卷子答案网-一个不只有答案的网站
专题12 等差数列
一、单选题
1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（ ）
A．2033 B．2123 C．123 D．0
【答案】D
【分析】根据是等差数列，先求出公差，然后由等差数列的通项公式即可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，
故选：D.
2．（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．
【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，解得．
故选：C.
3．（2023·北京海淀·统考二模）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】设公差为，根据等差数列的通项公式求出，即可得到的通项公式，再令，即可求出的最大值.
【详解】设公差为，因为，，
所以，解得，
所以，令，解得，
所以当或时取得最大值，且.
故选：B
4．（2023·湖北武汉·统考二模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．55 B．49 C．43 D．37
【答案】A
【分析】由条件写出通项公式，即可求解.
【详解】正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1，那么
，有.
故选：A
5．（2023·安徽合肥·二模）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式求出和，再利用等差数列前项和公式求出.
【详解】解：因为是等差数列，设公差为，
因为，，
所以，则，
因为的前项和为，所以，
故选：.
6．（2023·四川泸州·统考三模）记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知求得公差，得等差数列前项和，结合二次函数知识得最小值．
【详解】设公差为，
则，，
，
所以时，取得最小值．
故选：A．
7．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列的前项和为．若，则（ ）
A．16 B．25 C．29 D．32
【答案】B
【分析】由递推关系化简，结合等差数列定义证明数列为等差数列，再由求和公式计算.
【详解】由可得，
即，
故数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，
故选：B
8．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等差中项求解即可.
【详解】因为数列是等差数列，
所以，即，
所以，
故选：A
9．（2023·湖南邵阳·统考三模）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．130 B．132 C．134 D．141
【答案】B
【分析】利用等差数列求和公式及素数的定义即可求解.
【详解】由题可知，2到20的全部整数和为，
2到20的全部素数和为，
所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为.
故选：B.
10．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）党的二十大报告提出了要全面推进乡村振兴，其中人才振兴是乡村振兴的关键．如图反映了某县2017-2022这六年间引入高科技人才数量的占比情况．已知2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量逐年成递增的等差数列，且这四年引入高科技人才的数量占六年引入高科技人才的数量和的一半，2018年与2019年引入人才的数量相同，2019、2021、2022这三年引入高科技人才的数量成公比为2的等比数列，则2022年引入高科技人才的数量占比为（ ）．
A．30％ B．35％ C．40％ D．45％
【答案】C
【分析】由题可设2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量占比为m，，，，结合条件可得，进而即得.
【详解】由题可设2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量占比为m，，，，
则2019年引入高科技人才的数量占比为，2022年引入高科技人才的数量占比为，
依题意有，且，
解得，
所以2022年引入高科技人才的数量占比为．
故选：C.
11．（2023·江西赣州·统考二模）等差数列满足，，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质运算求解.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，解得，
所以.
故选：B.
12．（2023·河南·校联考三模）已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件求出的通项公式，再运用裂项相消法求和.
【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以…①，
又，即 ， ，代入①，解得，，
则，
所以
；
故选：A.
13．（2023·浙江台州·统考二模）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，，
因为成等比数列，所以，即，
因为，所以，
所以.
故选：A
14．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据等差数列的中项公式和等差数列的求和公式，准确运算，即可求解.
【详解】由等差数列性质和的求和公式，可得，所以.
故选：A.
15．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值 ② ③， ④为的最小值
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，即可得，，从而确定，即可逐项判断得答案.
【详解】等差数列中，，则，故②正确；
又，所以，故，则，故③正确；
于是可得等差数列满足，其为递增数列，则，又，所以为的最小值，故①正确，④不正确；
则四个命题正确个数为.
故选：C.
16．（2023·浙江温州·统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．是等差数列 D．是等比数列
【答案】C
【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论.
【详解】因为数列各项为正数，满足，，
故对任意的，，则，
所以，数列的每一项都是正数，
所以，，可得，
由等差中项法可知，数列是等差数列，
故选：C.
17．（2023·全国·校联考三模）已知等差数列中，，，则数列的前2022项的和为（ ）
A．1010 B．1011 C．2021 D．2022
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，由与联立可得关于的方程组，求解可得根据等差数列的通项公式可得，再由分组求和法即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
则由,得，
化简得,解得
所以.
设数列的前n项和为，
当时，；
当时，.
所以
.
故选:D.
18．（2023·上海奉贤·统考二模）设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列,有下列3个命题:
①若对任意的正整数均有,则为和谐数列;
②若等差数列是和谐数列,则一定存在最小值;
③若的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有( )个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先得出的等价条件,然后再进行判断,对于③可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可.
【详解】对于①,，
若,则,所以①正确;
对于②,设等差数列的公差为，
则,所以，
即为公差为的等差数列,
若为和谐数列,即,则，
所以关于的二次函数,开口向上，
所以在上一定存在最小值,所以②正确;
对于③,取,
则,
,
下面证明,即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列,
即证,
即证,
即证,
当,上式左边为负数,显然成立,
当,时,即证,即证，（*）
设,
所以,即（*）式成立,所以③正确.
故选：D
19．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时 B．13小时 C．17小时 D．19小时
【答案】B
【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比数列模型，则利用数列的通项公式求解即可.
【详解】解：检测第n次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为a，
则数列是首项为a，公比为的等比数列，所以，
令，即，解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为，
故选：B.
20．（2023·广东湛江·统考二模）一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔.已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是（ ）
A．第3层的塔数为3
B．第4层与第5层的塔数相等
C．第6层的塔数为9
D．等差数列的公差为2
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，分，和三种情况讨论，结合等差数列的前项和公式分析得的值，从而得12层的塔数，判断每个选项即可得答案.
【详解】设等差数列的公差为，
若，则这10层的塔数之和为，
则最多有座塔，不符合题意；
若，则这10层的塔数之和不少于，不符合题意；
所以，这10层的塔数之和为，
塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
依题意剩下2层的塔数为3与5，
所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，
因此A，B，D正确，C错误．
故选：C.
21．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4046 D．4048
【答案】B
【分析】根据成等比数列列方程，得到，再计算即可.
【详解】设数列的公差为d，且，
若成等比数列，则，又 ，
所以，化简，，
又，所以，
所以.
故选：B.
22．（2023·上海长宁·统考二模）设各项均为实数的等差数列和的前n项和分别为和，对于方程①，②，③．下列判断正确的是（ ）
A．若①有实根，②有实根，则③有实根
B．若①有实根，②无实根，则③有实根
C．若①无实根，②有实根，则③无实根
D．若①无实根，②无实根，则③无实根
【答案】B
【分析】若①有实根，得到，设方程与方程的判别式分别为和，得到，结合举反例可以判断选项AB；通过举反例可以判断选项CD.
【详解】若①有实根，由题意得：，
其中，，
代入上式得，
设方程与方程的判别式分别为和，
则等号成立的条件是．
又，
如果②有实根，则，则或者，所以③有实根或者没有实根，如 满足，，但是，所以③没有实根，所以选项A错误；
如果②没实根，则，则，所以③有实根，所以选项B正确；
若①无实根，则，②有实根，则,
设，所以，，
此时，则③有实根，所以选项C错误；
若①无实根，则，②无实根，则,
设，所以，，
此时，则③有实根，所以选项D错误.
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是排除法的灵活运用，要证明一个命题是假命题，证明比较困难，只需举一个反例即可.
23．（2023·上海黄浦·统考二模）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题
【答案】C
【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答.
【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，
当时，，
函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，
存在，使得，取不小于的正整数，则有，
即，不符合题意，综上得①为假命题；
等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即，
，于是，
依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是，
因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题，
判断正确的是①为假命题，②为真命题.
故选：C
【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.
24．（2023·上海闵行·统考二模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ）
A．存在等差数列，使得是的“M数列”
B．存在等比数列，使得是的“M数列”
C．存在等差数列，使得是的“M数列”
D．存在等比数列，使得是的“M数列”
【答案】C
【分析】对于A：取，分析判断；对于B、D：取，分析判断；对于C：根据题意结合等差数列的性质分析判断.
【详解】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，故A为真命题；
对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，故B为真命题；
对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，
设等差数列的公差为，
∵、均为严格增数列，则，故，
取满足，可知必存在，使得成立，
当时，对任意正整数，则有；
对任意正整数，则有；
故不存在正整数，使得，故C为假命题；
对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，故D为真命题；
故选：C.
【点睛】关键点睛：在说明选项C时，只需说明，故取即可.
二、多选题
25．（2023·山西阳泉·统考三模）设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据数列为正项等差数列，且，利用等差数列的性质求得，再利用项与项，前n项和与通项的关系逐项判断.
【详解】解：因为数列为正项等差数列，
所以，
所以，
因为数列为正项等差数列，
所以，
所以，，
，
故选：ABD
26．（2023·广东汕头·统考二模）已知数列为为等差数列，，，前项和为.数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列是递减数列
C．数列是等差数列
D．数列中任意三项不能构成等比数列
【答案】ACD
【分析】求得数列的通项公式判断选项A；求得数列单调性判断选项B；利用等差数列定义判断选项C；利用反证法证明选项D正确.
【详解】数列为为等差数列，，，则其公差，
则，则选项A判断正确；
则数列前项和，
则，
由，
可得数列是等差数列且是递增数列.
则选项B判断错误；选项C判断正确；
假设为等差数列中三项，且构成等比数列，
则，即，
整理得，
由，可得，这与矛盾.则不成立；
又由为整数，为无理数，
可得不成立.则假设不成立.
即数列中任意三项不能构成等比数列.判断正确.
故选：ACD
27．（2023·海南·统考模拟预测）已知数列满足，且，等差数列的前n项和为，且，，若恒成立，则实数λ的值可以为（ ）
A．－36 B．－54 C．－81 D．－108
【答案】CD
【分析】由变形为，得出为等比数列并求出通项，再根据累加法求出；根据等差数列的通项公式及前n项和公式求出，再求解的最小值得出结果.
【详解】由，得，
由，得，即，
又，所以为等比数列，公比.
所以.
由累加法得
，
当时，相符，
所以.
已知等差数列的前n项和为，
则，且，
解得，则.
已知恒成立，又，
则，设
因为当时，
因为当时，，
又，，，，
故的最小值为，
所以，
故选：CD.
28．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）．
A．
B．
C．当或6时，取得最大值为30
D．数列与数列共有671项互为相反数
【答案】ABC
【分析】根据给定的等差数列，求出通项公式判断A；利用性质计算判断B；由单调性结合正负数项计算判断C；求出两个数列的互为相反数的项数
判断D作答.
【详解】数列为等差数列，前n项和为，，公差，
则有，A正确；
因为，所以，B正确；
因为，即数列为递减等差数列，且当时，，
因此数列的前5项均为正，第6项为0，从第7项起为负，
所以当或6时，取得最大值，C正确；
令数列的第n项与数列的第m项互为相反数，即，
于是，而，则为偶数，令，有，
因此数列与数列成互为相反数的项构成等差数列，且，
显然，即，又，则，
所以数列与数列共有670项互为相反数，D错误.
故选：ABC
29．（2023·山东淄博·统考二模）已知数列的前项和是，满足对成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B．一定是递减数列
C．数列是等差数列 D．
【答案】AC
【分析】根据给定的递推公式，结合“”探讨数列的性质，再逐项判断作答.
【详解】由得：，当时，，则，
整理得，显然，则，因此数列是等差数列，首项为1，公差为1，C正确；
，解得，A正确；
，当时，，当时，，满足上式，
因此，此时，，，是递减数列，
当时，，当时，，满足上式，
因此，此时，，，是递增数列，B错误；
当时，，，
当时，，，D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.
三、填空题
30．（2023·广东·统考模拟预测）若数列满足且，其中为数列的前n项和．请写出一个满足上述条件的数列通项______．
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据题意，分析可得数列为各项为负的递增的数列，结合数列的函数特性分析可得答案.
【详解】根据题意，数列满足，则有，
又由数列满足，故数列为各项为负的递增数列，
其通项公式可以为：，
故答案为：(答案不唯一)
31．（2023·浙江·统考二模）已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是______.
【答案】
【分析】将已知数列分组，将各组数据之和即为数列，由等差数列求和公式可求得，由此可得求得数列的前项和为，结合，可确定，由此可推导得到，，由此可得结果.
【详解】将已知数列分组，每组的第一项均为，即第一组：；第二组：；第三组：；依此类推；
将各组数据之和记为数列，则，
记数列的前项和为，则；
，；
对应中项数为项，即，
，，
则使得成立的最小正整数.
故答案为：.
32．（2023·广东广州·统考二模）在数列中，，，若，则正整数____________．
【答案】10
【分析】根据题意，令，判断数列是等差数列，从而求得通项公式，进而代入求解即可．
【详解】由，，令，则，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即，
又为正整数，所以，即，解得或（舍去）．
故答案为：10．
33．（2023·江苏·统考三模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，a1＋a5＝3a2，则_____．
【答案】/
【分析】由，得到与的关系，再利用等差数列的前n项和公式和通项公式求解.
【详解】解：，
∴，
∴，
．
故答案为：
34．（2023·广东潮州·统考二模）将数列中的项排成下表：
，
，，，
，，，，，，，
…
已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为______.
【答案】1344
【分析】根据所满足的条件，求出数列，由在表中的位置，得，所以每行等差数列公差，即可求第6行所有项的和．
【详解】解：∵(且)，
∴，即，
∴数列的通项公式为，（且），
观察表中各行规律可知，第n行的最后一项是数列的第项，
，∴在表中第8行第3列，
∵，且，∴公差；
∴第6行共有32个元素，则第6行所有项的和为
故答案为：1344．
【点睛】思路点睛：由的前项和满足，构造法求数列的通项公式，观察数列的规律，找到在表中的位置，结合的通项公式可求得表中每一行的公差，继而可求第6行所有项的和．
四、解答题
35．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知数列满足，，其中.
(1)设，求证：数列是等差数列.
(2)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据递推公式计算为一个常数，即可得证；
（2）由（1）可得，即可表示出，再计算，依题意可得恒成立，即恒成立，分为奇数、偶数两种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【详解】（1）证明：因为且，
所以
，
又，所以，
∴数列是首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）可得，
存在，理由如下：，，
则，
若对任意的，都有，则等价于恒成立，
即恒成立，
因为，当n为偶数时，，则，
当n为奇数时，时，则，
综上，存在，使得对任意的，都有.
36．（2023·湖北武汉·统考二模）记数列的前n项和为，对任意，有．
(1)证明：是等差数列；
(2)若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用数列，结合等差数列的定义，即可证明；
（2）由条件转化为，再转化为关于首项的不等式，即可求解.
【详解】（1）因为①，则②
①－②可得
，
故为等差数列．
（2）若当且仅当时，取得最大值，
则有,得则，，
故的取值范围为．
37．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若（1）中数列满足，，令，记，证明
【答案】(1)证明详见解析
(2)证明详见解析
【分析】（1）利用以及等差数列的定义证得结论成立.
（2）先求得，利用裂项求和法求得，进而证得.
【详解】（1）依题意，，
当时，；
当时，由得，
两式相减并化简得，
则，两式相减得，
即，由于，
所以，
所以数列是等差数列；
（2）设等差数列的公差为，依题意，，
所以，解得，所以.
，
所以
.
38．（2023·广东深圳·统考二模）已知数列满足，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1) 由 得,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式；
(2) 假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，应用反证法得出矛盾证明即可.
【详解】（1）由 ，得
以上两式相比，得,
由，得,
所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，,
数列是首项为6，公比为4的等比数列，,
综上，数列的通项公式为 .
（2）假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，则 .
由（1）得，即,两边同时除以，得(*)
(*）式左边为奇数，右边为偶数
(*）等式不成立，假设不成立.
所以，数列中得任意三项均不能构成等差数列．
39．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记为数列的前n项和．
(1)从下面三个条件中选一个，证明：数列是等差数列；
①；②数列是等差数列；③数列是等比数列．
(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）选择条件①③，由等差中项的性质证明数列是等差数列；选择条件②，由等差数列的定义证明数列是等差数列；
（2）由（1）求出，由裂项相消法求即可.
【详解】（1）选择条件①：因为，
所以，，
两式相减可得，
即，
所以，
两式相减可得，
化简可得，
所以，所以数列是等差数列．
选择条件②：设数列的首项为，公差为p，
则，故．
当时，
，
当时，，所以，
又当时，．
所以数列是等差数列．
选择条件③：因为数列是等比数列，所以，
即，所以．
所以数列是等差数列．
（2）因为数列是等差数列，且公差，
所以．
所以．
故
．
40．（2023·湖北·模拟预测）已知等比数列的公比为2，数列满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）先计算出，从而得到的通项公式，再得到，即是等差数列，从而求出的通项公式；
（2）利用错位相减法求和得到，再判断出是递增数列，结合得到.
【详解】（1）当时，，
又，解得．
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故．
则，即．
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，故．
（2）由（1）可得，，所以．
则①，
②，
①-②可得，
所以．
因为，所以是递增数列．
则，故．
41．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考二模）已知正项等比数列的前项和为，若成等差数列，．
(1)求与；
(2)设，数列的前项和记为，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知条件可构造关于的方程组，解方程组可得，由等比数列通项和求和公式可求得；
（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得.
【详解】（1）成等差数列，；
设正项等比数列的公比为，
则，解得：，
，.
（2）由（1）得：，
，，
，
.
42．（2023·浙江·二模）记为正数列的前项和，已知是等差数列.
(1)求；
(2)求最小的正整数，使得存在数列，.
【答案】(1)1
(2)3
【分析】（1）根据题意可推得，即得，即可得答案；
（2）利用（1）中结论可得，结合基本不等式求得，验证后即得答案.
【详解】（1）由题意是等差数列，设其公差为d，
则，
则，故.
（2）由（1）可知，一方面，
故，当且仅当时，取等号，
由于m为正整数，故，
另一方面，时，﹐满足条件，
综上所述，正整数m的最小值是3．
43．（2023·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，且，_______.
请在（1）;（2）成等比数列;（3），这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
注:如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件可知，数列是等差数列，不管选择哪个条件，都利用等差数列的公式，代入基本量，即可求解；
（2）首先由（1）得，再根据数列正负项的分界，分情况求数列的前项和.
【详解】（1）由题可知，即，所以数列是首项为，公差为2的等差数列.
若选（1）:由，得，即，
所以，解得，所以，
即数列的通项公式为.
若选（2）:因为成等比数列，
所以，即，解得，
所以，即数列的通项公式为.
若选（3）:由，得，即，
所以，即数列的通项公式为.
（2）由（1）得，令，得，所以当时，
，
当时，
综上所述，
44．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）当时，利用累加法可求得的表达式，结合可得出的表达式，再检验的情形，综合可得出的通项公式；
（2）由求出数列的通项公式，列举出数列的前项，即可求得的值.
【详解】（1）解：对任意的，因为，
当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合，
所以，．
（2）解：因为，，
所以当时，，
所以，，
所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以的前项是由个与个组成．所以．
()
专题12 等差数列
一、单选题
1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（ ）
A．2033 B．2123 C．123 D．0
2．（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0 B． C． D．
3．（2023·北京海淀·统考二模）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．（2023·湖北武汉·统考二模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．55 B．49 C．43 D．37
5．（2023·安徽合肥·二模）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
6．（2023·四川泸州·统考三模）记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列的前项和为．若，则（ ）
A．16 B．25 C．29 D．32
8．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·湖南邵阳·统考三模）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．130 B．132 C．134 D．141
10．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）党的二十大报告提出了要全面推进乡村振兴，其中人才振兴是乡村振兴的关键．如图反映了某县2017-2022这六年间引入高科技人才数量的占比情况．已知2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量逐年成递增的等差数列，且这四年引入高科技人才的数量占六年引入高科技人才的数量和的一半，2018年与2019年引入人才的数量相同，2019、2021、2022这三年引入高科技人才的数量成公比为2的等比数列，则2022年引入高科技人才的数量占比为（ ）．
A．30％ B．35％ C．40％ D．45％
11．（2023·江西赣州·统考二模）等差数列满足，，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
12．（2023·河南·校联考三模）已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·浙江台州·统考二模）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
15．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值 ② ③， ④为的最小值
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2023·浙江温州·统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．是等差数列 D．是等比数列
17．（2023·全国·校联考三模）已知等差数列中，，，则数列的前2022项的和为（ ）
A．1010 B．1011 C．2021 D．2022
18．（2023·上海奉贤·统考二模）设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列,有下列3个命题:
①若对任意的正整数均有,则为和谐数列;
②若等差数列是和谐数列,则一定存在最小值;
③若的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有( )个
A．0 B．1 C．2 D．3
19．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时 B．13小时 C．17小时 D．19小时
20．（2023·广东湛江·统考二模）一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔.已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是（ ）
A．第3层的塔数为3
B．第4层与第5层的塔数相等
C．第6层的塔数为9
D．等差数列的公差为2
21．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4046 D．4048
22．（2023·上海长宁·统考二模）设各项均为实数的等差数列和的前n项和分别为和，对于方程①，②，③．下列判断正确的是（ ）
A．若①有实根，②有实根，则③有实根
B．若①有实根，②无实根，则③有实根
C．若①无实根，②有实根，则③无实根
D．若①无实根，②无实根，则③无实根
23．（2023·上海黄浦·统考二模）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题
24．（2023·上海闵行·统考二模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ）
A．存在等差数列，使得是的“M数列”
B．存在等比数列，使得是的“M数列”
C．存在等差数列，使得是的“M数列”
D．存在等比数列，使得是的“M数列”
二、多选题
25．（2023·山西阳泉·统考三模）设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·广东汕头·统考二模）已知数列为为等差数列，，，前项和为.数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列是递减数列
C．数列是等差数列
D．数列中任意三项不能构成等比数列
27．（2023·海南·统考模拟预测）已知数列满足，且，等差数列的前n项和为，且，，若恒成立，则实数λ的值可以为（ ）
A．－36 B．－54 C．－81 D．－108
28．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）．
A．
B．
C．当或6时，取得最大值为30
D．数列与数列共有671项互为相反数
29．（2023·山东淄博·统考二模）已知数列的前项和是，满足对成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B．一定是递减数列
C．数列是等差数列 D．
三、填空题
30．（2023·广东·统考模拟预测）若数列满足且，其中为数列的前n项和．请写出一个满足上述条件的数列通项______．
31．（2023·浙江·统考二模）已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是______.
32．（2023·广东广州·统考二模）在数列中，，，若，则正整数____________．
33．（2023·江苏·统考三模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，a1＋a5＝3a2，则_____．
34．（2023·广东潮州·统考二模）将数列中的项排成下表：
，
，，，
，，，，，，，
…
已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为______.
四、解答题
35．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知数列满足，，其中.
(1)设，求证：数列是等差数列.
(2)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
36．（2023·湖北武汉·统考二模）记数列的前n项和为，对任意，有．
(1)证明：是等差数列；
(2)若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．
37．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若（1）中数列满足，，令，记，证明
38．（2023·广东深圳·统考二模）已知数列满足，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.
39．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记为数列的前n项和．
(1)从下面三个条件中选一个，证明：数列是等差数列；
①；②数列是等差数列；③数列是等比数列．
(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
40．（2023·湖北·模拟预测）已知等比数列的公比为2，数列满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
41．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考二模）已知正项等比数列的前项和为，若成等差数列，．
(1)求与；
(2)设，数列的前项和记为，求．
42．（2023·浙江·二模）记为正数列的前项和，已知是等差数列.
(1)求；
(2)求最小的正整数，使得存在数列，.
43．（2023·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，且，_______.
请在（1）;（2）成等比数列;（3），这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
注:如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
44．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
()
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 专题12等差数列（原卷版+解析版）-2023年高考数学三轮冲刺复习训练