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作业01 平行线的性质与判定
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等， ．
判定方法2：内错角相等， ．
判定方法3：同旁内角互补， ．
判定方法4：如果两条直线都平行于 ，那么这两条直线 （平行线的 ）.
判定方法5：在同一平面内， 于同一直线的两条直线 .
2．平行线的性质
性质1：两直线平行， ；
性质2：两直线平行， ；
性质3：两直线平行， .
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线 ，则这两条直线在同一平面内，且 公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线 ．
3.图形的平移
1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的 ，图形的这种移动叫做 ．
决定平移的两个要素：（1）平移的 ；（2）平移的 ．
2.平移的性质：
(1)图形的平移不改变图形的 与 ，只改变图形的 ．
（2）图形平移后， 的连线平行或在同一直线上且
(3)图形经过平移， 互相平行或在同一条直线上且 相等．
一、选择题
1．（2023春·河南商丘·七年级统考期中）2022 年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的，在选项的四个图中，能由给出的图形经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·广西柳州·七年级统考期中）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．1与2是同位角 B．3与5是内错角 C．4与5是同旁内角 D．1与3是同位角
3．（2023春·福建宁德·七年级统考期中）如图，下列条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东潍坊·统考一模）如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是( )
A． B． C． D．
5．（2022春·山西吕梁·七年级统考阶段练习）遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已解决的）问题．比如，在学行线的判定”一节内容时，我们先得到“同位角相等，两直线平行”，然后利用“同位角相等，两直线平行”得到“内错角相等，两直线平行”．在这一过程中，渗透的数学思想是（ ）
A．类比思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．从一般到特殊思想
6．（2022春·河南开封·七年级校联考期中）绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是什么？
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
7．（2023春·辽宁大连·七年级校考阶段练习）直线a、b、c在同一平面内，下面的四个结论：
①如果，，那么；②如果，，那么；
③如果，，那么；④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交．
正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2023春·广西·七年级广西大学附属中学校考期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．同角的余角互补 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
二、填空题
9．（2023春·吉林·七年级校联考期中）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为30元，主楼梯宽3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要_______元．
三、解答题
10．（2023春·山东临沂·七年级统考期中）如图，，交于点B，交于点E，交于点A．(1)画图：过点B作交于点M；(2)求证：．
11．（2023春·北京朝阳·七年级北京八十中校考期中）如图所示，直线，相交于点，过点作射线，使得平分．
(1)若，求的度数；(2)连接，若，求证：．
12．（2022春·河南许昌·七年级统考期末）（1）在学行线的判定”时，课本首先通过以下的“思考”栏目，得到了平行线的判定方法1，即______．
思考我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线（如图）．在这一过程中，三角尺起着什么样的作用？
（2）平行线的另外两个判定方法都可以根据平行线的判定方法1进行证明．请根据平行线的判定方法1证明判定方法3．
已知：如图1，直线AB和直线CD被直线EF所截，且．
求证： ．证明：
（3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图2，是直角，那么，都可以通过度量图中已标出的哪个角，来判断两条直轨是否平行？为什么？
一、选择题
1．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，小明骑自行车自A处沿正北方向前进，到达B处后，右拐继续行驶，若行驶到C处后，小明想按正东方向行驶，则他在C处应该（ ）
A．左拐 B．右拐 C．右拐 D．左拐
2．（2022春·江西抚州·七年级统考期末）中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如下图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023春·浙江·七年级期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A．129° B．72° C．51° D．18°
二、填空题
4．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）如图，，点O在之间，，，则______°．
5．（2022春·六年级单元测试）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别在M、N的位置上，与的交点为G，若，则_____．
6．（2023春·江苏·七年级期末）如图，在两条笔直且平行的景观道上放置P，Q两盏激光灯．其中光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转4秒，光线才开始转动，当时，光线旋转的时间为___秒．
三、解答题
7．（2023春·吉林·七年级校联考期中）如图，，），解答下列问题．
(1)如图①，当，时，过点B在的内部作则度；
(2)如图②，点G在上，过点G作．①当，时，求的度数；②用含有和的式子表示；③当，时，过点G作，直接写出的度数．
8．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）已知直线，点P在直线之间，连接．
(1)如图1，若，直接写出的大小；
(2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由；(3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
一、选择题
1．（2023·河北衡水·统考二模）在作业纸上，，点C在，之间，要得知两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行
2．（2023春·江苏·七年级期末）如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（ ）个．
①；②；③平分；④
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
3．（2023春·山东滨州·七年级统考期中）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱垂直于地面于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏，此时______°．
4．（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）如图，若，，且，，则_______．
5．（2023春·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是______．
6．（2023春·浙江温州·七年级期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则_________．
三、解答题
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，一副三角板，其中．
(1)若这副三角板如图摆放，，求的度数．
(2)将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，求所有满足条件的的值．
(3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，请直接写出满足条件的的值．
9．（2023春·江苏徐州·七年级统考期中）如图1，大运河某河段的两岸、安置了两座可旋转探照灯M、N假设河道两岸平行（即），灯M光从开始顺时针旋转至便立即回转，灯N光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停照射巡逻．灯M转动的速度是每秒1度，灯N转动的速度是每秒2度，灯M转动的时间为t秒．
(1)若灯M光束先转动30秒后，灯N光束才开始转动．①直接写出灯M光束和灯N光束，灯 先回转；（填M或N）②在灯M光束到达之前，当两灯的光束平行时，求t的值；
(2)如图2，连接，且． ①直接写出= ；②若两灯同时转动，在灯N到达之前，若两灯光束交于点E，在转动过程中，请探究与的之间数量关系 并说明理由．
10．（2023春·江苏·七年级期中）已知直线，点E，F分别在上，O是平面内一点(不在直线、、上)，平分，射线，交于点H．
(1)如图①，若，则 ，
(2)如图②，若，则 ；
(3)直接写出点O在不同位置时、和三个角之间满足的数量关系．
()
作业01 平行线的性质与判定
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
判定方法4：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
判定方法5：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3.图形的平移
1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移的距离．
2.平移的性质：
(1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．
（2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等．
(3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等．
一、选择题
1．（2023春·河南商丘·七年级统考期中）2022 年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的，在选项的四个图中，能由给出的图形经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【详解】解：观察各选项图形可知，C选项的图案可以通过平移得到，故选：C．
【点睛】本题考查了利用平移设计图案，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
2．（2023春·广西柳州·七年级统考期中）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．1与2是同位角 B．3与5是内错角 C．4与5是同旁内角 D．1与3是同位角
【答案】A
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的特点逐项进行判断即可．
【详解】解：A、1与2是同位角错误，故符合题意；B、3与5是内错角正确，不符合题意；
C、4与5是同旁内角正确，不符合题意；D、与3是同位角正确，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，结合图形正确识别三种角是解题的关键．
3．（2023春·福建宁德·七年级统考期中）如图，下列条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理依次判断即可．
【详解】解：由可得，故A不符合题意；由可得，故B符合题意；
不能判断，故C不符合题意；由可得，故D不符合题意；故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，正确掌握平行线的判定定理及三线八角的定义是解题的关键．
4．（2023·山东潍坊·统考一模）如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】从，可以得到同位角相等，，然后相减可得到的度数．
【详解】解：，，
，故选D．
【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等，掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（2022春·山西吕梁·七年级统考阶段练习）遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已解决的）问题．比如，在学行线的判定”一节内容时，我们先得到“同位角相等，两直线平行”，然后利用“同位角相等，两直线平行”得到“内错角相等，两直线平行”．在这一过程中，渗透的数学思想是（ ）
A．类比思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．从一般到特殊思想
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”得到“内错角相等，两直线平行”分析判断是数学思想中的转化思想即可得解．
【详解】解：在学行线的判定”一节内容时，我们先得到“同位角相等，两直线平行”，然后利用“同位角相等，两直线平行”得到“内错角相等，两直线平行”，在这一过程中，渗透的数学思想是转化思想，
故选：C．
【点睛】此题考查了数学常识，遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已解决的）问题，这是数学思想中的转化思想．
6．（2022春·河南开封·七年级校联考期中）绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是什么？
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】根据平行线的判定条件即可得到答案.
【详解】解：由题意可知：画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框
由此可见画直线时，是保持着一定的角度进行的即根据同位角相等，两直线平行来画平行直线的，故选A.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件.
7．（2023春·辽宁大连·七年级校考阶段练习）直线a、b、c在同一平面内，下面的四个结论：
①如果，，那么；②如果，，那么；
③如果，，那么；④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交．
正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】根据平行线的判定与性质定理一一判断即可．
【详解】解：①如果，，那么，故①正确；
②如果，，那么，故②正确；
③如果，，那么，故③正确；
④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交或平行，故④错误．故选A．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．
8．（2023春·广西·七年级广西大学附属中学校考期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．同角的余角互补 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【分析】根据对顶角的性质、平行线的判定、余角的性质、平行线的性质分别进行判断即可．
【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，故选项错误，不符合题意；
B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故选项错误，不符合题意；
C．同角的余角相等，故选项错误，不符合题意；
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故选项正确，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了对顶角的定义、平行线的判定、余角的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题
9．（2023春·吉林·七年级校联考期中）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为30元，主楼梯宽3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要_______元．
【答案】
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积，即可求出购买地毯的钱数．
【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移构成一个长方形，根据题意这个长方形的长与宽分别为米，米，地毯的长度为：（米），地毯的面积为：（平方米），
故买地毯至少需要：（元）．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，利用平移的性质，把所要求的的所有线段平移到一条直线上进行计算是解本题的关键．
三、解答题
10．（2023春·山东临沂·七年级统考期中）如图，，交于点B，交于点E，交于点A．
(1)画图：过点B作交于点M；(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据画平行线的方法画图即可；
（2）根据平行线的性质先证明，，，再有进行证明即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）证明：如图，∵，∴．
∵，∴，，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，画平行线，熟知老两直线平行，内错角相等是解题的关键．
11．（2023春·北京朝阳·七年级北京八十中校考期中）如图所示，直线，相交于点，过点作射线，使得平分．
(1)若，求的度数；(2)连接，若，求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据平角的定义得出，根据角平分线的定义得出；（2）根据对顶角相等得出，根据已知条件得出，然后得出，即可得证
【详解】（1）解：∵，∴，
∵平分，∴；
（2）证明：∵，，∴，
∵平分，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
12．（2022春·河南许昌·七年级统考期末）（1）在学行线的判定”时，课本首先通过以下的“思考”栏目，得到了平行线的判定方法1，即______．
思考我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线（如图）．在这一过程中，三角尺起着什么样的作用？
（2）平行线的另外两个判定方法都可以根据平行线的判定方法1进行证明．请根据平行线的判定方法1证明判定方法3．
已知：如图1，直线AB和直线CD被直线EF所截，且．
求证： ．证明：
（3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图2，是直角，那么，都可以通过度量图中已标出的哪个角，来判断两条直轨是否平行？为什么？
【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）证明见解析；（3）可测量∠3是否为90°；理由见解析．
【分析】（1）根据平行线的判定即可求解；（2）根据邻补角的定义，以及同角的补角相等可得，根据同位角相等两直线平行即可得证；（3）根据平行线的判定可测量是否为直角，即可判定两直线平行．
【详解】（1）同位角相等，两直线平行．
（2）∵（邻补角定义），（已知）
∴（同角的补角相等）
∴（同位角相等，两直线平行）
（3）可测量∠3是否为90°，若等于90°，根据同旁内角互补可判定两直线平行；
可测量∠4是否为90°，若等于90°，根据同位角相等可判定两直线平行；
可测量∠5是否为90°，若等于90°，根据内错角相等可判定两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
一、选择题
1．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，小明骑自行车自A处沿正北方向前进，到达B处后，右拐继续行驶，若行驶到C处后，小明想按正东方向行驶，则他在C处应该（ ）
A．左拐 B．右拐 C．右拐 D．左拐
【答案】C
【分析】过点B作于点B，过点C作，如图，先求得，再根据平行线的性质得到．于是可判断他想仍按正东方向行驶，那么他向右拐．
【详解】过点B作于点B，过点C作，并标记角，如图所示．
∵，∴．∵，∴．
∴若小明想按正东方向行驶，则他在C处应该右拐70°，故选C．
【点睛】本题考查了方位角、垂直的性质和平行线性质，关键是作出适当的辅助线，找出要求的角与未知角的关系．
2．（2022春·江西抚州·七年级统考期末）中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如下图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用对顶角、同旁内角、内错角的定义逐个判断即可．
【详解】解：∠1与∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，因此是对顶角，故①正确；
两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，因此∠3与∠4是同旁内角，故②正确；∠5与∠6是邻补角，不是同旁内角，故③错误；
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫作内错角，因此∠1与∠4是内错角，故④正确；综上，正确的有①②④．故选C．
【点睛】本题考查对顶角、同旁内角、内错角的判断，熟练掌握定义是解题的关键．
3．（2023春·浙江·七年级期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A．129° B．72° C．51° D．18°
【答案】C
【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图1所示，过点G作，
∵，∴，
∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，
∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，
由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，
∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，
∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，∴
当时，如图2所示，过点G作，
同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，
∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，
∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，
∴∠PHG=150°-2∠ABM，∴，
综上所述，或，故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
二、填空题
4．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）如图，，点O在之间，，，则______°．
【答案】47
【分析】过点O作，可得，根据平行线的性质可得，即可求出，再根据得出，即可求解．
【详解】解：如图，过点O作，∵，，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，故答案为：47．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行于同一直线的两直线互相平行；两直线平行，内错角相等．
5．（2022春·六年级单元测试）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别在M、N的位置上，与的交点为G，若，则_____．
【答案】
【分析】根据，可得，根据翻折的性质：，即，再根据，可得．
【详解】解：如图，
∵长方形纸片的边，∴，
根据翻折的性质：，即，
又∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了长方形的性质，平行线的性质以及翻折的性质，掌握平行线的性质是解答本题的关键．
6．（2023春·江苏·七年级期末）如图，在两条笔直且平行的景观道上放置P，Q两盏激光灯．其中光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转4秒，光线才开始转动，当时，光线旋转的时间为___秒．
【答案】6或43.5
【分析】依据两直线平行，同位角相等，内错角相等，列出关于时间t的关系式可求．
【详解】解：当，则，如下图：
∵，∴．∴．
设光线旋转时间为t秒，∴∴．
当，则，如下图：
∵，∴．∴．
设光线旋转时间为t秒，此时光线由处返回，
∴．∴．
∴．∴．综上，光线PB旋转的时间为6或43.5秒．故答案为：6或43.5．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确计算相应的旋转角度是解题的关键．
三、解答题
7．（2023春·吉林·七年级校联考期中）如图，，），解答下列问题．
(1)如图①，当，时，过点B在的内部作则度；
(2)如图②，点G在上，过点G作．①当，时，求的度数；②用含有和的式子表示；③当，时，过点G作，直接写出的度数．
【答案】(1) (2)① ② ③或
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得到结果；（2）①过点B作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等得到结果；②过点B作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等得到结果；③过点B作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等分两种情况分别解题即可．
【详解】（1）解：∵，∴，
又∵，∴，故答案为：．
（2）①如图，过点B作，∴，
又∵，∴，
∵，，∴，∴，
②如上图，过点B作，∴，
又∵，∴，
∵，，∴，∴，
③如图，过点B作，∴，
又∵，∴，
∵，，∴，∴，
∵时，∴，
若点H在的上方时，，
若点H在的下方时，，
综上所述，或．
【点睛】本题考查平行公理，平行线的性质，垂直的定义，作辅助线转化角是解题的关键．
8．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）已知直线，点P在直线之间，连接．
(1)如图1，若，直接写出的大小；
(2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由；(3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
【答案】(1)(2)；(3)
【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；
（3）过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论.
【详解】（1）解： 过点P作，则，
∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：过点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，同理：，
∵，∴，
∴,∴；
（3）解：过点P作，则，
∵，∴，即，
∵，∴，∴
过点N作，∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴，
∵，
∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加辅助线，理清各个相关角的关系是关键.
一、选择题
1．（2023·河北衡水·统考二模）在作业纸上，，点C在，之间，要得知两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行
【答案】C
【分析】如图，延长交于，过作，而，，再利用平行线的性质可得答案，如图，延长交于，利用平行线的性质可得答案.
【详解】解：如图，延长交于，过作，而，
∴，
∴，，
∴，∴I可行，
如图，延长交于，
∵，∴，∴II可行，故选C
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
2．（2023春·江苏·七年级期末）如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（ ）个．
①；②；③平分；④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴①正确，故符合要求；
∵分别为的角平分线，
∴，，
如图，过作，∴，
∴，，
∵，
∴
∴，∴④正确，故符合要求；
∵，∴，，
∵，
∴，
∴平分，∴③正确，故符合要求；
∵，∴，∵与的位置关系不确定，
∴与的大小关系不确定，∴不一定成立，
∴②错误，故不符合要求；∴正确的共有3个，故选B．
【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用．
二、填空题
3．（2023春·山东滨州·七年级统考期中）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱垂直于地面于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏，此时______°．
【答案】270
【分析】过点B作，根据平行线的性质可得，根据得出，则，最后根据即可求解．
【详解】解：过点B作，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案为：270．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握：平行于同一直线的两直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补．
4．（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）如图，若，，且，，则_______．
【答案】/20度
【分析】过点E作，过点F作，则，根据平行线的性质，结合可证，再根据推出，即可列式求解．
【详解】解：如图，过点E作，过点F作，
，，，
，．
，，，，
，，，，
，，
，，，
，，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2023春·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是______．
【答案】/80度
【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得．
【详解】解：如图，过点F作，
∵，∴，∴，，
∵，，∴，，
∴，
∵，∴．故答案为．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
6．（2023春·浙江温州·七年级期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则_________．
【答案】
【分析】分别过点M、E、N、F作线段，使得，根据平行线的性质，推出，，进而得到，即可求出的度数．
【详解】解：分别过点M、E、N、F作线段，使得，
，，，，
，，
，
，
，，，
，
，，，，
，
，，
，即，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，巧妙利用多条平行线找出角度之间的数量关系是解题关键．
三、解答题
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，一副三角板，其中．
(1)若这副三角板如图摆放，，求的度数．
(2)将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，求所有满足条件的的值．
(3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，请直接写出满足条件的的值．
【答案】(1)(2)15或60或105或150(3)30或120
【分析】（1）由题意得，，，，利用平行线的性质可得，即可求得答案；（2）当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可求解；当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可求解；
（3）当时，延长交于点，分两种情况讨论：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质求解即可；当时，延长交于点，分两种情况讨论：当在上方或在下方时，分别运用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，由题意得，，，，
，
，，
，
；
（2）解：如图，当时，延长交于点，
， ，
当在上方时，，
，，，，
，即，；
当在下方时，，
，，，
，，，即，；
当时，
当在上方时，，如图，延长交于点，
根据题意得：，，，
，，，即，；
当在下方时，如图，延长交于点，
，
根据题意可知：，，，
，，，
，即，
综上所述：所有满足条件的的值为15或60或105或150；
（3）解：由题意得，，，
如图，当时，延长交于点
，
当在上方时，，，，
，，，即，，
当在下方时，，
，，，
，，，即，
（不符合题意，舍去）；
当时，延长交于点，
当在上方时，，如图，
，
根据题意得：，
，，，
即，，
，此时应该在下方，不符合题意，舍去；
当在下方时，如图，
，
根据题意可知：，
，，
，即，，
综上所述：所有满足条件的的值为30或120．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨论的思想解决问题．
9．（2023春·江苏徐州·七年级统考期中）如图1，大运河某河段的两岸、安置了两座可旋转探照灯M、N假设河道两岸平行（即），灯M光从开始顺时针旋转至便立即回转，灯N光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停照射巡逻．灯M转动的速度是每秒1度，灯N转动的速度是每秒2度，灯M转动的时间为t秒．
(1)若灯M光束先转动30秒后，灯N光束才开始转动．
①直接写出灯M光束和灯N光束，灯 先回转；（填M或N）
②在灯M光束到达之前，当两灯的光束平行时，求t的值；
(2)如图2，连接，且． ①直接写出= ；②若两灯同时转动，在灯N到达之前，若两灯光束交于点E，在转动过程中，请探究与的之间数量关系 并说明理由．
【答案】(1)① N；②t的值为60s或140s(2)①60°；②，理由见解析
【分析】（1）①求出时间，再比较即可；②分两种情况，当灯N回转前，根据平行线的性质得，，进而得出关于t的关系式，计算得出答案；当灯N回转后，仿照解答即可；
（2）①根据两直线平行，同旁内角互补可得答案；②先求出，再表示出，， 根据，可得结论．
【详解】（1）① N．
灯M转到的时间（秒），灯N转到的时间为（秒），可知，
所以灯N先回转；故答案为：N；
②当灯N回转前，如图，
由题意：，．
∵，∴．
∵,∴，∴，解得．
当灯N回转后，如图，
由题意：，，
∵，∴．
∵，∴，
∴，解得．
答：t的值为60s或140s；
（2）①∵，∴，
即，解得．故答案为：；
②．理由是：
由①知，∴．
设两灯同时运动xs，则，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，解一元一次方程等，理解运动过程是解题的关键．
10．（2023春·江苏·七年级期中）已知直线，点E，F分别在上，O是平面内一点(不在直线、、上)，平分，射线，交于点H．
(1)如图①，若，则 ，
(2)如图②，若，则 ；
(3)直接写出点O在不同位置时、和三个角之间满足的数量关系．
【答案】(1)(2)(3)若点O在直线与之外，且在直线的左侧，则有；若点O在直线与之外，且在直线的右侧，则有；若点O在直线与之间，则有；
【分析】（1）由题意知，，则，，由平分，可求，根据，计算求解即可；（2）求解过程同（1）；（3）分①若点O在直线与之外，且在直线的左侧；②若点O在直线与之外，且在直线的右侧；③若点O在直线与之间，三种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∴，∴，
∵平分，∴，∴，故答案为：；
（2）解：∵，，∴，
∴，，
∴，
∵平分，∴，
∵，∴，
解得，故答案为：；
（3）解：由题意知，分情况讨论：
①当点O在直线与之外，且在直线的左侧时，如图1，2，
如图1，
∵，，∴，
∴，，
∵平分，∴
∵，
∴，
∴；如图2，
∵，，∴，
∴，，
∵平分，∴
∵，
∴，∴；
综上所述，当点O在直线与之外，且在直线的左侧时，；
②当点O在直线与之外，且在直线的右侧时，如图3，4，
如图3，
∵，，∴，
∴，，
∵平分，∴
∵，
∴，
∴；如图4，
∵，，∴，
∴，，
∵平分，∴
∵，
∴，
∴；
综上所述，当点O在直线与之外，且在直线的右侧时，；
③由（1），（2）可知，，
综上所述，若点O在直线与之外，且在直线的左侧，则有；
若点O在直线与之外，且在直线的右侧，则有；
若点O在直线与之间，则有；．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识．解题的关键在于根据题意确定角度之间的数量关系．
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