卷子答案网-一个不只有答案的网站且末县第一中学2023-2024学年高二期中数学试卷（普高班）
考试时间120分钟 满分150分
一、选择题（每题5分，共40分）
1. 过点，的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C D.
3. 对于任意非零向量，，以下说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若（），则
C.
D. 若，则为单位向量
4. 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与
A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直
5. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 过圆心 B. 相切
C. 相离 D. 相交但不过圆心
6. 已知向量＝(－2，x，2)，＝(2，1，2)，＝(4，－2，1)，若，则x的值为（ ）
A. －2 B. 2 C. 3 D. －3
7. 如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A. （1，，4） B. （，1，）
C. （2，，1） D. （1，2，）
8. 已知直线l：x，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每题5分，共20分.全选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）
9. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. （多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值9
B. 的最小值是
C. ab有最大值
D. 的最小值是
12. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A. B. C. D. 1
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知空间直角坐标系中有点A(－2，1，3)，B(3，1，0)，则_______.
14. 若三点共线，则的值为__________．
15. 若两直线与平行，则实数a的值为______．
16. 已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的一般式方程为______.
四、解答题（共70分）
17. 已知向量，
（1）若，则实数m的值是多少？
（2）若，则实数m的值是多少？
18. 已知直线过直线和的交点P．
（1）若直线与直线平行，求直线的一般式方程．
（2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程．
19. 如图，已知直三棱柱中，，为中点，，求证： (1)；
(2)∥平面．
20. 已知圆：和：
（1）求证：圆和圆相交；
（2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
21. 已知圆的圆心在直线上，且过和两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相切，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
22. 如图，直四棱柱底面是菱形，，，，E，M，N分别是BC，，的中点.
（1）证明：平面平面；且末县第一中学2023-2024学年高二期中数学试卷（普高班）
考试时间120分钟 满分150分
一、选择题（每题5分，共40分）
1. 过点，的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线AB的斜率，再根据倾斜角的范围结合特殊角的三角函数值求解即得.
【详解】经过，两点的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，则，又，
所以.
故选：D
2. 以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.
【详解】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.
故选：B
3. 对于任意非零向量，，以下说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若（），则
C.
D. 若，则为单位向量
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；根据向量共线定理可判断B选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；求得，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，设（），其中实数，
所以，所以，故B正确；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.
故选：D.
4. 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与
A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率；可知斜率乘积为，从而得到垂直关系.
【详解】直线经过，两点 直线的斜率：
直线的倾斜角为 直线的斜率：
本题正确选项：
【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系.
5. 直线与圆位置关系是（ ）
A. 过圆心 B. 相切
C. 相离 D. 相交但不过圆心
【答案】D
【解析】
【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论.
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
因为，所以直线与圆相交但不过圆心，
故选：D
6. 已知向量＝(－2，x，2)，＝(2，1，2)，＝(4，－2，1)，若，则x的值为（ ）
A. －2 B. 2 C. 3 D. －3
【答案】A
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示计算．
【详解】由题意，
又，所以，．
故选：A．
7. 如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A. （1，，4） B. （，1，）
C. （2，，1） D. （1，2，）
【答案】B
【解析】
【分析】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．
【详解】解：设正方体的棱长为2，则，，
∴，
设向量是平面的法向量，
则取，得，
则是平面的一个法向量，
结合其他选项，只需和共线即可，
检验可知，ACD选项均不与共线.
所以能作为平面的法向量只有选项B
故选：B．
8. 已知直线l：x，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线方程可知，直线与x轴垂直，所以其倾斜角为.
【详解】根据题意，直线l：x，是与x轴垂直的直线，其倾斜角为．
故选：B．
【点睛】本题考查了求直线的倾斜角，属于基础题.
二、多选题（每题5分，共20分.全选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）
9. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据根指数的性质逐个选项化简即可.
【详解】对A，当时，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD
10. （多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项.
【详解】由图象可知，函数（且）上单调递增，则，
且当时，，可得.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.
故选：ABD.
11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值9
B. 最小值是
C. ab有最大值
D. 的最小值是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知等量关系，应用基本不等式及“1”的代换、二次函数性质求各式的最值，注意取值条件.
【详解】，当且仅当时等号成立，A对；
，当且仅当即时等号成立，B对；
，则，当且仅当即时等号成立，C错；
由，则，而，
所以，当且仅当时等号成立，D错.
故选：AB
12. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】AD
【解析】
【分析】根据定义列不等式，得到的解析式，然后画出函数图象，根据函数图象求出区间的长度即可.
【详解】令①，
当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，
当时，不等式可整理为，解得，故，
所以不等式①的解为；
由上可得，不等式的解为或，
所以，
令，解得，令，解得或，
令，解得或，令，解得或，
所以区间的最小长度为1，最大长度为.
故选：AD.
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知空间直角坐标系中有点A(－2，1，3)，B(3，1，0)，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量模的意义，由空间两点间距离公式计算.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题考查空间两点间距离公式，考查空间向量模的定义，属于基础题.
14. 若三点共线，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：依题意有，即，解得.
考点：三点共线．
15. 若两直线与平行，则实数a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行的充要条件，即可得到答案；
【详解】由题可知两直线的斜率存在，故，
由，则它们的斜率相等且纵截距不等，
∴，解得.
故答案为：.
16. 已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的一般式方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】先由及的范围求得，进而求得，即斜率，即可得到直线方程.
【详解】因为，，所以，
故，
又直线l经过点，故直线l的点斜式方程为.
即.
故答案为：.
四、解答题（共70分）
17. 已知向量，
（1）若，则实数m的值是多少？
（2）若，则实数m的值是多少？
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量平行的坐标表示求的值；
（2）根据空间向量垂直的坐标表示求的值.
【小问1详解】
，，若，
则，其中为实数，
即，解得；
则的值为6.
【小问2详解】
若，则，解得：.
18. 已知直线过直线和的交点P．
（1）若直线与直线平行，求直线的一般式方程．
（2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程．
【答案】（1）；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）由平行关系可设l的方程为：，将直线过的点的坐标代入方程可得m，可得直线的方程；
（2）由垂直关系可设l的方程为：，将直线过的点的坐标代入方程可得n，可得直线的方程.
【小问1详解】
由 解得交点为P（-1，2），
设直线方程为：，将P（-1，2）代入方程，得 ，
所以直线方程为 ．
【小问2详解】
设直线方程为：，将P（-1，2），代入方程，得 ，
所以直线方程为．
19. 如图，已知直三棱柱中，，为的中点，，求证： (1)；
(2)∥平面．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明线线垂直，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量共线证明线线平行，再根据线面平行判定定理得结果.
【详解】证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AC＝BC＝BB1＝2，
则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，
所以＝0－4＋4＝0，
因此⊥，故BC1⊥AB1.
(2)连接A1C，取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，
所以＝－，又ED和BC1不共线，
所以ED∥BC1，又DE 平面CA1D，
BC1 平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.
【点睛】本题考查利用空间直角坐标系证明线线垂直与线面平行，考查基本分析求证能力. 属于中档题.
20. 已知圆：和：
（1）求证：圆和圆相交；
（2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
【答案】（1）证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得；
（2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长．
【小问1详解】
标准方程是，，，
标准方程是，，，
，显然，
所以两圆相交．
【小问2详解】
两圆方程相减得，即为公共弦所在直线方程，
到直线的距离为，
所以公共弦长．
21. 已知圆的圆心在直线上，且过和两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相切，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据所给条件，利用待定系数法求圆的方程即可；
（2）直线的斜率不存在时圆与直线相交，不符合题意；直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出，再求直线的方程求出截距可得答案.
【小问1详解】
设圆心为，由题意可得，
解得，所以圆心为，原的半径为。
所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为，所以圆与直线相交，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
因为直线与圆相切，所以，
解得，此时直线方程为，
令得，令得，
所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为.
22. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是BC，，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求点C到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质结合平行的性质即可证明.
（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C到平面的距离，得到结果.
【小问1详解】
分别连接，
在菱形中， ，则，又因为，所以为正三角形，所以，
因为为中点， 所以，
∵棱柱为直棱柱， 平面平面，
且平面平面，DE在面ABCD内，
所以有平面，
，分别为， 中点， 为的中位线
，且．
又为中点， 且， 且，
， 四边形为平行四边形，
，所以平面，又因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知平面，因为平面，，
因为 ，，，底面为菱形，为中点，
所以，，
所以，
设点C到平面的距离为，
根据题意有，则有，
解得，
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