为：．
故答案为：．
先求出线段的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得的值，即可得到抛物线方程．
本题主要考查抛物线的基本性质．基本性质的熟练掌握是解答正确的关键．
11.【答案】
【解析】解：部件的总体良品率是：．
故答案为：．
部件的总体良品率是，计算得到答案．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据二项式定理，可得，
根据题意，可得，
解得，
故答案为．
根据题意，结合二项式定理可得，，解可得答案．
本题考查二项式定理，要区分二项式系数与系数两个不同的概念．
13.【答案】
【解析】解：如图所有棱长均为的正四棱锥中，是边长为的正方形，
底面，，
，
，
，
的可能取值为，
，
，
．
故答案为：．
所有棱长均为的正四棱锥中，是边长为的正方形，推导出的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出其数学期望．
本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，巧妙地把立体几何和概率有机地结合在一起，是一道难得的好题．
14.【答案】
【解析】解：函数有两个零点，，
，
，
，
，
为首项为，公比为的等比数列，
数列的前项的和为，
故答案为：．
计算，，代入计算得到，确定为首项为，公比为的等比数列，求和得到答案．
本题考查函数的零点的概念，根据数列的递推公式求通项公式，等比数列的定义与通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：焦点，设，则，，设 到准线 的距离等于，
则
令，，则 ，
当且仅当 时，等号成立．
故的最大值为，
故答案为．
设 到准线 的距离等于，由抛物线的定义可得，化简为，令，则，，利用基本不等式求得最大值．
本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把化为，是解题的关键和难点，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
直线的方程为
设
恒成立
恒成立
，在上小于等于恒成立
或时，恒成立．
时，
由基本不等式得：
此时
的最大值为
由、的坐标可以将直线的方程找到，通过点坐标可以得到的坐标，将其纵坐标做差可以得到关于的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值．
本题考查通过两点坐标求直线方程，去绝对值，以及由基本不等式确定的范围．
17.【答案】证明：底面是等腰直角三角形，且
，
平面，
，
，
平面．
解：以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
由得是平面的一个法向量，
，，
设平面的一个法向量，
则，
取，得，
设二面角的平面角为，
则，
由图形知二面角的大小是锐角，
二面角的大小为．
【解析】推导出，，由此能证明平面．
以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
18.【答案】解：函数，
由得：，
则的单调递增区间是；
由已知得：，
由得：，
，
则．
【解析】把函数的解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调区间，求出的范围，即为函数的单调递增区间；
根据平移规律“左加右减”，由的解析式得到向右平移个单位后的解析式，令，得到，根据正弦函数的图象与性质即可求出的值，即为方程的解．
此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，函数平移的规律，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
19.【答案】解；设，则，，
由题意得，
在中，由余弦定理得：．
解得．
．
由知，，．
．
．
【解析】设，则，，，利用余弦定理列方程解出；
利用的结论得出三角形的三边长，使用余弦定理求出，得到的大小．
本题考查了余弦定理，解三角形的实际应用，属于基础题．
20.【答案】解：联立，得，
直线与椭圆相交于、两点，，即或，
设，，则，，
，，
代入上式，解得．
证明：由图形得要证明，等价于证明直线与直线的倾斜角互补，
即等价于，
，
．
解：或，
．
令，则，，
，
当且仅当，即，取等号，
面积的最大值为．
【解析】联立，得，由此利用韦达定理、根的判别式、向量相等，结合已知条件能求出．
证明，等价于证明等价于，由此能证明．
令，利用基本不等式性质能求出面积的最大值．
本题考查直线的斜率的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、向量相等、基本不等式、弦长公式、椭圆性质的合理运用．
21.【答案】解：Ⅰ由已知，得，由得
将代入得，对任意，，有．
即．
是等差数列．分
Ⅱ设数列的公差为，
由，经计算，得．
．
．
，分
Ⅲ由得．
不等式化为．
即．
设，则对任意正整数恒成立．
当，即时，不满足条件；
当，即时，满足条件；
当，即时，的对称轴为，关于递减，
因此，只需解得，．
综上，分
【解析】Ⅰ通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到，利用等差数列的定义得证
Ⅱ利用等差数列的通项公式求出，求出，．
Ⅲ先通过裂项求和的方法求出，代入化简得到关于的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值，令最大值小于，求出的范围．
证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通过分离参数，构造新函数，转化为求新函数的最值．
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