卷子答案网-一个不只有答案的网站第四章 概率与统计 练习
一、单选题
1．老师布置了两道数学题，学生做对第一题的概率是，做对第二题的概率是，两题都做对的概率是，现在抽查一个学生，该生在第一题做对的前提下，第二题做对的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．2
3．已知某药店只有，，三种不同品牌的口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是，，买B品牌口罩的概率分别为，，则甲、乙两人买相同品牌的口罩的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．某人进行射击训练,射击1次中靶的概率为.若射击直到中靶为止,则射击3次的概率为( )
A． B．
C． D．
5．某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．来晋江旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去五店市游览的概率均为，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去五店市游览的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某班有60名同学，一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则本班在100分以上的人数约为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
8．某商场经营的某种包装的大米质量ξ（单位：kg）服从正态分布N（10，σ2），根据检测结果可知P（9．9≤ζ≤10．1）＝0．96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9．9kg以下的职工数大约为
A．10 B．20 C．30 D．40
二、多选题
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．“”是“，”的充分不必要条件
C．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则
D．一组数据，，，的平均值为，则，，，的平均值为.
10．下列说法正确的有（ ）
A．若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B对立
B．若随机变量，则方差
C．若随机变量，，则
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和
11．不透明盒子中装有质地、大小完全相同的黄色、红色、白色小球各一个，现从中有放回地抽取三次，则下列事件概率小于的是（ ）
A．颜色相同 B．颜色不全相同 C．颜色全不相同 D．没有出现白球
12．下列说法正确的是（ ）
A．两个变量的相关系数，则两个变量正相关
B．两个变量的相关系数越大，它们的线性相关程度越强
C．若两个变量负相关，则其样本点集中在一条斜率为负的直线附近
D．相关系数的取值范围是
三、填空题
13．如图所示，A，B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝ .
14．已知一名射手每次射击中靶的概率为0.8，他射击了3次，则中靶次数的方差为 ．
15．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就．在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念．二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用．已知对于正整数a，，若存在一个整数x，使得n整除，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．从1到20这20个整数中机抽取一个整数a，记事件“a与12互质”，“a是12的二次非剩余”，则 ．
16．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算），有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是，，两人租车时间都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 .
四、解答题
17．2020年10月16日是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，研发了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表：
质量指标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100]
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95)的件数X的分布列及数学期望；
(3)若该产品的质量指标值m与每件产品的利润y(单位：元)的关系如下表(1
利润y(元) 6t 8t 4t 2t －et
试写出每件产品的平均利润的解析式．
18．受疫情影响，某校实行线上教学，为了监控学生的学习情况，每周进行一次线上测评，连续测评5周，得到均分数据见图.
优秀数 非优秀数 合计
某校 46 54 100
联谊校 56 44 100
合计 102 98 200
(1)请你根据数据利用相关系数判定均分与线上教学周数是否具有显著相关关系，若有，求出线性回归方程，若没有，请说明理由；
(2)为了对比研究，该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评，从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见上表，试依据的独立性检验，分析优秀学生数与线上学习是否有关联？
附：相关系数：
回归系数：
临界值表：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．为了调在居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下
分组 A小区频数 B小区频数
18-40岁人群 60 30
41-70岁人群 80 90
其他人群 30 50
假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．
(1)从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；
(2)从A、B小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)设事件为“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件为“从B小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件发生的概率与事件发生的概率的大小，并说明理由．
20．已脱贫的西部地区某贫困县，巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，利用当地自然条件，在山上发展果树种植，现已开始大量结果，为了普及果树种植技术，该县举办“果树种植技术知识竞赛”，竞赛规则如下：先进行预赛，预赛共进行四轮答题比赛，在每轮答题比赛中，选手可选易，中，难三类题中的一题，答对得分，答错不得分，四轮答题中，易，中，难三类题中的每一类题最多选两个，预赛的四轮答题比赛得分不低于10分的进入决赛，某选手A答对各题相互独立，答对每类题的概率及得分如下表：
容易题 中等题 难题
答对概率
答对得分 3 4 5
(1)若选手A前两轮都选择了中等难度题，且对了一题，错了一题，请你为选手A计划后两轮应该怎样选择答题，使得进入决赛的可能性更大，并说明理由；
(2)选手A四轮答题中，选择了一个容易题，两个中等难度题，一个难题，已知容易题答对，记选手A预赛四轮答题比赛得分总和为，求随机变量的分布列和数学期望．
21．某厂生产的某种零件的尺寸大致服从正态分布，且规定尺寸为次品，其余的为正品.生产线上的打包机自动把每5件零件打包成1箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利50元，每销售一件次品亏损100元.现从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析，作出的频率分布直方图如下：
(1)估计生产线生产的零件的平均尺寸；
(2)从生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润.
22．最近几年，新型冠状病毒肺炎席卷全球，在病毒爆发之初，我国迅速建立防疫机制，通过将与新冠肺炎确诊患者接触过的人员分为“密接”和“次密接”两类人群，并对两类人群分别加以不同程度的隔离措施，有效地预防了新冠肺炎病毒的传播.已知某确诊阳性患者确诊当天的“密接”人员有2人，“次密接”人员有3人，且每个“密接”人员被感染的概率为，每个“次密接"人员被感染的概率为
(1)求在这五人中，恰好有两人感染新冠肺炎的概率；
(2)设这五人中，感染新冠肺炎的人数为随机变量，求的数学期望.
参考答案：
1．D
【分析】根据条件概率公式求解.
【详解】设做对第一题为事件，做对第二题为事件，
由条件可知，，
；
故选：D.
2．A
【分析】先求得，然后求得，进而求得.
【详解】依题意，，
解得，所以，所以
.
故选：A
3．D
【分析】甲、乙两人买相同品牌的口罩，可分为三种情况，即甲、乙两人都买品牌或品牌或品牌的口罩，利用独立事件的概率公式，分别求出这三种情况对应的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可得结果．
【详解】由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率分别是、，
所以甲、乙两人买相同品牌的口罩的概率为．
故选：D．
4．C
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式运算求得结果
【详解】由题意得,射击3次说明前2次未中第3次击中,所以射击3次的概率为
故选:C
5．A
【分析】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可.
【详解】X的所有可能取值为1,2,3，
，，，
由，
解得或，
又因为，所以.
故选：A.
6．D
【分析】先求对立事件的概率，再根据对立事件概率公式得结果.
【详解】根据题意，设“三人中至多有两人选择去五店市游览”为事件A，则A的对立事件为“三人都选择去五店市游览”，又由甲、乙、丙三人选择去五店市游览的概率均为，且他们的选择互不影响，
则，则；
故选：D．
7．B
【分析】根据正态曲线的性质求出，即可估计人数；
【详解】解：因为，所以本班在100分以上的人数约为.
故选：B
8．B
【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N（10，σ2）．得到考试的成绩ξ关于ξ=10对称，根据P（9.9
≤ξ≤10.1）=0.96，得到P（ξ＜9.9）==0.023，根据频率乘以样本容量得到分发到的大
米质量在9.9kg以下的职工数．
【详解】∵考试的成绩ξ服从正态分布N（10，σ2）．
∴考试的成绩ξ关于ξ=10对称，
∵P（9.9≤ξ≤10.1）=0.96，
∴P（ξ＜9.9）==0.02，
∴公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为0.02×1000=20．
故答案为B．
【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ
关于ξ=10对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
9．ACD
【分析】根据正态分布的对称性、充分和必要条件、二项分布、平均数等知识确定正确答案.
【详解】A选项，随机变量服从正态分布，，
，
.
所以，故A正确；
B选项，，，
，，
是，的必要不充分条件，故B错误；
C选项，因为随机变量服从二项分布，，，
所以，，解得，故C正确；
D选项，若数据，，，的平均值为，
则，
故 D正确.
故选：ACD
10．CD
【分析】由互斥、对立事件关系判断A；利用二项分布方差公式及方差性质判断B；由正态分布的性质求概率判断C；根据题设有，即可得参数值判断D.
【详解】A：由于互斥事件不一定对立，但对立事件必互斥，故错误；
B：由二项分布方差公式得，故，错；
C：由正态分布的对称性知：，对；
D：由题意，模型改写为，则，故，对.
故选：CD
11．ACD
【分析】利用独立事件的概率公式、以及对立事件的概率公式计算出每个选项中事件的概率，可得出合适的选项.
【详解】由题意可知，从中任取一球，该球为黄色、红色、白色的概率均为.
对于A选项，从中有放回地抽取三次，则事件“颜色相同”的概率为，A满足条件；
对于B选项，从中有放回地抽取三次，事件“颜色不全相同”与事件“颜色相同”互为对立事件，
故事件“颜色不全相同”的概率为，B不满足条件；
对于C选项，若三球颜色均不相同，则三球的颜色可依次为：黄红白、黄白红、红黄白、红白黄、白黄红、白红黄，
所以，事件“颜色全不相同”的概率为，C满足条件；
对于D选项，事件“没有出现白球”意味着每次摸的都不是白球，
故事件“没有出现白球”的概率为，D满足条件.
故选：ACD.
12．AC
【分析】利用相关系数的定义与性质可判断各选项的正误.
【详解】两个变量的相关系数，则两个变量正相关，A对；
两个变量的相关系数的绝对值越大，它们的线性相关程度越强，B错；
若两个变量负相关，则其样本点集中在一条斜率为负的直线附近，C对；
相关系数的取值范围是，D错.
故选：AC.
13．
【详解】解法一(直接法)：由已知得，ξ的可能取值为7,8,9,10，
∵P(ξ＝7)＝，
P(ξ＝8)＝，
P(ξ＝9)＝，
P(ξ＝10)＝，
∴ξ的概率分布列为：
ξ 7 8 9 10
P
∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝．
解法二(间接法)：由已知得，ξ的可能取值为7,8,9,10，故P(ξ≥8)与P(ξ＝7)是对立事件，
所以P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝．
故答案为.
14．0.48/
【分析】利用二项分布的方差公式计算即可
【详解】由题意知射手射击3次，中靶次数满足二项分布，
所以中靶次数的方差为
故答案为：0.48
15．
【分析】根据互质的定义，确定事件，再在这些互质数内，根据二次剩余的定义，计算出12的二次非剩余数，结合条件概率的计算公式，即得.
【详解】在1到20中与12互质的有1,5,7,11,13,17,19，即；
由二次剩余的定义，假设a是12的二次非剩余，则整数的整数不存在，
当时，，当时，，
当时，不存在，
即，
由事件中有7种情况，事件有5种情况，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】首先求出两个人租车时间在三小时以上且不超过四小时的概率，则甲、乙两人所付的租车费用相同：都不超过两小时，都在两小时以上且不超过三小时和都在三小时以上且不超过四小时三类求解即可．
【详解】解:由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A.则.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
故答案为
【点睛】本题考查独立事件、互斥事件的概率，属于基础题．
17．(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图求得1件产品为废品的概率，结合对立事件的概率公式，即可求得所求事件的概率；
（2）根据频率分布直方图求得中各段的人数，得到随机变量的所有可能值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；
（2）由频率分布直方图得到该产品的质量指标值与利润（元）的关系，从而求得每件产品的利润关系式.
【详解】（1）解：则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为，
则从该产品中随机抽取3件产品，其中“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件的概率为.
（2）解：由频率分布直方图得，指标值大于或等于的产品中，
其中的概率为；
的概率为；
的概率为，
所以利用分层抽样抽取的件产品中，的有4件，的有2件，的产品有1件，
从这7件产品中，任取3件，质量指标值的件数的所有可能值为，
可得，
所以随机变量的分布列为
0 1 2
所以期望为.
（3）解：由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元）的关系与表所示（）
质量指标值
利润
所以每件产品的平均利润：.
18．(1)有，
(2)无关联.
【分析】（1）根据表格中的数据，结合相关系数、回归系数的公式，分别求得的值，即可求得回归直线方程；
（2）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论.
【详解】（1）解：根据表格中的数据，可得，
，
则均分与线上教学周数负相关很强，
，
则，
则线性回归方程为；
（2）解：零假设为：优秀数与线上学习相互独立，即优秀数与线上学习之间无关联，
，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，
因此可以认为成立，即认为优秀数与线上学习之间无关联.
19．(1)
(2)分布列见解析，期望值；
(3)，理由见解析；
【分析】（1）由频数分布表计算出样本中的频率，即可估计出其概率；
（2）分别估计出A、B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率，求出随机变量对应取值的概率，即可得出分布列和期望值；
（3）分别估计出A、B小区三个不同群体对垃圾分类比较了解的概率，根据题意由概率乘法公式分别计算可得，即可得出结论.
【详解】（1）根据频数分布表可知，
抽取的A小区300人样本中，有人对垃圾分类比较了解，
所以样本中对垃圾分类比较了解的概率为；
由样本估计总体的思想，用频率估计概率可知：
从A小区随机抽取一名居民，估计其对垃圾分类比较了解的概率为；
（2）根据频数分布表可知，A小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为；
易知随机变量的所有可能取值为；
易知，
；
；
所以的分布列如下：
0 1 2
期望值
（3），理由如下：
从三个年龄组随机抽取两组共有种，每一种组合出现的可能为；
易知A小区三个年龄组对垃圾分类比较了解的概率分别为，
所以可得，
同理，显然；
即.
20．(1)都选择容易题进行答题；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据给定条件，确定后两轮的选择方案，再利用相互独立事件的概率公式计算比较作答.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望作答.
【详解】（1）依题意，选手A前两轮都选择了中等难度题，两轮得分和为4，于是选手A后两轮的选择有3种方案，
方案一：都选择容易题，则必须都答正确，于是进入决赛的概率；
方案二：都选择难题，则必须都答正确，于是进入决赛的概率；
方案三：容易题、难题各选1道，则必须都答正确，于是进入决赛的概率，
显然，所以后两轮都选择容易题进行答题，进入决赛的可能性更大.
（2）依题意，的可能值为：，
则；；
；；
；，
所以的分布列为：
3 7 8 11 12 16
数学期望为.
21．(1)
(2)100元
【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数即可求解；
（2）次品的尺寸范围可得生产线生产的产品次品率，设生产线上的一箱零件（5件）中的正品数为，由可得期望，从而得到销售生产线上的一箱零件获利.
【详解】（1）生产线生产的产品平均尺寸为：
；
（2）次品的尺寸范围，即，
即，故生产线生产的产品次品率为：，
设生产线上的一箱零件（5件）中的正品数为，正品率为，
故
设销售生产线上的一箱零件获利为元，
则（元），
所以这箱零件销售后的期望利润为100元.
22．(1)
(2)
【分析】对于（1），分别求出“密接”人员感染两人的概率，“次密接”人员感染两人的概率，“密接”人员，“次密接”人员各感染一人概率，则恰好有两人感染新冠肺炎的概率为；
对于（2），可得感染人数可能为，分别算出概率，得分布列，求得期望即可.
【详解】（1）“密接”人员感染两人的概率，
“次密接”人员感染两人的概率，
“密接”人员，“次密接”人员各感染一人概率，则恰好有两人感染新冠肺炎的概率；
（2）对于（2），可得感染人数可能为.
则，
，，
，
，
.
得分布列如下：
0 1 2 3 4 5
则.
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