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2024华东师大版数学九年级下学期
第26章 二次函数
26.2 二次函数的图象与性质
26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
基础过关全练
知识点1 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象与性质
1.(2023甘肃天水清水期末)在平面直角坐标系中,如果把抛物线y=2x2向下平移3个单位得到一条新抛物线,那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是( )
A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.顶点的横坐标相同
D.顶点的纵坐标相同
2.(2023山西晋城陵川期末)在同一平面直角坐标系内,二次函数y=x2-m与一次函数y=-x+m的图象可能是( )
3.(2023甘肃天水麦积期末)抛物线y=-x2+1在y轴的右侧呈
趋势(填“上升”或者“下降”).
4.(2023山西长治上党模拟)一次函数y=kx+1的图象与二次函数y=ax2+3的图象交于A(1,2)和B两点,则B点坐标是 .
5.(2023河南驻马店驿城期末)已知二次函数y=ax2-2的图象经过点(-1,-1).
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象,并写出此函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况;
(2)当-1≤x≤2时,y的取值范围是多少
知识点2 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质
6.(2023湖南衡阳衡山期末)对于二次函数y=-(x-1)2的图象,下列说法不正确的是( )
A.开口向下
B.对称轴是直线x=1
C.顶点坐标为(1,0)
D.当x<1时,y随x的增大而减小
7.【一题多解】(2023河南南阳宛城期中)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为( )
8.(2023四川资阳雁江期中)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,4)关于抛物线y=a(x+2)2的对称轴对称的点的坐标是 .
9.根据如图所示的条件变换抛物线,输出变换后抛物线的表达式.若输入的抛物线表达式为y=-x2,则输出的抛物线的表达式为 .
10.(2023吉林长春东北师大附中月考)已知点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2(a≠0)上的一点,且点P在第一象限内.
(1)求抛物线的顶点坐标和m的值;
(2)当x为何值时,y随x的增大而减小
(3)过P点作PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2(a≠0)于点Q,若a=3,试求△PQO的面积.
知识点3 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
11.(2023四川成都青羊模拟)关于二次函数y=(x-2)2+3,下列说法正确的是( )
A.函数图象的开口向下
B.函数图象的顶点坐标是(-2,3)
C.当x>2时,y随x的增大而减小
D.该函数图象与y轴的交点坐标是(0,7)
12.(2023湖南永州道县模拟)对于二次函数y=-(x+2)2-1,图象的顶点坐标为 .
13.【易错题】(2023福建泉州培元中学月考)当x<1时,函数y=(x-m)2-2的函数值y随着x的增大而减小,则m的取值范围是 .
14.(2023山西临汾襄汾期中)已知抛物线y=-(x-1)2+3.
(1)请你直接写出该抛物线的顶点坐标和对称轴;
(2)判断点P(5,-8)是否在该抛物线上;
(3)请你在所给平面直角坐标系(如图)中画出该抛物线上满足0≤x≤3的一段.
知识点4 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
15.(2023辽宁阜新实验中学模拟)对于二次函数y=-x2+2x+1,下列叙述正确的是( )
A.当x>0时,y随x增大而减小
B.抛物线与直线y=x+2有两个交点
C.当x=2时,y有最小值3
D.与抛物线y=-x2形状相同
16.【新考法】(2023四川乐山市中月考)抛物线y=-x2+x+1经平移后,不可能得到的抛物线是( )
A.y=-x2+x
B.y=-x2-4
C.y=-x2+2 021x-2 022
D.y=-x2+x+1
17.(2023河南南阳宛城月考)已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为( )
18.【一题多解】(2023四川乐山实验中学月考)若A(-4,y1),B(-3,y2),C(3,y3)为二次函数y=x2+2x-6的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1
20.【分类讨论思想】(2023湖南衡阳成章实验中学期中)已知抛物线y=x2-x-经过A(-1,0),B(3,0)两点,点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q,P,A,B为顶点的四边形为平行四边形,求满足条件的所有的点P的坐标.
能力提升全练
21.(2023广西中考,9,★☆☆)将抛物线y=x2先向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是( )
A.y=(x-3)2+4 B.y=(x+3)2+4
C.y=(x-3)2-4 D.y=(x+3)2-4
22.(2023河南中考,9,★☆☆)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
23.(2023陕西中考,8,★☆☆)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左侧,则该二次函数有( )
A.最大值5 B.最大值
C.最小值5 D.最小值
24.(2023广东中山中考,10,★★☆)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为( )
A.-1 B.-2
C.-3 D.-4
25.(2023四川乐山中考,9,★★☆)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A
(-1,0),B(m,0),且1
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
26.(2023浙江绍兴中考,23,★★☆)已知二次函数y=-x2+bx+c.
(1)当b=4,c=3时.
①求该函数图象的顶点坐标;
②当-1≤x≤3时,求y的取值范围;
(2)当x≤0时,y的最大值为2,当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的表达式.
27.(2023山西晋城模拟,24,★★☆)如图,抛物线y=-(x+a)(x+a-5)与x轴的交点为B,A(B在A左侧),过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线y=于点P.
(1)当a=3时,求AB的长;
(2)当点M与抛物线的对称轴之间的距离为3时,求点P的坐标;
(3)在抛物线平移的过程中,当抛物线的对称轴落在直线x=-2和x=4之间时(不包括边界),求a的取值范围.
素养探究全练
28.【模型观念】若二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].
(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标;
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为[-4,5],将此函数图象先向左平移4个单位,再向下平移2个单位,求得到的图象对应的函数的特征数;
②特征数为[0,-1]的函数的图象与x轴的交点从左到右依次为A、B,现将此抛物线向右平移,平移后得到的新抛物线与x轴的交点从左到右依次为C、D,且BC=AD,求平移后得到的图象对应的函数的特征数.
答案全解全析
基础过关全练
1.D 把抛物线y=2x2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y=2x2-3,∴这两条抛物线的开口方向都向上,对称轴都为直线x=0,顶点的横坐标都为0,顶点的纵坐标一个为0,一个为-3.
2.C ∵抛物线中a=1>0,∴抛物线开口向上,故A不合题意;当x=1时,二次函数的值为1-m,一次函数的值为-1+m,互为相反数,故B和D不合题意,C符合题意.
3.下降
解析 ∵y=-x2+1中的a=-<0,∴抛物线开口向下,对称轴为y轴,
∴抛物线在y轴右侧呈下降趋势.
4.(-2,-1)
解析 将A(1,2)代入y=kx+1中得k+1=2,解得k=1,∴y=x+1,将A(1,2)代入y=ax2+3中得a+3=2,解得a=-1,∴y=-x2+3,联立得解得或∴B点坐标为(-2,-1).
5.解析 (1)将(-1,-1)代入y=ax2-2得a-2=-1,解得a=1,∴y=x2-2,画出函数y=x2-2的图象如下,此函数图象的开口向上,顶点坐标为(0,-2),对称轴为y轴,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大.
(2)根据图象分析可得,若-1≤x≤2,则当x=0时,y取得最小值,且最小值为-2,当x=2时,y取得最大值,且最大值为2,所以当-1≤x≤2时,y的取值范围是-2≤y≤2.
6.D ∵y=-(x-1)2,a=-1<0,∴该函数图象开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,0),当x<1时,y随x的增大而增大.故选D.
7.B (解法1:矛盾法)A.函数y=ax+c中,a>0,c>0,函数y=a(x+c)2中,a<0,c<0,矛盾,故错误;B.函数y=ax+c中,a<0,c>0,函数y=a(x+c)2中,a<0,c>0,故正确;C.函数y=ax+c中,a>0,c<0,函数y=a(x+c)2中,a>0,c>0,矛盾,故错误;D.函数y=ax+c中,a<0,c>0,函数y=a(x+c)2中,a>0,c<0,矛盾,故错误.
(解法2:排除法)当a>0时,二次函数图象开口向上,一次函数图象经过第一、三象限,排除选项D;当a<0时,二次函数图象开口向下,一次函数图象经过第二、四象限,排除选项A;当a>0,c>0时,二次函数图象的顶点在x轴负半轴上,一次函数图象经过第一、二、三象限,排除选项C.故选B.
8.(-5,4)
解析 ∵y=a(x+2)2的对称轴为直线x=-2,∴A(1,4)关于直线x=-2对称的点的坐标为(-5,4).
9.y=-(x+2)2
解析 ∵抛物线y=-x2开口向下,∴有最大值,∴将抛物线y=-x2向左平移2个单位,得到的新抛物线的表达式为y=-(x+2)2.
10.解析 (1)易得抛物线y=a(x-1)2(a≠0)的顶点坐标是(1,0),∵点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2(a≠0)上的一点,∴a=a(m-1)2,解得m=2或m=0.∵点P在第一象限内,∴m=2.
(2)∵点P(m,a)在第一象限内,∴a>0,∴抛物线y=a(x-1)2的开口向上.
∵抛物线y=a(x-1)2的对称轴为直线x=1,∴当x<1时,y随x的增大而减小.
(3)∵a=3,∴抛物线所对应的函数关系式为y=3(x-1)2,点P的坐标为(2,3).∵PQ∥x轴交抛物线y=3(x-1)2于点Q,∴点Q的纵坐标为3,由3=3(x-1)2,解得x=2或x=0,∴点Q的坐标为(0,3),∴PQ=2,∴S△PQO=×3×2=3.
11.D ∵二次函数y=(x-2)2+3中a=1>0,∴图象开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,3),当x>2时,y随x的增大而增大.令x=0,则y=(0-2)2+3=7,∴函数图象与y轴的交点坐标为(0,7),故A、B、C选项错误,D选项正确.
12.(-2,-1)
解析 ∵二次函数y=-(x+2)2-1,∴该函数图象的顶点坐标为(-2,-1).
13.m≥1
解析 在对称轴左侧,“函数值y随着x的增大而减小”都成立,∴m≥1,这里易遗漏等于1.∵函数y=(x-m)2-2中a=1>0,∴该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=m,∴当x
(2)因为当x=5时,y=-×(5-1)2+3=-9≠-8,所以点P(5,-8)不在抛物线y=
-(x-1)2+3上.
(3)经过,(1,3),(3,0)三点画抛物线上满足0≤x≤3的一段如图所示:
15.D ∵y=-x2+2x+1=-(x-2)2+3,∴函数图象开口向下,对称轴为直线x=2,∴当x>2时,y随x增大而减小,故A错误;联立两个函数的解析式可得-x2+2x+1=x+2,整理得x2-2x+2=0,∵Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴抛物线与直线y=x+2没有交点,故B错误;由对称轴可知,当x=2时,函数取得最大值,为3,故C错误;抛物线y=-x2+2x+1与抛物线y=-x2的a相同,∴两个函数的形状相同,故D正确.
16.D 本题虽考查的抛物线平移,但却未运用平移的规律解题,而是依据抛物线平移前后的图象特征以及排除法获得问题答案.∵将抛物线y=-x2+x+1经过平移后开口方向不变,开口大小也不变,∴抛物线y=
-x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y=-x2+x+1.
17.C ∵c>0,∴-c<0,故A,D选项不符合题意;当a>0时,∵b>0,∴对称轴x=-<0,故B选项不符合题意;当a<0时,∵b>0,∴对称轴x=->0,故C选项符合题意.
18.B (解法1:代入法)∵A(-4,y1),B(-3,y2),C(3,y3)为二次函数y=x2+2x-6的图象上的三点,∴y1=16-8-6=2,y2=9-6-6=-3,y3=9+6-6=9,∵-3<2<9,∴y2
解析 ∵A(2,5),B(4,5)横坐标不同,纵坐标相同,∴点A、B关于对称轴对称,∴对称轴为直线x=×(2+4)=3.
20.解析 分情况求解如下:
(1)当AB为平行四边形的边时,只要PQ∥AB,且PQ=AB=4即可.∵点Q在y轴上,∴点P的横坐标为4或-4,这时符合条件的点P有两个,设为P1,P2.当x=4时,y=;当x=-4时,y=,∴P1,P2.
(2)当AB为平行四边形的对角线时,只要线段PQ与线段AB互相平分即可.∵点Q在y轴上,∴点Q的横坐标为0.∵线段AB中点的横坐标为1,∴点P的横坐标为2,这时符合条件的点P只有一个,记为P3.当x=2时,y=-,∴P3.
综上所述,满足条件的点P的坐标为,,.
能力提升全练
21.A 根据“左加右减,上加下减”可知将抛物线y=x2先向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是y=(x-3)2+4.
22.D 由函数图象可得a<0,->0,∴b>0,∴y=x+b的图象经过第一,二,三象限,不经过第四象限.
23.D 由题意可得6=m2-m,解得m1=3,m2=-2,∵二次函数y=x2+mx+m2-m的图象的对称轴在y轴左侧,
∴-<0,∴m>0,∴m=3,∴y=x2+3x+6,∴二次函数有最小值,为==.
24.B 如图,过A作AH⊥x轴于H,∵四边形ABCO是正方形,∴∠AOB=45°,∴∠AOH=45°,∴AH=OH,设A(m,m),则B(0,2m),∴解得am=-1,m=,∴ac的值为-2.
25.B ∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴->0,∴b<0,故①正确;∵抛物线经过点A(-1,0),∴a-b+c=0,∴c=b-a,∵当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,∴4a+2b+b-a>0,∴3a+3b>0,∴a+b>0,故②正确;∵a-b+c=0,∴a+c=b,∵b<0,∴a+c<0,∴0
②∵y=-(x-2)2+7,∴函数图象的对称轴为直线x=2,∴当x=2时,y有最大值7,∵2-(-1)>3-2,∴当x=-1时,y有最小值,为-2,∴当-1≤x≤3时,-2≤y≤7.
(2)∵x≤0时,y的最大值为2,x>0时,y的最大值为3,∴抛物线的对称轴直线x=在y轴的右侧,∴b>0,∵抛物线开口向下,x≤0时,y的最大值为2,∴c=2,∵=3,∴b=±2,∵b>0,∴b=2.∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+2.
27.解析 (1)当a=3时,抛物线的解析式为y=-(x+3)(x+3-5)=
-(x+3)(x-2),令y=0,得-(x+3)(x-2)=0,解得x1=-3,x2=2,∵B在A左侧,
∴B(-3,0),A(2,0),∴AB=2-(-3)=5.
(2)y=-(x+a)(x+a-5)中,令y=0,得-(x+a)·(x+a-5)=0,解得x1=-a,x2=-a+5,∵B在A左侧,∴B(-a,0),A(5-a,0),∴抛物线的对称轴为直线x==-a,∵M是线段OA的中点,∴M,当点M与抛物线的对称轴之间的距离为3时,=3,即=3,解得a=6或a=-6,
∴点M的坐标为或,∵MP⊥x轴,交双曲线y=于点P,
∴点P的横坐标为-或,当xP=-时,yP==-4,当xP=时,yP==,
∴点P的坐标为或.
(3)由(2)知抛物线的对称轴为直线x=-a,当抛物线的对称轴落在直线x=2和x=4之间(不包括边界)时,2<-a<4,解得-
28.解析 (1)由题意可得,函数解析式为y=x2-2x+1=(x-1)2,∴图象的顶点坐标为(1,0).
(2)①由题意知,二次函数的解析式为y=x2-4x+5=(x-2)2+1,将此函数图象先向左平移4个单位,再向下平移2个单位,所得函数图象的解析式为y=(x+2)2-1,∴y=x2+4x+3,∴得到的图象对应的函数的特征数是[4,3].
②由题意知,二次函数的解析式为y=x2-1,∴A(-1,0),B(1,0),设此抛物线向右平移m个单位(m>0),则C(-1+m,0),D(1+m,0),∴|BC|=|1-(-1+m)|=|2-m|,|AD|=1+m-(-1)=2+m.
∵BC=AD,∴|2-m|=(2+m),∴m=1或4,∴y=(x-1)2-1=x2-2x或y=(x-4)2-1=x2-8x+15,∴平移后得到的图象对应的函数的特征数为[-2,0]或
[-8,15].
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