卷子答案网-一个不只有答案的网站泉州科技中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若 ， ，，且 三点共线，则 ( )
A．－2 B．5 C．10 D．12
2.三棱柱中，为棱中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．1 B． C．3 D．4
4.已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（ ）
A．3 B．9 C． D．
古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（ ）.
A． B． C． D．
6.△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ）
A．边BC与直线平行
B．边BC上的高所在的直线的方程为
C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，4)
7.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·福建泉州）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为2
C．若平面，的法向量分别为，，则
D．若存在实数使则点共面
10.以下四个命题表述错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有3个点到直线的距离都等于1
C．圆与圆恰有一条公切线，则
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
11.椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（ ）
A．2 B．12 C．10 D．8
12. 已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）
A．△AEF是正三角形
B．平面AEF⊥平面CGH
C．直线CG与平面AEF所成角的正切值为
D．当AB＝2时，多面体ABCD﹣EFGH的体积为
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.过点（2，－3）、斜率为的直线在y轴上的截距为______．
14. 已知直线，直线，若，则实数的值为______．
15.在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为______．
已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值 .
四．解答题（第17题10分，18－22各12分，合计60分）
已知曲线方程，．
(1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
(2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值．
18.已知圆和圆相交于两点．
（1）求公共弦的垂直平分线方程． 求的面积。
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，．
（1）求直线BC的方程；
（2）记的外接圆为圆M，若直线OC被圆M截得的弦长为4，求点C的坐标．
如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：
(1)BD1的长；
(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.
如图所示，在四棱锥中，，，，且
（1）求证：平面平面；
（2）已知点是线段上的动点（不与点 重合），若使二面角的大小为，试确定点的位置.
22．已知椭圆经过点，左焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值.
泉州科技中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷 答案
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若 ， ，，且 三点共线，则 ( )
A．－2 B．5 C．10 D．12
C【解】解：由题意，可知直线的斜率存在并且相等，即，解得 10.
2.三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】．
故选：B
3．若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】B【解析】由直线与直线平行，可得，解之得则直线与直线间的距离为，故选：B
4.已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（ ）
A．3 B．9 C． D．
【答案】C【解析】根据椭圆的定义有，①
根据余弦定理得，②
结合①②解得，所以的面积．故选:C
古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，
依题意有，，化简整理得，，
即，则圆的面积为．故选D．
6.△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ）
A．边BC与直线平行
B．边BC上的高所在的直线的方程为
C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，4)
【答案】B
【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BC，求出边中点坐标判断D．
【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错；
边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确；
过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错；
过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D错 ．故选：B．
7.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
①直线与半圆相切，根据，所以，结合图象可得；
②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.
综上可知：或.故选：D.
8．（2022·福建泉州）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，如图，若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则只需，即，，即，因为，解得：．
，即，而，，即．故选：A．
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为2
C．若平面，的法向量分别为，，则
D．若存在实数使则点共面
【答案】AD
【解析】对于A：因为直线的方向向量，直线的方向向量，
且，所以，所以与垂直.故A正确；
对于B：∵，∴又，
∴在方向上的投影，
∴P到l距离
对于C：因为平面，的法向量分别为，，
且，所以不垂直，所以不成立.故C不正确；
对于D：若不共线，则可以取为一组基底，
由平面向量基本定理可得存在实数使则点共面；
若共线，则存在实数使所以共线，
则点共面也成立.综上所述：点共面.故D正确.故选：AD
10.以下四个命题表述错误的是（ ）
A．圆上有3个点到直线的距离都等于1
B．直线恒过定点
C．圆与圆恰有一条公切线，则
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
【答案】BD
【解析】圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故A错误；
由，得，
联立，解得，直线恒过定点，故B正确；
两圆恰有一条公切线，则两圆内切，曲线化为标准式，圆心，半径为1，曲线化为标准式，圆心，半径为，∴圆心距为，解得，故C错误；
设点的坐标为，则，以为直径的圆的方程为，
两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，
令，，解得，，故直线经过定点，故D正确．故选：.
11.椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（ ）
A．2 B．12 C．10 D．8
【答案】ABC
【分析】根据已知，光线自出发，可以沿方向传播，也可以沿方向传播，也可以不沿轴传播.根据椭圆的光学性质，分别得出光线传播的路径，结合椭圆的定义，即可得出答案.
【详解】设椭圆左焦点为，右焦点为，左顶点为，右顶点为.
由已知可得，，，所以.
①当光线从出发，沿方向传播，到达后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，第一次经过，此时所经过的路程为，；
②当光线从出发，沿方向传播，到达后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，过点后，继续传播第一次经过，此时所经过的路程为，
③当光线从出发后，不沿轴传播，如图2
光线开始沿传播，到达点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，过点后，继续传播到达点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，第一次经过，此时所经过的路程为.
根据椭圆的定义可知，，，
所以，.故选：ABC.
12. 已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）
A．△AEF是正三角形
B．平面AEF⊥平面CGH
C．直线CG与平面AEF所成角的正切值为
D．当AB＝2时，多面体ABCD﹣EFGH的体积为
解：取CD，AB的中点O，M，连结OH，OM，在图1中，因为A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，则，因为O为CD的中点，所以OH⊥CD，因为平面CDH⊥平面ABCD，平面CDH∩平面ABCD＝CD，所以OH 平面CDH，所以OH⊥平面ABCD，
在图1中，设正方形EFGH的边长为，可得四边形ABCD的边长为2a，
在图1中，△ADE和△ABF均为等腰直角三角形，可得∠BAF＝∠DAE＝45°，
所以∠BAD＝90°，故四边形ABCD是边长为2a的正方形，
因为O，M分别为CD，AB的中点，则OC∥BM且OC＝BM，∠OCB＝90°，
所以四边形为矩形，所以OM⊥CD，
以O为坐标原点，OM，OC，OH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（2a，﹣a，0），B（2a，a，0），C（0，a，0），D（0，﹣a，0），
E（a，﹣a，a），F（2a，0，a），G（a，a，a），H（0，0，a），
对于选项A，由空间中两点间的距离公式可得AE＝AF＝EF＝，所以△AEF是正三角形，
故选项A正确；
对于选项B，，
设平面AEF的法向量为，则由，
取z＝1，则，，
设平面CGH的法向量为，则有，
取z1＝﹣1，则，所以，
所以平面AEF与平面CGH不垂直，故选项B错误；
对于选项C，＝，
设直线CG与平面AEF所成的角为θ，则，所以，
故，故选项C正确；
对于选项D，以ABCD为底面，以OH为高将几何体ABCD﹣EFGH补成长方体ABCD﹣A1B1C1D1，
则E，F，G，H分别为A1D1，A1B1，B1C1，C1D1的中点，
因为AB＝2，即a＝1，则OH＝1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V＝22×1＝4，
＝，
因此多面体ABCD﹣EFGH的体积为，
故选项D正确．故选：ACD．
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.过点（2，－3）、斜率为的直线在y轴上的截距为______．－2
14. 已知直线，直线，若，则实数的值为______．
【答案】或
【解析】因为，所以，解得或，故答案为：或
15.在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为______．
【答案】-2【解析】以D为原点，DA 为x轴，DC为y轴，DD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，点为底面上一点，设，有，，
，当时，的最小值为-2.
已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值 .
【答案】
【详解】如图：设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，连接交于，交轴于，
则此时的周长取最小值，且最小值为，与关于直线：对称，
，解得：，，易求得：，
的周长的最小值.故答案为：.
四．解答题（第17题10分，18－22各12分，合计60分）
已知曲线方程，．
(1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
(2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值．
【答案】(1) (2)或
【分析】（1）根据椭圆方程的性质建立关于k的不等式，解出即可；
（2）根据椭圆方程的类型，分类讨论确定，根据求解即可.
【详解】（1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，
即的取值范围为；
（2）若方程表示焦距为2的椭圆，则，所以
当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，且
又，得；
当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得
所以，又，得；
综上，或.
18.已知圆和圆相交于两点．
（1）求公共弦的垂直平分线方程． 求的面积。
解：由题可知：公共弦的垂直平分线为直线， ，
所求直线的方程为：；
又两圆方程相减得，即 ，此即为直线的方程，
到直线的距离，又圆的半径 ，
，．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，．
（1）求直线BC的方程；
（2）记的外接圆为圆M，若直线OC被圆M截得的弦长为4，求点C的坐标．
【答案】（1）； （2）.
【解析】【分析】(1)延长CB交x轴于点N，根据给定条件求出即可计算作答.
(2)利用待定系数法求出圆M的方程，再由给定弦长确定C点位置，推理计算得解.
【小问1详解】延长CB交x轴于点N，如图，因，则，又，则有，又，于是得，
则直线BC的倾斜角为120°，直线BC的斜率，因此，，即
所以直线BC的方程为.
【小问2详解】依题意，设圆M的方程为，
由(1)得：，解得，
于是得圆M的方程为，即，圆心，半径，
因直线OC被圆M所截的弦长为4，则直线OC过圆心，其方程为，
由解得，即，所以点C的坐标是.
如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：
(1)BD1的长；
(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.
解：（1）∵，
＝24，
∴的长为，
（2）∵，∴，
∴，∵，
，
∴＝，所以直线BD1与AC所成角的余弦值为．
如图所示，在四棱锥中，，，，且
（1）求证：平面平面；
（2）已知点是线段上的动点（不与点 重合），若使二面角的大小为，试确定点的位置.
【答案】（1）见解析；;（2）点在线段上满足
【解析】
（1）连接，由，
知，
在中，，
设的中点为，连接，则，
所以四边形为平行四边形，又，
所以四边形为正方形，所以，
在中，，
在中，，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）在中，，
所以，在中，过点作，垂足为，
因为，所以为中点，所以，
由（1）得平面，平面，
则，平面，，
则平面.以为原点，分别以所在直线为轴，
以过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间坐标系，
则，
设，则，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
即，即，解得（舍）或，
所以，当点在线段上满足时，使二面角的大小为.
22．已知椭圆经过点，左焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值.
解：（1）设椭圆的焦距为，则，
又因为椭圆经过点，所以，
又 ，，，所以椭圆的方程为.
（2）因为，所以四边形为平行四边形，
当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
与椭圆交于，两点，
由.由，
，
，
令，则（由上式知），
，当且仅当，即时取等号.
∴当时，平行四边形的面积最大值为2.
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