卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年南通市高二学年度质量监测
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B.
C. D.
2.已知，则
A. B.1 C. D.2
3.从5件不同的礼物中选出3件分别送给3名同学，则不同的送法共有
A.240种 B.125种 C.120种 D.60种
4.若一组数据1，1，，4，5，5，6，7的25百分位数是2，则
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则
A. B.
C. D.
6.若，则
A. B. C. D.
7.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，用一个平行于底面的平面去截圆台，截得上下两部分的体积之比为14：13，则截面半径为
A. B. C. D.
8.已知函数若函数有五个零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，则
A. B.
C. D.
10.已知正方体，则
A.平面平面 B. 平面
C. 与所成角为60° D. 与平面所成角为45°
11.已知是定义在上的奇函数，，当时，，则
A. B.
C. D.
12.某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果，甲地块产出苹果中一级果个数占75%，乙地块产出苹果中一级果个数占60%，丙地块产出苹果中一级果个数占80%.已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2：5：3，现将三个地块产出的苹果混放一堆，则下列说法正确的是
A.任取一个苹果是甲地块产出的概率为0.2
B.任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为0.75
C.任取一个苹果是一级果的概率为0.69
D.如果取到的一个苹果是一级果，则其是由甲地块产出的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如果随机变量，且，则________.
14.已知向量，，若，则实数________.
15.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长分别为4和，其所有面都与同一个球相切，则该球的表面积为________.
16.已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：________，________.（对一空得2分，对两空得5分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
有8个相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件A，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件B.
（1）试判断A，B是否为相互独立事件，并说明理由；
（2）求.
18.（12分）
如图，在正三棱柱中，D为的中点.
（1）求证：；
（2）若，，求点B到平面的距离.
19.（12分）
已知函数，.
（1）若，解关于的不等式；
（2）若函数的最小值为-4，求m的值.
20.（12分）
“使用动物做医学实验是正确的，这样做能够挽救人的生命”.一机构为了解成年人对这种说法的态度（态度分为同意和不同意），在某市随机调查了200位成年人，得到如下数据：
男性 女性 合计
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
（1）能否有99%的把握认为成年人对该说法的态度与性别有关？
（2）将频率视为概率，用样本估计总体.若从该市成年人中，随机抽取3人了解其对该说法的态度，记抽取的3人中持同意的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，
0.025 0.010 0.005
5.024 6.635 7.879
21.（12分）
如图，在三棱锥中，，D是AC的中点，E是AB上一点，平面PDE.
（1）证明：平面PBC；
（2）若，，求二面角的正弦值.
22.（12分）
已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，，求的取值范围.
2023年南通市高二学年度质量监测
数学参考答案与评分建议
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 【答案】C 2. 【答案】B 3. 【答案】D 4. 【答案】C
5. 【答案】A 6. 【答案】D 7. 【答案】A 8. 【答案】D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 【答案】BC 10. 【答案】ABC 11. 【答案】BCD 12. 【答案】ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 【答案】0.8 14. 【答案】-3 15. 【答案】 16. 【答案】，
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 【解】（1）解法一：，，.
若A发生，则B发生的概率为；
若A不发生，则B发生的概率为；
可见，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，
因此，A，B为相互独立事件.
解法二：，，，.
所以，，，
即.
因此，A，B为相互独立事件.
（2）解法一：由概率性质得
.
解法二：，，，.
所以.
18. 【解】（1）在正三棱柱中，
平面，
因为平面，所以；
在正三角形中，，D为中点，
所以；
又因为，平面，
所以平面；
因为平面，
所以.
（2）连接，交于点O，
在正三棱柱中，侧面为平行四边形，
所以O为的中点，
所以B到平面的距离等于到平面的距离；
设到平面的距离为，
因为，，所以正三角形的边长为，
所以，的面积为，
所以三棱锥的体积.
又，
在中，，，
所以，
所以，
从而，即.
所以点B到平面的距离为.
19.【解】（1）时，由得，
，，
因为，所以，解得，
所以原不等式的解集为.
（2）因为
，
令，因为，
所以，（当且仅当时取得等号）
则，
①当，即时，在上单调递增，
当，即时，，
所以，解得，符合题意；
②当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
当，，
所以，解得，不合题意，舍去.
综上，的值为-3.
20. 【解】（1）提出假设：成年人对该问题的态度与性别无关.
根据列联表中的数据可以求得
.
因为当成立时，的概率约为0.01，
这里，
所以我们有99%的把握认为，对该问题的态度与性别有关.
（2）从该市成年人中随机抽取1人持同意态度的概率为，
由题意，，
，
，
，
，
0 1 2 3
因此，随机变量的数学期望为
解法一：.
解法二：.
21. 【解】（1）证明：因为平面PDE，平面PDE，
所以，
因为，且直线平面ABC，
所以，
因为平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC；
（2）取DE的中点O，连结PO，过点O作交BC于点F，
因为，所以，
因为平面PDE，平面PDE，
所以，因为，
所以平面，所以.
如图，以，为正交基底建立空间直角坐标系，
因为D是AC的中点，，
所以，，，，
因为，所以，即，
所以，，，；
设平面的一个法向量，
则即
令，得，，
所以平面的一个法向量，
设平面PBE的一个法向量，
则即
令，得，，
所以平面PBE的一个法向量，
所以
设二面角为，，
所以，
所以二面角的正弦值为.
22. 【解】（1）的定义域为，
当时，，
，
令，解得，
2
- 0 +
极小值
所以的极小值；
（2）当时，等价于当时，，
令，则在上恒成立，
所以，
令，
所以，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，
①当，即时，，
所以，即在上单调递增，
所以，
所以当时，；
②当，即时，
，
又，
因为，所以，所以，
因为，且图象在上连续不间断，
所以存在，使得，
因为当时，，即，
所以在上单调递减，
所以，这与在上恒成立矛盾，
所以不合题意，舍去；
综上所述，的取值范围是.