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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一 二章占40%，第三章占60%.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线经过两点，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.双曲线的实轴长比虚轴长短（ ）
A.4 B.2 C.10 D.20
4.若为抛物线上一点，且到焦点的距离为9，则到轴的距离为（ ）
A.7 B.10 C.8 D.9
5.圆与圆的位置关系是（ ）
A.相交 B.外离 C.内含 D.外切
6.抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（ ）
A.15 B.3 C.3或15 D.5或12
8.在三棱柱中，分别为棱的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若方程表示椭圆，则实数的取值可能是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
10.下列命题中，正确的是（ ）
A.直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则
B.向量，则在上的投影向量为
C.向量共面
D.平面的一个法向量为为内的一点，则点到平面的距离为2
11.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
12.在正四棱柱中，为的中点，为上的动点，则（ ）
A.三棱锥的体积为
B.直线所成角的余弦值为
C.的最小值为
D.当四点共面时，
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.椭圆的短半轴长为__________.
14.双曲线的离心率为__________.
15.圆关于直线对称的圆的标准方程为__________.
16.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为__________；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点；
（2）长轴长是焦距的3倍，且经过点.
18.（12分）
已知抛物线的焦点为是上的点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点在抛物线上，，求.
19.（12分）
已知直线经过点，且与直线垂直.
（1）求直线的一般式方程；
（2）已知圆与轴相切，直线被圆截得的弦长为4，圆心在直线上，求圆的标准方程.
20.（12分）
如图，在正三棱柱中，分别为的中点，.
（1）证明：平面.
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
21.（12分）
已知椭圆的一个顶点为，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线交椭圆于两点，且的中点为，求直线的方程.
22.（12分）
已知双曲线的离心率为，虚轴长为2.
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
高二数学考试参考答案
1.D 由，得的斜率为，所以的倾斜角为.
2.B 因为，所以椭圆的离心率为.
3.A 因为，所以实轴长比虚轴长短4.
4.C 根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以到轴的距离为.
5.C 因为圆的圆心为，圆的圆心为，所以两圆的圆心距为.因为圆的半径为，圆的半径为3，所以，故两圆内含.
6.B 抛物线的标准方程为，所以其准线方程为.
7.A 设的左 右焦点分别为，则.因为，所以，所以点在左支上，所以，故.
8.C 因为，
所以.
因为，
所以
9.ABD 方程表示椭圆的充要条件是所以且.
10.BCD 对于A，因为直线的方向向量与平面的法向量不平行，即直线与平面不垂直，所以错误；
对于在上的投影向量为，，所以B正确；
对于，因为，所以共面，故C正确；
对于，因为，所以点到平面的距离，所以正确.
11.ACD 当直线的截距为0时，直线的方程为，即.
当直线的截距不为0时，设直线的方程为，则解得或
若则直线的方程为，即
若则直线的方程为，即.
12.AC 如图，建立空间直角坐标系，则，
.设，则.
易证平面，所以，所以A正确.
因为，所以，
所以直线所成角的余弦值为，故错误.
因为，
所以.
当时，，所以正确.
连接，设平面的法向量为，
令，得.
因为四点共面，所以到平面的距离，
所以，所以，
所以，所以.
因为，所以不垂直，故D错误.
13. 因为，所以短半轴长为.
14. 因为，所以离心率.
15. 圆的圆心为，半径为5.设点关于的对称点为
，则解得故所求圆的标准方程为.
如图，以拱顶为原点，建立直角坐标系.
设抛物线方程为，由题意可知抛物线过点，
得，得6.4，所以抛物线方程为，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为.当水面下降时，，则，得，所以水面的宽度为.
17.解：（1）因为椭圆经过，
所以椭圆的焦点在轴上，且，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，焦距为.
因为长轴长是焦距的3倍，所以.
因为经过点，所以.
因为，所以，故椭圆的标准方程为.
当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，焦距为.
因为长轴长是焦距的3倍，所以.
因为经过点，所以.
因为，所以，故椭圆的标准方程为.
18.解：（1）因为，
所以，
故抛物线的方程为.
（2）由（1）知.因为，所以.
因为，所以.
因为抛物线的通径长，
所以轴，所以.
19.解：（1）依题意可设直线的方程为，
将点的坐标代入，得，
所以直线的一般式方程为.
（2）设圆的方程为.
因为圆与轴相切，所以，
所以圆心到的距离.
又圆心在直线上，所以，
所以，解得.
当时，，圆的标准方程为；
当时，，圆的标准方程为.
20.（1）证明：因为分别为的中点，所以.
在正三棱柱中，，
所以.
又平面平面，所以平面.
（2）解：取的中点，连接.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
则取，则
易知是平面的一个法向量，
所以.
故平面与平面夹角的余弦值为.
21.解：（1）因为椭圆的一个顶点为，所以.
因为离心率，所以.
因为，所以椭圆的方程为.
（2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则
两式相减得，整理得.
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，即.
22.（1）解：因为双曲线的虚轴长为2，所以.
因为，且，
所以，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，的方程为，
此时.
当直线的斜率存在时，不妨设直线，且.
联立方程组得.
由，得.
联立方程组得.
不妨设与的交点为，则.
同理可求，所以.
因为原点到直线的距离，所以.
因为，所以，故的面积是定值，且定值为3.
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