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第二十二章二次函数解答题专项特训-数学九年级上册人教版
1．已知函数是二次函数，求m的值．
2．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点在该函数图象上，求点B的坐标．
3．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
(1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
(2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．
4．已知二次函数．
(1)将该二次函数化成的形式；
(2)指出该二次函数的图像的顶点坐标；
(3)当时，直接写出y的取值范围．
5．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
6．如图，在矩形中，，E，F，G，H四点依次是边上一点（不与各顶点重合），且，记四边形面积为S（图中阴影），.
(1)求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围.
(2)求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值.
7．如图，在中，，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
8．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的关系式；
(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；
(3)在MB上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
9．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度增加多少？
10．如图，已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当0
11．已知函数y＝|x2﹣4|的大致图像如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）
(1)若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 _____．
(2)若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，点，点P在该抛物线上，其横坐标为m，
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P到抛物线对称轴的距离小于1时，直接写出点P的纵坐标的取值范围；
(3)当时，把抛物线沿轴向上平移得到抛物线，平移的距离为，在平移过程中，抛物线与直线BP始终有交点，求h的最大值；
(4)若抛物线在点P左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求m的值．
13．某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱.设每箱水果降价元.
(1)当时，每箱利润___________元，平均每天可售出___________箱水果；
(2)设每天销售该水果的总利润为元.
①求与之间的函数解析式；
②试判断能否达到8200元，如果能达到，求出此时的值；如果不能达到，求出的最大值.
14．如图，交易会上主办方利用足够长的一段围墙，用围栏围成一个长方形的空地，中间用围栏分割出2个小长方形展厅，并且在与墙平行的一边上各开了一扇宽为1.5m的门，总共用去围栏36m．
(1)若长方形展厅的面积为，求边的长为多少米？
(2)当边的长为多少米时，长方形展厅的面积最大？
15．如图所示，抛物线的顶点坐标（1，4）,与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当=-5时，求自变量x的值为______；
(3)当0
16．将抛物线先向下平移5个单位长度，再向左平移a（a＞0）个单位长度，所得到的新抛物线经过点（1，3）．
(1)求新抛物线的表达式；
(2)求新抛物线关于y轴对称的图象所对应的函数表达式．
17．二次函数的图象经过点A（1，-1），B（2，5），
(1)求函数的表达式．
(2)若点C（-2，m），D（n ，7）也在函数的图象上，求点C的坐标；点D的坐标．
18．已知是关于的二次函数（是实数）．小明说该二次函数图像的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？
19．已知抛物线（）经过点（，0）．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点A（，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），求出点P纵坐标的取值范围．
20．如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，那么我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线．
(1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①抛物线与抛物线是“互为关联”的抛物线．（ ）
②与抛物线是“互为关联”的抛物线有且只有一条．（ ）
③若两条抛物线是“互为关联”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数．（ ）
(2)已知抛物线：，抛物线与是“互为关联”的抛物线，且抛物线与关于点中心对称，求抛物线的解析式；
(3)已知抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，若抛物线与是“互为关联”的抛物线，且，求线段的长．
参考答案：
1．
【分析】根据形如函数是二次函数，可得答案．
【详解】解：由题意：，
解得，
∴时，函数 是二次函数．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
2．(1)；
(2)（， 2）或（， 2）
【分析】（1）设顶点式，然后把已知点的坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式；
（2）把代入得关于m的方程，然后解关于m的方程得到B点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把 代入得 ，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）把代入得，
解得，
∴B点坐标为（， 2）或（， 2）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
3．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用顶点式代入顶点坐标，进而得出答案；
（2）利用一般式代入，进而计算得出答案．
【详解】（1）解：∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），
∴设二次函数的解析式为：，
把（0,﹣6）代入得：
，
解得：a＝2，
故二次函数的解析式为：；
（2）解：设二次函数的解析式为，把A（﹣1,0）、B（0,3），对称轴为直线x＝1代入得：
，
解得：，
故二次函数解析式为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法并根据条件设出合适的二次函数表达式是解本题的关键．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用配方法化成顶点式；
（2）由顶点式直接写出顶点坐标；
（3）结合抛物线的开口方向、增减性求y的取值范围．
【详解】（1）
=．
（2）因为,
所以抛物线的顶点坐标为．
（3）∵，
∴抛物线开口向下，
∵顶点为，
∴对称轴为直线．
∴时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y取最大值5，
∵，
且当时，；当时，，
∴当时，．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、顶点坐标、增减性，通过开口方向和对称轴判断二次函数在时的增减性是解题的关键．
5．(1)
(2)利润W与销售单价x之间的关系式是，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；
【分析】（1）利用待定系数法可以求得一次函数的表达式；
（2）根据题意可以得到利润W与销售单价x之间的关系式，并求得销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元；
【详解】（1）解：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
，
解得，k＝﹣1，b＝120，
即一次函数的表达式为；
（2）解：由题意可得，
，
∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，
，得，
∴当x＝87时，W取得最大值，此时，
答：利润W与销售单价x之间的关系式是，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和不等式的性质解答．
6．(1)S关于x的函数表达式为，自变量的取值范围是；
(2)当时，S的值最大，S的最大值为．
【分析】（1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到S与x的函数关系，并写出x的取值范围．
（2）通过对函数关系式配方，化为顶点式，求出函数的对称轴，对称轴在自变量的取值范围内，在对称轴处取得最值．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，，
∴（SAS），（SAS），
∴
．
∴S关于x的函数表达式为，自变量的取值范围是；
（2）∵，，抛物线开口向下，
∴当时，．
∴当时，S的值最大，S的最大值为．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键．
7．的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化，
【分析】根据题意表示出的长进而得出的面积S随出发时间t（s）的函数关系式．
【详解】的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化，
∵在中，，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，
∴，
∴的面积S随出发时间t（s）的解析式为：．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据已知得出的长是解题关键．
8．(1)
(2)存在最大值，最大值为
(3)或
【分析】（1）将、代入，列方程组求出、的值即可；
（2）先求所在直线的解析式，用含的代数式表示点的坐标及的面积，求出关于的函数关系式，用函数的性质判断并求出的最值；
（3）存在符合条件的点，分三种情况根据点的位置或勾股定理列方程求出的值及点的坐标．
【详解】（1）解：把、代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：有最大值．理由如下：
如图1，设直线的解析式为，
，
∴该抛物线的顶点坐标为，
把、代入，得，
解得，
∴，
，
∴；
由，
得；
∵当点与点重合时，不存在以、、为顶点的三角形，
∴，
∴不存在最小值；
，
∴当时，，
∴的最大值为．
（3）解：存在，理由如下：
若，如图2，则轴，
∴，且在直线上，
∴，
解得，
∴；
若，如图3，则，
∴，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）；
∴，；
若，则，
∴，
整理，得，
解得，
此时不存在以，，为顶点的三角形，
∴舍去．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质、勾股定理、用待定系数法求函数解析式、二次根式的化简等知识，解第（3）题时应分类讨论并进行必要的检验，求出所有符合条件的点的坐标．
9．水面下降1m,水面宽度增加（）m．
【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点（2，-2）代入求出解析式可解．
【详解】解：如图，建立直角坐标，
可设这条抛物线为，
把点（2，-2）代入，得
，
∴，
当y=-3时，．
∴水面下降1m,水面宽度增加（）m．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
10．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值，
（2）根据图象即可求出y的取值范围，
（3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB=4，由S△PAB=10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标．
【详解】（1）解：将点A（﹣1，0），B（3，0）两点代入y＝+bx+c
解得，
抛物线的解析式为：，
；
（2），物线的对称轴为，开口向下，y的最大值为4，
如图，
0＜x＜3时，；
（3）设P（x，y），
△PAB的高为|y|，
A（﹣1，0），B（3，0），
，
，
解得，
当时，
，
此时方程无解，
当时，
，
解得，
或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．(1)4；
(2)m＞4或m＝0．
【分析】（1）方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有3个交点，由此即可解决问题．
（2）方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有2个交点，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有3个交点，
因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），
观察图像可知，两个函数图像有3个交点时，m＝4．
故答案为：4．
（2）解：方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有2个交点，
因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），
观察图像可知，两个函数图像有2个交点时，m＞4或m＝0．
故答案为：m＞4或m＝0．
【点睛】此题考查二次函数与方程的综合题．将方程转化为求二次函数图像与直线的交点问题，利用数形结合、分类讨论的思想方法是解此题的关键．
12．(1)
(2)
(3)
(4)3或
【分析】（1）将点，点代入得二元一次方程组，求解该二元一次方程组即可得解；
（2）先求得抛物线的对称轴为x=2，顶点为(2， 1)，根据点即可求得点的纵坐标的取值范围；
（3）先求出点P的坐标为（3，0），再利用待定系数法求得直线BP的解析式，将直线BP与平移后的二次函数联立得一元二次方程，利用根的判别式即可求解；
（4）分类讨论求解m的值，当时，抛物线顶点为最低点，当时，点为最低点，将代入中得，从而构造方程求解即可．
【详解】（1）解：将（1，0），（0，3）代入得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为x=2，顶点为(2， 1)，
∵，
∴当点P到抛物线对称轴的距离小于1时，点的纵坐标的取值范围是；
（3）解：∵，点在上，
∴，∴点P的坐标为（3，0）．
设直线BP的函数解析式为．
将（0，3）（3，0）代入得，
，
解得，，
∴．
设抛物线的解析式为，
令，整理得．
∵抛物线与直线始终有交点，
∴，∴，
∴的最大值为；
（4）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
当时，抛物线顶点为最低点，
∴，解得；
当时，点为最低点，将代入中得，
∴，
解得（舍），．
综上所述，的值为3或．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求解一次函数，二次函数与一次函数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
13．(1)50，160
(2)①，②不能，8100元
【分析】（1）利用每箱利润＝60﹣每箱降低的价格及平均每天的销售量＝120+20，即可求出结论；
（2）①设每箱应降价x元，则每箱利润为（60﹣x）元，平均每天可售出（4x+120）箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润＝每箱的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的函数解析式，②利用二次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60﹣10＝50（元），平均每天可售出120+20160（箱）．
故答案为：50；160．
（2）①设每箱应降价x元，则每箱利润为（60﹣x）元，平均每天可售出120+20（4x+120）箱，依题意得： w与x之间的函数解析式为
；
②w不能达到8200元；
.
∵-4<0，
∴当时，w取到最大值，，
∴w不能达到8200元，w的最大值是8100元.
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出一函数关系式是解题的关键．
14．(1)3或10米
(2)当时，所围成的长方形展厅的面积最大
【分析】（1）设的长为x米，则米，根据长方形展厅的面积为，可列出一元二次方程，解出方程即可；
（2）根据题意设的长为x米，长方形展厅的面积，化为顶点式，可知，即当时，所围成的长方形展厅的面积最大．
【详解】（1）解：设的长为x米，则米，根据题意得：
解得，
答：的长为3或10米．
（2）解：设的长为x米，则米，长方形展厅的面积为S，
由题意可得，
∴对称轴为，
∴当时，所围成的长方形展厅的面积最大．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用和二次函数的性质，根据题意列出方程核函数表达式是解答本题的关键．
15．(1)
(2)4或
(3)
(4)或
【分析】（1）根据抛物线交轴于点，顶点坐标为，可以求得该抛物线的解析式，从而可以求得点的坐标，然后即可求得直线的函数解析式；
（2）把函数值为5代入解析式求得的值便可；
（3）根据函数图象写出答案便可；
（4）根据函数图象求出结果便可．
【详解】（1）解：抛物线交轴于点，顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
，
解得，
该抛物线解析式为，
即该抛物线解析式为；
（2）当时，，
解得或，
故答案为：4或；
（3）由函数图象可知，当时，，
故答案为：；
（4）由函数图象知，当时，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据平移规律和待定系数法确定函数关系式；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：将抛物线先向下平移5个单位长度，再向左平移a（a＞0）个单位长度，所得到的新抛物线的解析式为，
∵新抛物线经过点（1，3），
∴，
解得：或-3（舍去），
∴新抛物线的表达式为；
（2）解：∵所求抛物线与新抛物线关于y轴对称，且新抛物线的对称轴为直线，
∴所求抛物线的对称轴为直线，
∴所求抛物线解析式为．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，掌握平移的性质是解本题的关键．
17．(1)二次函数解析式为；
(2)C（-2，5）；D（，7）或（，7）
【分析】（1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）将C与D坐标代入二次函数解析式求出m与n的值，确定出C与D坐标即可．
【详解】（1）将A（1，-1），B（2，5）代入得：
，
解得：，
则二次函数解析式为；
（2）将x=-2，y=m代入二次函数解析式得：y=m=5，即C（﹣2，5）；
将x=n，y=7代入二次函数解析式得：，即n=±，
即D（，7）或（，7）
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18．小明说法正确，理由见解析
【分析】确定函数的顶点坐标，消去字母m即可．
【详解】解：小明说法正确；理由如下：
因为
所以顶点是，
所以
所以，
∴顶点在直线上．
故小明说法正确．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，消元法解方程组，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
19．(1)，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）将点（-2，0）代入求解；
（2）分别求出点A、B坐标，根据图像开口方向及顶点坐标求解．
【详解】（1）解：把（-2，0）代入，
可得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴抛物线顶点坐标为；
（2）把代入，
可得，
∴，
把代入函数解析式得，
解得或，
∴或，
∵n为正数，
∴，
∴点A坐标为，点B坐标为，
∵抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴抛物线顶点在下方，
∴，．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式．
20．(1)√，×，√
(2)或
(3)
【分析】（1）根据“互为关联”的抛物线进行一一判断进行解答即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，再根抛物线与关于点中心对称可得顶点坐标为，再根据抛物线与是“互为关联”的抛物线得出在上，从而可得，解出m的值即可得出结果；
（3）由抛物线与是“互为关联”的抛物线可得，即，从而可得，，再由可得出，即可得，再根据当时和当两种情况讨论即可．
【详解】（1）①抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线，顶点坐标是（1，-1），
当将x=0代入得y=0，将x=1代入得y=-1，
所以抛物线的顶点在图像上，抛物线的顶点在图像上，
故答案为：√；
②与抛物线是“互为关联”的抛物线有无数条，比如、都与抛物线是“互为关联”的抛物线，
故答案为：×；
③∵设顶点不同的两条抛物线与关联，
∴有
①+②得，
∴m≠p,
∴，
∴解析式中的二次项系数一定是互为相反数．
故答案为：√；
（2）抛物线的顶点
抛物线与关于点中心对称
顶点
抛物线与是“互为关联”的抛物线
在上
解得：，
当时，的顶点，
当时，的顶点，
（3），
抛物线与是“互为关联”的抛物线
，即
，
，即
当时，（舍）
当，即时，，
，
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，解决本题的关键是要注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
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