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第十二章全等三角形解答题专项特训-数学八年级上册人教版
1．如图，在四边形ABCD中，ABCD，BC⊥CD，垂足为点C，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．
(1)写出图中的一对全等三角形 ；
(2)若AB＝4，BC＝5，CD＝6．求的面积．
2．如图所示，太阳光线AC和是平行的，同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长，那么建筑物是否一样高？说明理由．
3．为进一步丰富社区居民的文化生活，某社区开展露天观影活动．该社区计划为居民配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为．请根据以上信息求出的长度，并说明你的理由．
4．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
(1)求∠APC的度数；
(2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长．
5．如图，AD//BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F．
(1)若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；
(2)请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系．
6．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小．
7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是64cm2，AB＝20cm，AC＝12cm，求DE的长．
8．如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3．试说明AB与DE的大小关系．
9．如图，在和中，，，，在同一直线上，且，．
(1)请你添加一个条件：_________，使；（只添一个即可）
(2)根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由．
10．在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接．
(1)如图1，当点在边上时，
①若时，则____________°；
②若时，则____________°；
③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由．
(2)当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由．
11．如图，已知中，，点D与点E都在射线AP上，且，．
(1)说明的理由；
(2)说明的理由．
12．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，，垂足分别为E、F．
(1)试说明：BE＝BF；
(2)若△ABC的面积为75，AB＝15，DE＝6,则BC等于多少
13．如图，是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与全等的格点三角形．
(1)在图①中所画三角形与有一条公共边；
(2)在图②中所画三角形与有一个公共角；
(3)在图③中所画三角形与△有且只有一个公共顶点．
14．如图1，，，，，连接、，交于点．
(1)写出和的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接，若、分别平分和，求的度数；
(3)如图3，连接、，设的面积为，的面积为，探究与的数量关系，并说明理由．
15．如图①，在△ABC中，AB=12cm，BC=20cm，过点C作射线CD∥AB，点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．
(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s；
(2)当△ABM与△MCN全等时，
①若点M、N的移动速度相同，求t的值；
②若点M、N的移动速度不同，求a的值；
(3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
16．如图，在△ABC和△BDE中，，为锐角，，，连接AE、CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1)△ABE与△CBD全等吗？为什么？
(2)AE与CD有何特殊的位置关系，并说明理由．
17．如图，已知ABCD，OA=OD，AE=DF． 试说明：EBCF．
18．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为BC上一点， BF⊥AD于点E，交AC于点F，连接DF．
(1)如图①，当AD平分∠BAC时，
① AB与AF相等吗？为什么？
②判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，当点D为BC的中点时，试说明：∠FDC＝∠ADB．
19．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．若CD＝3，则求CE的长．
20．在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．
(1)如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：
①AC与BD的数量关系为 ；
②∠AMB的度数为 ．
(2)如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数．
参考答案：
1．(1)；
(2)25．
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求出答案；
（2）根据全等三角形的性质可得：，进一步可求出，再利用三角形面积公式求出．
【详解】（1）解：∵ABCD，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
在和中，
∴，
故答案为：，
（2）解：∵，
∴，
∵BC＝5，CD＝6，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形面积公式，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．
2．一样高，理由见解析
【分析】证明∠ABC＝∠，∠ACB＝∠，结合BC＝，推出△ABC≌△，得到AB＝．
【详解】建筑物一样高．理由如下 ：
∵AB⊥BC，⊥，
∴∠ABC＝∠＝90°，
∵AC∥，
∴∠ACB＝∠，
又∵BC＝
∴△ABC≌△
∴AB＝．
即建筑物一样高．
【点睛】本题主要考查了全等三角形，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
3．30cm
【分析】证明，即可求解．
【详解】解：∵点是，的中点，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
4．(1)120°
(2)8
【分析】（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案；
（2）由题中条件可得△APE≌△APF，进而得出∠APE＝∠APF，通过角之间的转化可得出△CPF≌△CPD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＋∠BCA＝120°，
∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠PAC＋∠PCA（∠BAC＋∠BCA）＝60°，
∴∠APC＝120°；
（2）解：在AC上截取AF＝AE，连接PF，如图所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，AF=AE，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
在△CPF和△CPD中，
，
∴△CPF≌△CPD（ASA）
∴CF＝CD，
∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD＝4＋4＝8．
【点睛】本题主要考查了利用角平分线求角度和全等三角形的判定及性质，根据在AC上截取AF＝AE得出△APE≌△APF是解题关键．
5．(1)∠ADE＝27°
(2)BF+EF＝DE，理由见解析
【分析】（1）证明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度数；
（2）由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，则可得结论BF+EF＝DE．
【详解】（1）∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠AED＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝AD，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴∠ABF＝∠DAE=63 ，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°；
（2）BF+EF＝DE理由如下：
∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，DE＝AF，
∴DE＝AF＝AE+EF＝BF+EF．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
6．
【分析】首先根据题意证明，然后根据全等三角形对应角相等即可求出的大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴在和中，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了三角形全等的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质和判定方法．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
7．4cm
【分析】先根据角平分线的性质得到DE=DF，利用三角形面积公式得到×20×DE+ ×12×DF=64，即10DE+6DE=64，从而得到DE．
【详解】解： ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴×20×DE+×12×DF=64．
即10DE+6DE=64，
∴DE=4（cm）．
答：DE的长为4cm．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式，熟练掌握运用角平分线的性质是解题关键．
8．AB=DE，证明见解析
【分析】由已知条件易证得∠B= ∠D，∠BCA =∠DCE，利用AAS可证得△ABC≌△EDC，从而可得AB= ED．
【详解】∵∠1=∠2，∠AFD=∠BFC，
∴∠B=∠D，
又∵∠2=∠3，
∴∠2+∠ACD=∠3+∠ACD，
即∠BCA=∠DCE，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC (AAS)，
∴AB=ED．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是证得∠B=∠D，∠BCA=∠DCE．
9．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可求解．
（2）结合（1）的条件，利用ASA即可求证．
【详解】（1）解：添加使，
故答案为：．
（2）∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键．
10．(1)①140；②100；③，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）证，推出，代入求出即可求出即可；
（2）由已知条件可得证出，，推出，根据三角形外角性质即可得证．
【详解】（1）①∵，
∴，即．
在和中，
∴．
∴，
∴，
∴，
当时，．
故答案为：140．
②由①可得：，
当时，．
故答案为：100．
③．
方法一：
∵，
∴，即．
在和中，，
∴，
∴，
∴．
方法二：
∵，
∴，即．
在和中，
∴，
∴．
∵，∴，
∴，∴，
∴．
即．
（2）．
∵，
∴，即．
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，即可解决问题；
（2）设和交于点，根据，可得，然后根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和即可解决问题．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，设和交于点，
，
，
，
，
∴∠BEF=90°，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、外角的性质，解题的关键是能证明出．
12．(1)证明见解析
(2)10
【分析】（1）根据AAS证明△BDE≌△BDF即可解决问题．
（2）利用，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴∠DBE＝∠DBF，∠BED＝∠BFD＝90°，
在△BDE和△BDF中，
，
∴△BDE≌△BDF（AAS），
∴BE＝BF．
（2）∵△BDE≌△BDF，
∴DE＝DF，
又DE＝6，
∴DE＝DF＝6，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
∴75＝×15×6+，
∴BC＝10．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是得到，属于中考常考题型．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（2）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（3）根据题意以及网格的特点画出图形即可．
【详解】（1）如图①所示，△ABD即为所求；
（2）如图②所示，△DEC即为所求；
（3）如图③所示，△AED即为所求，
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．(1)，理由见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）设交于点，根据已知条件证明，可得，，进而根据三角形内角和可得，即可求解；
（2）根据（1）的结论结合已知条件证明，可得，进而根据即可求解；
（3）过点，分别作的垂线，交的延长线于点，，可得，进而根据三角形面积公式求得，根据等底等高可得．
【详解】（1），理由如下，
如图，设交于点，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
又，
，
，
（2）、分别平分和，
，，
，
,
，
在与中，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点，分别作的垂线，交的延长线于点，
，
，
，
又，
，
，
的面积为，的面积为，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
15．(1)
(2)①；②
(3)或
【分析】（1）根据时间等于路程除以速度即可求解；
（2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．
②当CN=AB，CM=BM时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论．
（3）分两种情形分别求解即可解决问题①若点M、N的移动速度不同，则CM=BM，②若点M、N的移动速度相同，则BM=CN，BP=CM．
【详解】（1）点M的运动时间（秒），
故答案为：
（2）①∵点M、N的移动速度相同，
∴CN=BM，
∵CD∥AB，
∴∠NCM=∠B，
∴当CM=AB时，△ABM与△MCN全等，
则有12=20-3t，解得t=．
②∵点M、N的移动速度不同，
∴BM≠CN，
∴当CN=AB，CM=BM时，两个三角形全等，
∴运动时间t=，
∴a=．
（3）若点M、N的移动速度不同，则CM=BM时，两个三角形有可能全等，由（2）②可知此时t=
若点M、N的移动速度相同，则BM=CN，BP=CM，
∴20-3t=12-2t或20-3t=2t-12，
解得t=8（舍）或
综上所述，满足条件的t的值为或
【点睛】本题考查了动点问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
16．(1)全等，见解析
(2)AE与CD互相垂直，见解析
【分析】(1)利用“SAS”可判断△ABE≌△CBD；
(2)利用△ABE≌△CBD得到∠BAE=∠BCD，再根据三角形内角和得到∠NMC=∠ABN=90°，即可判断AE⊥CD
【详解】（1）解：△ABE与△CBD全等；
理由如下：
，
，即，
在和△CBD中，
；
（2）解：AE与CD互相垂直；
理由如下：
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉以上定理是解题的关键．
17．见解析
【分析】先由平行的性质得出，再证明，可得，继而证明，根据全等三角形的性质及平行先的判定证明即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．(1)①，理由见解析；②，理由见解析；
(2)见解析
【分析】（1）①证明，即可推出；
②根据垂直平分可得，进而证明，可得，即可求解．
（2）过点作，交的延长线于点，证明,可得，进而证明，得出，根据同角的余角相等，可得，等量代换可得∠FDC＝∠ADB．
【详解】（1）①，理由如下，
AD平分∠BAC，
，
BF⊥AD，
，
又，
，
；
②，理由如下，
，
，
又，
，
在与中
，
，
，
，
即；
（2）过点作，交的延长线于点，如图，
，
，，
，
，
又，
，
，
点D为BC的中点，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
∠FDC＝∠ADB．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19．3
【分析】证明Rt△BDC和Rt△AEC全等即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°．
在Rt△BDC与Rt△AEC中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）；
∴CE=CD＝3．
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定及性质的运用，解题的关键是证明三角形全等．
20．(1)①AC＝BD，②40°；
(2)①AC＝BD，理由见解析；②90°
【分析】（1）①由∠AOB＝∠COD可得∠BOD＝∠AOC，再由△ODB≌△OCA即可得AC＝BD；②由△ODB≌△OCA可得∠OBD＝∠OAC，于是∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC，再由三角形内角和定理即可解答；
（2）①由∠AOB＝∠COD可得∠BOD＝∠AOC，再由△ODB≌△OCA即可得BD＝AC；②由△ODB≌△OCA可得∠OBD＝∠OAC，于是∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC，再由三角形内角和定理即可解答.
【详解】（1）解：①∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△ODB和△OCA中：OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，
∴△ODB≌△OCA（SAS），
∴AC＝BD，
故答案是：AC＝BD，
②∵△ODB≌△OCA，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝140°，
又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，
∴∠MAB+∠ABM＝140°，
∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+∠ABM＝180°，
∴∠AMB＝40°，
故答案是：40°；
（2）解：①∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△ODB和△OCA中：OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，
∴△ODB≌△OCA（SAS），
∴AC＝BD；
②∵△ODB≌△OCA，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝90°，
∴∠MAB+∠ABM＝90°，
∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+∠ABM＝180°，
∴∠AMB＝90°．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形内角和定理；熟练掌握全等三角形判定和性质是解题关键．
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