卷子答案网-一个不只有答案的网站东莞市两校2022-2023学年高二下学期期中段考
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数 的导数是( )
A. B. C. D.
2. 函数 的导函数 的图象如图所示，则下面判断正确的是( )
A.在区间 上， 单调递增
B. 在区间 上， 单调递减
C. 在区间 上， 单调递增
D. 在区间 上， 单调递增
3．下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B．设，且，则
C．线性回归直线一定经过样本点的中心
D．随机变量，若，则
4．已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（ ）
A． B． C．b D．4
5．学校安排器乐和舞蹈大赛的4个舞蹈节目和2个器乐节目的演出顺序，要求2个器乐节目要连排，且都不能在第一个演出，则不同的排法种数是（ ）
A．96 B．144 C．192 D．240
6.用模型 拟合一组数据时，设 ，将其变换后得到回归方程为 ，则 ( )
A. B. C. D.
7．目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知a，b，c均为负实数，且，，，则（ ）．
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，选对部分得2分，全对5分，错选得0分）
9. 下列命题正确的是( )
A. 若 ,则
B. 设函数 ,若 ,则
C. 已知函数 ，则
D. 设函数 的导函数为 ,且 ,则
10. 若随机变量 服从两点分布，且 ，则( )
A. B. C. D.
11. 下列说法正确的是( )
A. 的展开式中，的系数为30
B. 将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种
C. 已知，则
D. 记，则
12. 关于函数，下列判断正确的是（ ）
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对两个不相等的正实数，，若，则.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．16题第一空2分，第二空3分，全部答对的给5分）
13.在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，
可构成三角形的个数是__________.
14.已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为__________ .
15.已知，，，则______.
16. 已知，其中是关于的多项式，则______；若，则除以81的余数为______．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，
(1)求的值；
(2)求其展开式中所有的有理项．
18. （本小题满分12分）甲、乙两城之间的长途客车均由 和 两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
240 20
210 30
（1） 根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2） 根据小概率值 的独立性检验，能否认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
附： ，
19. （本小题满分12分）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求在上的最小值和最大值．
20. （本小题满分12分）树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了 树木，某农科所为了研究 树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵 树木，调查得到 树木根部半径 （单位：米）与 树木高度 （单位：米）的相关数据如表所示：
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
1.1 1.3 1.6 1.5 2.0 2.1
（1） 求 关于 的经验回归方程；
（2） 对（1）中得到的经验回归方程进行残差分析，若某 树木的残差为零，则认为该树木“长势标准”，在此片树木中随机抽取1棵树木，估计这棵树木“长势标准”的概率.
参考公式：经验回归方程为 ,其中 , .
21.（本小题满分12分）某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有 ），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
等级 珍品 特级 优级 一级
箱数 40 30 10 20
（1） 若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
（3） 用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱， 表示抽取的珍品的箱数，求 的分布列及均值 .
22. （本小题满分12分）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求的最大整数值．
数学答案
单选题
1.[解析]选D.令 ，则 ，
从而 .故选D.
2. [解析]选C.在区间 上， 恒成立，所以 在区间 上单调递增.
3．【答案】B
【详解】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，故A正确；
由，知，即概率密度函数的图像关于直线对称，所以，
则，故B错误；
根据线性回归直线的性质可知，线性回归直线一定经过样本点的中心，
故C正确；
随机变量，若，则，故D正确；
故选：B.
4．答案D【详解】，，，
所以，解得：，，
所以，得，时，，，，
所以是函数的极小值点，.故选：D
5．【答案】C【详解】将2个音乐节目看成1个元素，有种方法，和4个舞蹈节目共看成5个元素，其中2个音乐节目不排在首位，有4种方法，再全排列4个舞蹈节目，有种方法，所以共有种方法.故选：C
6. D [解析]因为 ，所以 .
又 ， ，所以 解得 所以 ，故选D.
7．【答案】D
【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，则男员工中，肥胖者有人，
女员工中，肥胖者有人，设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，则，，则.故选：D.
8. 【答案】A
【解析】【详解】由，得，于是．
同理由，可得．对于，可得，两边同时取对数得，于．
构造函数，则，，．
因为，所以当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，所以，
又，，，如图所示，故．故选：A
二、多选题
9. [解析]选BD.对于选项A， ,故选项A不正确；
对于选项B, ,则 ,解得 ,故选项B正确；
对于选项C, ,则 ,故选项C不正确；
对于选项D， ，则 ,解得 ,故选项D正确.故选BD.
10. [解析]选ABD.因为随机变量 服从两点分布且 ,所以 .
对于A， ，所以 ，A正确；
对于B， ,B正确；
对于C， ，C错误；
对于D， ，D正确.故选ABD.
11. 【答案】ACD
【详解】A选项：的展开式中，的系数为，故A正确；
B选项：将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种(先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6均分成两组，将两组分别放入两个信封)，故B错误；
C选项：∵，∴，故C正确；
D选项：∵，∴；
令x＝0得，；令x＝－1得，；
∴，故D正确．故选：ACD．
12.【答案】BD
【详解】A.函数的定义域为，函数的导数，∴在上，，函数单调递减，上，，函数单调递增，∴是的极小值点，即A错误；
B.，∴，函数在上单调递减，且，，∴函数有且只有1个零点，即B正确；
C.若，可得，令，则，令，则，∴在上，函数单调递增，上函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得恒成立，即C不正确；
D.令，则，，令，则，∴在上单调递减，则，令，由，得，则，当时，显然成立，∴对任意两个正实数，，且，若，则，所以.故D正确.
故选：BD.
填空题
13. 69【详解】从9个点中任取3个的全部组合数为，
三角形三个边上三点共线的组合数为，
所以能构成三角形的个数为.故答案为：.
14. .[解析]由题中 的图象特征可得，在 和 上 ,在 上 ,所以 或 ,所以 的解集为 .
15. 【答案】【详解】因为，所以，
因为，所以，所以由全概率公式可得
,故答案为：
16. 【答案】 ①. 18 ②. 32
【详解】因为
所以，所以，，所以．若，即，则，
所以
故所求的余数为32．故答案为：18,32
四、解答题
17．【答案】(1)4 (2)
【详解】（1）因为，所以，
当为奇数时，此方程无解，当为偶数时，方程可化为，解得；
（2）由通项公式，当为整数时，是有理项，则，
所以有理项为．
18. （1） [答案]【解】 由题表可得 公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为 ， 公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为 .
（2） [答案]零假设为 甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关，列联表如下表所示：
公司 班次是否准点 合计
准点班次数 未准点班次数
240 20 260
210 30 240
合计 450 50 500
经计算得 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关，该推断犯错误的概率不超过 .
19. 【答案】（1） （2），
【1详解】，，又，
所求切线方程为：，即.
【2详解】由（1）知：，
则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，.
20. （1） [答案] .解：由已知得 ,
,
,
,则 ，
,故 关于 的经验回归方程为
（2）概率为 . [答案]当 时， ,残差为 ,
当 时， ,残差为 ,
当 时， ,残差为 ,
当 时， ,残差为 ,
当 时， ,残差为 ,
当 时， ,残差为 ,
则这6棵 树木中残差为零的有3棵，占比为 ，所以这棵树木“长势标准”的概率为
21.（1） . [答案]解：设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件 ，则 ,现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为 ,则 ,
所以恰好有2箱是一级品的概率为 .
（2）[答案]用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数 服从超几何分布，其中 , , ,
, , , .
所以 的分布列为
0 1 2 3
.
22. 【答案】（1）答案见解析 （2）
【1详解】函数的定义域为，．
令，，
当时，恒成立，所以函数在上递增；
当时，在区间，，函数递减；在区间，，函数递增．
【2详解】当时，，，
由（1）知，在上递增，且，，
所以存在使得，即．在区间上，，函数单调递减；在区间上，，函数单调递增．所以当时，取得极小值也即是最小值，为，
设，则，
令或，令或，
所以函数在和上单调递减，在和上单调递增.
∵，∴，所以．
由恒成立，得，故的最大整数值为．
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 广东省东莞市两校2022-2023高二下学期期中段考数学试题（含解析）