卷子答案网-一个不只有答案的网站牡丹江市重点中学2022-2023学年高一下学期5月期中考试
数 学 试 题
一、单项选择题(本大题共有8个小题，每小题5分，共40分)
1.设向量则( )
A. B. C. D. 的夹角为
2.如图,Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是( )
A. B.1
C. D.2
3.已知两个不同平面，两条不同直线，下列命题中假命题是 ( )
A.若则 B.若则
C.若则 D.若则
4.已知复数z满足 , 则复数z对应的点的轨迹是( )
A.圆 B.线段 C.点 D.直线
5.如右图，在直三棱柱 中,为的中点, ,则异面直线与所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
6.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如右图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为( )
A. B.
C. D.
7.圣·索菲亚教堂(英语:SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省,是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高,在它们之间的地面上的点 (三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A. B.
C. D.
8.在棱长为的正方体中,分别为棱的中点,为线段上的动点，则直线与平面的交点Q的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共有4个小题，每小题5分，共20分)
9.已知，则下列四种位置关系中，成立的是( )
A. B. C. D.
10.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A.复数对应的点位于第二象限 B.为纯虚数
C.复数的模长等于 D. 的共轭复数为
11.正方体的棱长为分别为的中点.则( )
A.直线与直线AF垂直
B.直线A G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
12.如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为若且是外一点,则下列说法正确的是( )
A.是等边三角形
B.若AC=,则A,B,C,D四点共圆
C.四边形ABCD面积最大值为
D.四边形ABCD面积最小值为
三.填空题(本大题共有4个小题，每小题5分，共20分)
13.已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的体积为____________.
14.在中,点是边的中点,点在上,且是的重心,则用向量表示为____________.
15.在平行四边形中,,若点满足则__________.
16.在锐角中,角所对的边分别为则为_________;若边的中点为,则的取值范围是____________.
四、解答题(本大题共有6个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在复数集C中解下列方程：
(1)
(2)
18.(12分)如图,在平行四边形中,分别为上的点,且
(1)求的值；
(2)求.
19.(12分)如图:已知三棱柱 中，为边上一点，
20.(12分)在锐角中,角的对边分别为,若
(1)求角的大小和边长的值；
(2)求面积的最大值.
21.(12分)如图,在直三棱柱中,为棱的中点,
(1)求证:
(2)求证:;
(3)在棱上是否存在点，使得平面平面 如果存在,求此时的值；如果不存在，请说明理由.
22.(12分)十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察.滑动横档使得在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点的影子恰好是.然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角(称为太阳高度角)，最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.
(1)在某次测量中，，横档的长度为，求太阳高度角的正弦值.
(2)在杆上有两点满足.当横档的中点位于时，记太阳高度角为其中都是锐角.证明
数学答案
1.D 2.D 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C
9.ABC 10.ABC 11.CD 12.ABC
13. 14. 15.36 16.
17.
18. （1）
（2），
19. 连接与交于点，连接，
∵平面，平面，平面平面，
∴，又为中点，∴为中点，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，∴．
又平面，平面，∴平面．
又平面,，平面
所以平面平面．
20.(1) (2)
21. （1）连接与，两线交于点，连接，
在中，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因为底面，平面，所以.又为棱的中点，，所以.
因为，，平面，所以平面，平面，所以.
因为，所以.又，
在和中，，
所以，即，
所以，又，，平面，所以平面.
（3）当点为的中点，即时，平面平面.
证明如下：设的中点为，连接，，
因为，分别为，的中点，所以且，又为的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，故，
由（2）知：平面，所以平面，又平面，
所以平面平面.
22. （1）由题意，.由于E是的中点，且，
所以，
且.由余弦定理得
从而 即太阳高度角的正弦值为.
（2）由题意，，
因为，都是锐角，则， 所以，从而.
根据，可知
因为函数在单调递增，且， 所以 ，即.
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