卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年高三下学期5月上海高考数学模拟预测卷03
注意事项：
1．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．已知集合，，，则 ．
【分析】求出集合，，利用交集定义能求出．
【解答】解：集合，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查交集定义、不等式定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．已知复数满足，则 ．
【分析】设，，，根据复数的模及复数相等的充要条件得到方程组，解得、，即可求出，从而得解．
【解答】解：设，，，
则，
因为，
所以，
所以，
所以，即，
所以．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3．命题，命题，则是的 条件．
（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”
【分析】先解，然后根据条件判断即可．
【解答】解：因为或，
而，
所以是的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
4．已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则 ．
【分析】由等差数列通项公式得，由此能求出结果．
【解答】解：数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，
，
，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查等差数列的性质、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．已知向量，，，且与方向相同，那么 ．
【分析】根据与方向相同可设，，从而可得出，解出即可得出向量的坐标．
【解答】解：与方向相同，
设，，
又，，且，解得，
，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
6．已知，，则 ．
【分析】根据指对数互化可得，结合求参数值即可．
【解答】解：由题设，则且，
所以，即，故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
7．若二项式的展开式共7项，则展开式的常数项为 ．
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：二项式的展开式共7项，
则，
的展开式通项公式为，
令，解得，
故展开式的常数项为．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
8．在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点的横坐标为 ．
【分析】利用三角函数定义可知，射线对应的角满足，再利用任意角的关系和两角差的余弦公式即可得点的横坐标为．
【解答】解：易知在单位圆上，记终边在射线上的角为，如下图所示：
根据三角函数定义可知，，
绕原点顺时针旋转得到线段，则终边在射线上的角为，
所以点的横坐标为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
9．现有两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率为 ．
【分析】根据题意，记 “从混合产品中任取1件，取出的产品在第一批”， “从混合产品中任取1件，取出的产品在第二批”， “取出产品为合格品”，由于（B），计算可得答案．
【解答】解：根据题意，记 “从混合产品中任取1件，取出的产品在第一批”， “从混合产品中任取1件，取出的产品在第二批”，
“取出产品为合格品”，
则，，
故（B）．
故答案为：0.947．
【点评】本题考查全概率公式，涉及概率的乘法公式，属于基础题．
10．已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为 ．
【分析】设公切线与曲线的切点为，，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围．
【解答】解：设公切线与曲线和的切点分别为，，，其中，
对于有，则上的切线方程为，即，
对于有，则上的切线方程为，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故，即．
正实数的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查两曲线的公切线问题，导数的几何意义应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
11．若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 ．
【分析】在平面直角坐标系中，不妨设，，，再结合平面向量的数量积运算，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：在平面直角坐标系中，不妨设，，，
，，，
，，，
，
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
12．为激发大家学习数学的兴趣，在一次数学活动课上．老师设计了有序实数组，，，，，，0，，2，3，，，（A）表示把中每个都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，0，，则（A），0，，1，0，．定义，，2，3，．若，则中有 个1．
【分析】写出，，，找出变化的规律，可得总共有项，其中1和的项数相同．推出，推出，然后求解中1的个数．
【解答】解：因为，依题意（A），0，，1，0，．定义，，2，3，，
所以，0，0，，，0，，1，，1，0，，
显然，中有2项，其中1项为，1项为1，
中有4项，其中1项为1，1项为，2项为0，
中有8项，其中3项为1，3项为，2项为0，
由此可得总共有项，其中1和的项数相同．
设中有项为1，项为0，所以，
因为（A）表示把中每个都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，
则，
所以，
可得，即，
则，
所以，解得，
所以中有个1．
【点评】本题考查数列的应用，考查逻辑推理的核心素养，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．函数的定义域是
A． B． C． D．，
【分析】利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可．
【解答】解：由，得，解得，
所以函数的定义域为，．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
14．工业生产者出厂价格指数反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，对企业的生产发展和国家宏观调控有着重要的影响．下图是我国2022年各月涨跌幅折线图．（注：如图中，月度同比是将上年同月作为基期相比较的增长率；月度环比是将上月作为基期相比较的增长率）
下列说法中，最贴切的一项为
A．2021年逐月减小
B．2022年逐月减小
C．2022年各月同比涨跌幅的方差小于环比涨跌幅的方差
D．2022年上半年各月同比涨跌幅的方差小于下半年各月同比涨跌幅的方差
【分析】由折线图数据，结合同比与环比概念、方差大小与数据波动情况的关系进行辨析即可．
【解答】解：对于，由2022年10月，同比为负可知，2021年10月大于2022年10月，
由2022年10月，环比为正可知，2022年10月大于2022年9月，
由2022年9月，同比为正可知，2022年9月大于2021年9月，
故2021年10月大于2021年9月，逐月减小说法不正确，故选项错误；
对于，2022年同比涨跌幅的数据波动幅度明显比环比涨跌幅的数据波动幅度要大，
因此2022年各月同比涨跌幅的方差大于环比涨跌幅的方差，故选项错误；
对于，2022年2月、3月等月份，环比均为正，相对于上月有增长，逐月减小说法不正确，故选项错误；
对于，2022年上半年各月同比涨跌幅的数据波动幅度明显比下半年各月同比涨跌幅的数据波动幅度要小，
因此2022年上半年各月同比涨跌幅的方差小于下半年各月同比涨跌幅的方差，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查统计相关知识，属于中档题．
15．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，是截面上的一个动点（不包含边界），，则的最小值为
A． B． C． D．
【分析】由已知可得在平面上的投影在上，进而可求，可得的最小值．
【解答】解：若，则在平面上的投影在上，
所以的轨迹为，将平面翻折到与平面重合，
如图，当为与的交点时，
，，
所以，所以，，
所以的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查正方体以及点、线、面的位置关系，考查空间想象能力，属中档题．
16．伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞土数学家伯努利在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积的点的轨迹是双纽线；曲线的形状类似打横的阿拉伯数字8，或者无穷大的符号．在平面直角坐标系中，到定点，的距离之积为的点的轨迹就是伯努利双纽线，若点，是轨迹上一点，则下列说法正确的是
①曲线关于原点中心对称；②，；③直线与曲线只有一个交点；④曲线上不存在点，使得．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【分析】根据题意求得曲线的方程为，结合对称性的判定方法，联立方程组，以及特殊点，逐项判定，即可求解．
【解答】解：在平面直角坐标系中，设到定点，的距离之积为，
可得，整理得，
即曲线的方程为，图象如图所示，
在曲线上任取一点，则关于原点的对称点，
则点满足曲线的方程，所以曲线关于原点成中心对称，所以①正确．
由原点满足曲线的方程，即原点在曲线上，则，
即曲线上存在点与原点重合时，满足，所以④错误；
令，解得或，可得，所以②错误；
联立方程组，可得，即，所以，
所以直线与曲线只有一个交点，所以③正确．
故选：．
【点评】本题考查曲线与方程等相关知识，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体，如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，，，
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，即可证明结论；
（2）根据题意，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：分别取和的中点，，连接，，，则，，
在梯形中，，分别作，垂直于，垂足分别为，，
，故，
又，则，
，，平面，
平面，
又平面，则平面平面；
（2）建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示：
则，0，，，2，，，2，，，4，，
．
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则．
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
【点评】本题考查面面垂直和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
第31届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有100米、400米和1500米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为，和，，2，，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进价，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次，，，选手乙三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立．
（1）用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望；
（2）证明：无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值．
【分析】（1）先求甲通过每项的概率，进而根据题意求分布列和期望；
（2）先求乙通过每项的概率，进而根据题意求分布列和期望，利用作差法比较大小．
【解答】解：对于选手甲：记“100米成绩合格”、“400米成绩合格”、“1500米成绩合格”分别为事件，，，
则，，，
由题意可得：的可能取值有0，，，，则有：
，
，
，
，
可得的分布列为：
0
所以，
（2）证明：对于选手乙：记“100米成绩合格”、“400米成绩合格”、“1500米成绩合格”分别为事件，，，
则，
，
，
用表示选手乙考核积分的总成绩，由题意可得：的可能取值有 0，，，，
则有：，
，
，
，
可得的分布列为：
0
所以，
因为，
且，，均为正数，则，即，
所以无论，，取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值．
【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形的长千米，宽千米，半圆的圆心为中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧、线段、组成的观光道路，其中线段经过圆心，点在线段上（不含线段端点，，已知道路，的造价为每千米20万元，道路造价为每千米70万元，设，观光道路的总造价为．
（1）试求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当为何值时，观光道路的总造价最小．
【解答】解：（1）由题意可知，过点 作，垂足为，则，
所以，，
，
（2）由（1）得
，
令，
即，
，
或 舍，
，
0
极大值
所以 时， 最小，即当 时，观光道路的总造价最小．
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
椭圆方程，平面上有一点，．定义直线方程是椭圆在点，处的极线．已知椭圆方程．
（1）若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
（2）若，在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
（3）若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．
【分析】（1）由题意知求得或，再由定义即可求得极线方程；
（2）由定义可知椭圆在点，处的极线方程为，再分当时和时分别证明椭圆在点处的极线就是过点的切线即可；
（3）由（1）可知，过点的切线方程为，过点的切线方程为，因为， 都过点，，由同构思想可得则割线的方程为和过点的两条切线的切点弦的方程为，又因为割线过点，代入点即可求得．
【解答】解：（1）由题意知，当 时，，所以或，
由定义可知椭圆在点，处的极线方程为，
所以椭圆在点处的极线方程为，点处的极线方程为；
（2）证明：由定义可知椭圆在点，处的极线方程为，
当时，，此时极线方程为，
所以处的极线就是过点的切线，
当时，极线方程为，
联立，
，
综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线；
（3）证明：设点，，，，， 由（1）可知，过点的切线方程为，过点的切线方程为，
因为， 都过点，，所以有，
则割线的方程为，
同理可得过点的两条切线的切点弦的方程为，
又因为割线过点，
所以，
所以，，三点共线，都在直线上．
【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
已知函数，．
（1）证明：函数在上有且只有一个零点；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）设，，2，若对任意的，，恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值．
【分析】（1）设，求导分析单调性，可得存在唯一，，使得，进而可得答案．
（2）求导得，分析的符号，进而可得的单调性，即可得出答案．
（3）分析当时，时，当时，时，的最大值，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：设，
则，
因为，
所以恒成立，
所以在上单调递减，
又因为，，
所以存在唯一，，使得，
所以在上有且只有一个零点，
（2），
设，
，
，
当上，，，单调递增，
又，
所以在上的单调递增，
因为，
所以当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
所以在上有最小值．
（3）由（1）可知，，时，，
由（2）可知为的极小值点，且，时，，
所以，时，在取到最小值，
时，，存在，使得与矛盾，
时，，存在，使得与矛盾，
当时，令，则，满足题，此时取得最大值，
再过点作函数的切线，设切点为，，则，解得，
所以切线方程为，
当时，的最大值为，
又因为，时，，
设，
，
所以单调递减，
即，
所以时，取得最大值，
接下来证明当，时，，
先证：，，恒成立，
，
，
，
当，时，单调递增，
，，，
所以存在唯一的，使得，且，时，，单调递减，
，时，，单调递增，
因为，，，
所以存在唯一的，使得，且，时，，单调递增，
，时，，单调递减，
又因为，，
所以当，时，，
当，时，，
所以，
综上所述，，时，，
当，，，
所以当时，的最大值为，
即的最大值为．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于难题．2023年高三下学期5月上海高考数学模拟预测卷03
注意事项：
1．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．已知集合，，，则 ．
2．已知复数满足，则 ．
3．命题，命题，则是的 条件．
（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”
4．已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则 ．
5．已知向量，，，且与方向相同，那么 ．
6．已知，，则 ．
7．若二项式的展开式共7项，则展开式的常数项为 ．
8．在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点的横坐标为 ．
9．现有两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率为 ．
10．已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为 ．
11．若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 ．
12．为激发大家学习数学的兴趣，在一次数学活动课上．老师设计了有序实数组，，，，，，0，，2，3，，，（A）表示把中每个都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，0，，则（A），0，，1，0，．定义，，2，3，．若，则中有 个1．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．函数的定义域是
A． B． C． D．，
14．工业生产者出厂价格指数反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，对企业的生产发展和国家宏观调控有着重要的影响．下图是我国2022年各月涨跌幅折线图．（注：如图中，月度同比是将上年同月作为基期相比较的增长率；月度环比是将上月作为基期相比较的增长率）
下列说法中，最贴切的一项为
A．2021年逐月减小
B．2022年逐月减小
C．2022年各月同比涨跌幅的方差小于环比涨跌幅的方差
D．2022年上半年各月同比涨跌幅的方差小于下半年各月同比涨跌幅的方差
15．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，是截面上的一个动点（不包含边界），，则的最小值为
A． B． C． D．
16．伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞土数学家伯努利在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积的点的轨迹是双纽线；曲线的形状类似打横的阿拉伯数字8，或者无穷大的符号．在平面直角坐标系中，到定点，的距离之积为的点的轨迹就是伯努利双纽线，若点，是轨迹上一点，则下列说法正确的是
①曲线关于原点中心对称；②，；③直线与曲线只有一个交点；④曲线上不存在点，使得．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体，如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，，，
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
第31届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有100米、400米和1500米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为，和，，2，，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进价，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次，，，选手乙三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立．
（1）用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望；
（2）证明：无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值．
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形的长千米，宽千米，半圆的圆心为中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧、线段、组成的观光道路，其中线段经过圆心，点在线段上（不含线段端点，，已知道路，的造价为每千米20万元，道路造价为每千米70万元，设，观光道路的总造价为．
（1）试求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当为何值时，观光道路的总造价最小．
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
椭圆方程，平面上有一点，．定义直线方程是椭圆在点，处的极线．已知椭圆方程．
（1）若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
（2）若，在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
（3）若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
已知函数，．
（1）证明：函数在上有且只有一个零点；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）设，，2，若对任意的，，恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值．