卷子答案网-一个不只有答案的网站汽开三中2022-2023学年度下学期4月月考
高一数学试卷
注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知复数，，则（ ）
A．8i B．6 C． D．
2．将一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A．一个圆柱、一个圆锥 B．一个圆台、一个圆锥 C．两个圆锥 D．两个圆柱
3．已知向量，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
4．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（ ）
A． B． C． D．
5．设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（ ）
A． B． C．3 D．6
6．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则△ABC的面积是 D．△ABC是钝角三角形
7．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则△ABC的外接圆的直径为（ ）
A． B．5 C． D．
8．如图，点C是半径为1的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）
9．下列命题中正确的是（ ）
A．两个非零向量，，若，则与共线且反向
B．已知，且，则
C．若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是
D．若非零，满足，则与的夹角是30°
10．如图所示，四边形ABCD为梯形，其中，，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则（ ）
A．该圆锥的母线长为5 B．该圆锥的体积为12π
C．该圆锥的表面积为15π D．三棱锥S—ABC体积的最大值为12
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，且满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B．△ABC的面积为 C． D．△ABC为锐角三角形
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．复数的值是______．
14．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为______．
15．已知向量，的夹角是60°，且，，则______．
16．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点．
（1）若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的______；
（2）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知向量，．
（1）若与共线，求k的值；
（2）若与垂直求k的值．
18．（本小题12分）
复数．
（1）当时，求复数z的模；
（2）当实数m为何值时，复数z为纯虚数；
（3）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．
19．（本小题12分）
如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，．
（1）用向量和表示向量，；
（2）若，，求实数x和y的值．
20．（本小题12分）
如图，将棱长为2的正方体沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体．
（1）求该四面体的体积；
（2）求该四面体外接球的表面积．
21．（本小题12分）
如图，在△ABC中，，∠ABC的角平分线BD交AC于D，设，且．
（1）求值；
（2）若，求△ABC的周长．
22．（本小题12分）
为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中百米，百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设，．
（1）当时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．
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