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作业06：平面直角坐标系-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如图，平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6．…，其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为…，按此规律排下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（ ）
A． B．平移的距离是4
C． D．四边形的面积为16
5．在正方形网格中，点A、B、C的位置如图所示，建立适当的直角坐标系后，点B，C的坐标分别是，，则点A在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“友好点”．如果点的友好点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的伴随点，已知的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．图中显示了10名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：h），下列说法中错误的是（）
A．只有一个同学的阅读和看电视的时间相同 B．只有两个同学的看电视时间是相同的
C．只有两个同学的阅读时间是相同的 D．阅读时间大于看电视时间的同学较多
9．将点沿轴先向左平移4个单位长度，再沿轴向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，有一点在第一象限，且点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则n、m的值分别为（ ）
A．5， B．3，1 C．2，4 D．4，2
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为8，与y轴交于点，顶点，将一条长为2023个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M出发将细绳紧绕在正方形的边上，则细绳的另一端到达的位置点N的坐标为________．
12．如果点在x轴上，则点P的坐标是______．
13．如图，若干个点以箭头方向排列，则第1000个点的坐标为______．
14．已知一平面直角坐标系内有点，点，点，若在该坐标系内存在一点D，使轴，且，点D的坐标为____．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，得到线段的对应线段，连接，．若在轴上存在一点，连接，，且的面积是面积的倍，则满足条件的所有点的坐标__________．
16．已知点在第四象限，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是__________．
17．如图长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙都从点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2023次相遇点的坐标是___________．
18．如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是，“帅”的坐标是，则“馬”的坐标是 ___________．
19．在同一坐标系中，图形a是图形b向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a中A点的坐标为，则图形b中与A点对应的点的坐标为 _____．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线，称为正方形的“渐开线”，则的坐标是______，那么的坐标为______．
三、解答题
21．如图，三角形在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为，．
(1)求三角形的面积；
(2)图中三角形内一点P，经平移后对应点为Q，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，O，B的对应点分别为点C，D，E．画出三角形，并写出该三角形各顶点的坐标；
(3)y轴上是否存在点M，使得三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，直接写出点M的坐标：若不存在．请说明理由．
22．已知在方格中，位置如图所示，其中点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)写出点C的坐标___________；
(2)经某种变换得到，其中点A对应点的坐标为，点B对应点的坐标为，请在图上标出点；
23．如图，在平面直角坐标系中，点，，且是方程的解．
(1)求点和点的坐标；
(2)点在第一象限，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，若的面积为12，求线段的长；
(3)在（2）的条件下，连接，为轴上一个动点，若使的面积等于面积的一半，请直接写出点的坐标．
24．已知，对于平面直角坐标系中的点，若点（其中为常数，且，则称点为点的“系好点”．例如：的“系好点”为，即．
(1)求点的“系好点”的坐标；
(2)若点P在轴的正半轴上，点的“系好点”为点，，求的值；
(3)已知点在第二象限，且满足，点为点的“系好点”，求的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点，若点关于轴的对称点为点，关于轴的对称点为点．
(1)请在图中画出；
(2)将向上平移2个单位，再向右移4个单位得到，画出，并直接写出的坐标．
26．如图，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，且点A的对应点是，点、的对应点分别是、．
(1)点A、之间的距离是______；
(2)请在图中画出．
27．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”．
(1)已知点的“级关联点”是点，则点的坐标为______；
(2)已知点的“级关联点”N位于x轴上，求点N的坐标；
(3)在（2）的条件下，若存在点H，使轴，且，直接写出H点坐标．
28．如图，三角形内任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．
(1)在图中画出三角形
(2)求四边形的面积；
(3)若点M为边上一点，，则点F到的距离为______
29．在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任何两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．
例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．
(1)已知点，，，求三点的“矩面积”S．
(2)若点，，三点的“矩面积”S为12，求点P的坐标．
30．如图1，在平面直角坐标系中，点B在第一象限内．轴交y轴于点A，轴交x轴于点C，线段和的长分别为m和n，且，点D的坐标为．
(1)点B的坐标为____________；
(2)点M从D点出发，以每秒6个单位长度的速度沿x轴向右运动，设点M的运动时间为秒，连接，若记为，为β，为．
①如图2，点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动时，直接写出t的取值范围：并证明：；
②若在点M开始运动的同时，点N从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿轴向上运动，当时，求t的值，并直接写出相应的，β，之间的关系．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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作业06：平面直角坐标系-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如图，平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点坐标计算长方形的周长为，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的余数即可求出第2023次相遇点的坐标．
【详解】解：长方形的周长为，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，
根据题意得，
解得，
∴当时，P、Q第一次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，P、Q第二次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，P、Q第三次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，P、Q第四次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，P、Q第五次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，P、Q第六次相遇，此时相遇点坐标为，
∴五次相遇一循环，
∵，
∴的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，根据题意找出相遇点的坐标的变换规律是解题的关键．
2．图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6．…，其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为…，按此规律排下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，确定点在x轴上方，分别求出点的坐标为，点的坐标为，……，点的坐标为，即可求解．
【详解】解：观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，
∵，
∴点在x轴上方，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点的坐标为，
同理可知，点的坐标为，
∴点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把点的横坐标加2，纵坐标不变，据此即可解答．
【详解】解：点向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律“左右横,上下纵,正加负减”是解答本题的关键．
4．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（ ）
A． B．平移的距离是4
C． D．四边形的面积为16
【答案】B
【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：A．∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置，
∴，，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
B．平移距离应该是的长度，由，可知，故B错误，符合题意；
C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故C正确，不符合题意；
D．∵的面积是4，，
∴，
∵由平移知：，
∴，
四边形的面积：，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键．
5．在正方形网格中，点A、B、C的位置如图所示，建立适当的直角坐标系后，点B，C的坐标分别是，，则点A在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意得，建立如图直角坐标系，再判断即可．
【详解】根据题意得，建立如图直角坐标系，如图：
∴点A在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查直角坐标系，解题的关键是根据，构造合适的直角坐标系．
6．在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“友好点”．如果点的友好点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据“友好点”的定义，分两种情况进行讨论，求解即可．
【详解】当，即时，，解得，
；
当，即时，，解得，
综上：点的坐标为或；
故选C．
【点睛】本题考查坐标系下点的规律探究．理解并掌握“友好点”的定义，是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的伴随点，已知的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．
【详解】解：的坐标为，
，，，，
，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
，
点的坐标与的坐标相同，为．
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，解题的关键是求出每4个点为一个循环组依次循环．
8．图中显示了10名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：h），下列说法中错误的是（）
A．只有一个同学的阅读和看电视的时间相同 B．只有两个同学的看电视时间是相同的
C．只有两个同学的阅读时间是相同的 D．阅读时间大于看电视时间的同学较多
【答案】B
【分析】先用有序实数对表示图中各点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，进而根据各点的横纵坐标的关系分析各选项即可得解。
【详解】解∶名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间在图中表示的点用有序实数对表示，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
∵只有，的横纵坐标相同，
∴只有一个同学的阅读和看电视的时间相同，故项正确，不符合题意；
∵，与，的横坐标相同，，与，的横坐标相同，
∴有名同学看电视时间是小时，另有名同学看电视的时间为小时，故项错误，符合题意；
∵只有，，，的纵坐标相同，
∴只有两个同学的阅读时间是相同的，故项正确，不符合题意；
∵，，，，，，，，，共人的横坐标小于纵坐标，，，，，，，，共人的横坐标大于纵坐标，
∴阅读时间大于看电视时间的同学较多正确，故项正确，不符合题意；
故选。
【点睛】本题考查坐标确定位置，解题的关键是利用有序对来表示点的位置以及坐标系表示的意义。
9．将点沿轴先向左平移4个单位长度，再沿轴向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解答．
【详解】解：将点沿轴先向左平移4个单位长度，再沿轴向下平移2个单位长度得到点，
点的坐标为，即，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平移中点的变化规律：横坐标左减右加；纵坐标下减上加．
10．在平面直角坐标系中，有一点在第一象限，且点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则n、m的值分别为（ ）
A．5， B．3，1 C．2，4 D．4，2
【答案】A
【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点A的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得m、n的值．
【详解】∵点到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，
∴，．
又∵点A在第一象限内，
∴，
∴，．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号以及点到坐标轴的距离是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为8，与y轴交于点，顶点，将一条长为2023个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M出发将细绳紧绕在正方形的边上，则细绳的另一端到达的位置点N的坐标为________．
【答案】或
【分析】根据题意求出各点的坐标和正方形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】解：∵正方形的边长为8，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴绕正方形一周的细线长度为，
∵，
∴细线另一端在绕正方形第64圈的第7个单位长度的位置，
即在边或在边上，
∴点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标和正方形一周的长度，从而确定2023个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
12．如果点在x轴上，则点P的坐标是______．
【答案】
【分析】根据x轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可．
【详解】解：∵在x轴上，
∴，解得：，
则，
∴点P的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，熟记在轴上的点，纵坐标等于0；在轴上的点，横坐标等于0是解题的关键．
13．如图，若干个点以箭头方向排列，则第1000个点的坐标为______．
【答案】
【分析】根据坐标得出规律第列：共个点，前列总点数为：，当时，，当时，，第1000个数位于第45列，由图可知，奇数列各点是从下往上排列，纵坐标为，即可得到答案．
【详解】解：由图可知：
第1列：共1个点，
第2列：共2个点，
第3列：共3个点，
第4列：共4个点，
第5列：共5个点，
……
第列：共个点，
前列总点数为：，
当时，，
当时，，
第1000个数位于第45列，
由图可知，奇数列各点是从下往上排列，
第1000个点位于第45列从下到上：个位置上，其横坐标为45，纵坐标为，
第1000个点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的找规律，根据图观察得出规律，是解题的关键．
14．已知一平面直角坐标系内有点，点，点，若在该坐标系内存在一点D，使轴，且，点D的坐标为____．
【答案】或/或
【分析】将点，点，点的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的坐标可知，轴，从而可求得的长；再由点C的坐标及轴，可知点D的横坐标，设点D的纵坐标为m；然后根据，可得关于m的方程，解得m的值即可．
【详解】解：将点，点，点的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示：
∵点，点，
∴轴，
∴，
∵点，轴，
∴点D的横坐标为，设点D的纵坐标为m，
∵，
∴，
∴或7．
∴点D的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并数形结合是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，得到线段的对应线段，连接，．若在轴上存在一点，连接，，且的面积是面积的倍，则满足条件的所有点的坐标__________．
【答案】或
【分析】设点到的距离为，则，根据，列方程求的值，确定点坐标．
【详解】∵点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，
则
的面积是面积的倍，
，
设点到的距离为，则，
，
，
解得：，
，或，．
故答案为：，或，．
【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，解题的关键是理解平移的规律．
16．已知点在第四象限，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是__________．
【答案】
【分析】根据点P在第四象限确定坐标符号，再根据点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，即可确定点的坐标．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，，
∵点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴，，
∴点P的坐标为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标系内点的坐标特点，熟练掌握第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负是解题的关键．
17．如图长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙都从点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2023次相遇点的坐标是___________．
【答案】
【分析】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律．
【详解】解：由题意可得长方形周长为12，
甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒，
两个物体每次相遇时间间隔为秒，
两个物体相遇点依次为、、，
，
第2023次两个物体相遇位置为，
故答案为：．
【点睛】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解题的关键是找到两个物体相遇的位置变化规律．
18．如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是，“帅”的坐标是，则“馬”的坐标是 ___________．
【答案】
【分析】先利用已知点坐标得出原点位置，进而确定“馬”的坐标即可．
【详解】解：由棋盘中“相”的坐标是，“帅”的坐标是，
则建立如图所示坐标系：
“馬”的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
19．在同一坐标系中，图形a是图形b向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a中A点的坐标为，则图形b中与A点对应的点的坐标为 _____．
【答案】
【分析】根据平移的规律计算即可．
【详解】解：∵图形a是图形b向上平移3个单位长度得到的，再向左平移2个单位得到，图形a中点A的坐标为，
∴设图形b中与点A对应的点的坐标为，
则，
解得
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移计算，熟练掌握平移的基本规律是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线，称为正方形的“渐开线”，则的坐标是______，那么的坐标为______．
【答案】
【分析】根据题意分别写出的坐标，根据规律求得的坐标．
【详解】解：，
由题意得，，，，，
，，，，
，．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．
三、解答题
21．如图，三角形在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为，．
(1)求三角形的面积；
(2)图中三角形内一点P，经平移后对应点为Q，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，O，B的对应点分别为点C，D，E．画出三角形，并写出该三角形各顶点的坐标；
(3)y轴上是否存在点M，使得三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，直接写出点M的坐标：若不存在．请说明理由．
【答案】(1)
(2)图见解析，，，
(3)存在，或
【分析】（1）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可；
（2）根据点P，经平移后对应点为Q，得到平移规则：先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，画出三角形，根据图形，写出各顶点的坐标即可；
（3）根据三角形的面积进行求解即可.
【详解】（1）解：；
（2）∵点P，经平移后对应点为Q，
∴平移规则为：先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
如图，三角形即为所求；
由图可知：点C的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为；
（3）设，
由（1）知：
则：三角形的面积，
解得：，
∴或.
【点睛】本题考查坐标与图形，坐标与平移。熟练掌握点的平移规则，是解题的关键.
22．已知在方格中，位置如图所示，其中点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)写出点C的坐标___________；
(2)经某种变换得到，其中点A对应点的坐标为，点B对应点的坐标为，请在图上标出点；
【答案】(1)
(2)图见解析
【分析】（1）根据点的坐标确定坐标系，进而写出点C的坐标即可；
（2）先根据点，点的坐标确定变换方式，进而得到点的位置．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴坐标系如图所示：
∴，
故答案为：；
（2）解：∵的对应点分解为，
又，，
∴是由先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的，
∴的坐标为：，即：，如图所示；
【点睛】本题考查坐标与图形，坐标与平移．根据已知点的坐标确定坐标系的位置，以及平移规则，是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，点，，且是方程的解．
(1)求点和点的坐标；
(2)点在第一象限，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，若的面积为12，求线段的长；
(3)在（2）的条件下，连接，为轴上一个动点，若使的面积等于面积的一半，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）解方程求出即可解决问题；
（2）先求出点到的距离为，由三角形面积公式可求解；
（3）由平移的性质可求点坐标，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）由，解得，，
，；
（2）轴，，
点的纵坐标为3，
点的对应点为点，点的纵坐标为，
点纵坐标与点纵坐标的差为4，
点纵坐标与点纵坐标的差为4，
轴，
点到的距离为，
，
；
（3），
点，
将线段进行适当的平移得到线段，
点，
的面积等于的面积的一半，
，
，
点，
或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了解一元一次方程，平面直角坐标系，平移的性质，三角形面积公式，坐标的平移等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．已知，对于平面直角坐标系中的点，若点（其中为常数，且，则称点为点的“系好点”．例如：的“系好点”为，即．
(1)求点的“系好点”的坐标；
(2)若点P在轴的正半轴上，点的“系好点”为点，，求的值；
(3)已知点在第二象限，且满足，点为点的“系好点”，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据“系好点”的定义列式计算即可求解，
（2）设，其中，则，得到，即可求解，
（3）点为点的“系好点”，可得到A为，由得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵点P＇是点的“－2系好点”，
∴，即；
（2）解：设，其中，则，
∴轴，
∴，
∵，，
∴，解得；
（3）解：∵的“1系好点”A为，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵点在第二象限，
∴．
【点睛】本题主要考查了考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点，若点关于轴的对称点为点，关于轴的对称点为点．
(1)请在图中画出；
(2)将向上平移2个单位，再向右移4个单位得到，画出，并直接写出的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）先根据对称性质确定坐标，后描点画图即可．
（2）先根据平移规律确定坐标，后描点画图即可．
【详解】（1）∵点，若点关于轴的对称点为点，关于轴的对称点为点，
∴，，
画图如下：
．
（2）∵，，点，
∴向上平移2个单位，再向右移4个单位得，，，，
画图如下：
，
故点．
【点睛】本题考查了坐标系中的点的对称性和平移规律，熟练掌握对称特点，平移规律是解题的关键．
26．如图，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，且点A的对应点是，点、的对应点分别是、．
(1)点A、之间的距离是______；
(2)请在图中画出．
【答案】(1)4
(2)见解析
【分析】（1）根据点A、的坐标，即可得平移方式，即可求解；
（2）由平移规律可画得．
【详解】（1）解：，，
点A、之间的距离是，
故答案为：；
（2）解：，，
把向右平移4个单位长度得到，
如图所示，即为所求．
【点睛】本题考查了图形的平移，平移规律的探究，根据题意得到平移规律是解决本题的的关键．
27．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”．
(1)已知点的“级关联点”是点，则点的坐标为______；
(2)已知点的“级关联点”N位于x轴上，求点N的坐标；
(3)在（2）的条件下，若存在点H，使轴，且，直接写出H点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；
（2）根据关联点的定义和点的“－3级关联点”N位于x轴上，即可求出点N的坐标；
（3）由轴，且，分点在点左侧和右侧两种情况计算即可．
【详解】（1）∵点的“级关联点”是点，
∴点坐标为，即，
故答案是；
（2）∵点的“级关联点” 是点N，
∴点坐标为，即，
∵点N位于x轴上，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵在（2）的条件下，，
∴，
∵轴，且，
∴或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题的关键是正确理解“a级关联点”的意义，灵活运用所学知识解决问题．
28．如图，三角形内任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．
(1)在图中画出三角形
(2)求四边形的面积；
(3)若点M为边上一点，，则点F到的距离为______
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据点P和的坐标确定平移方式，进而确定A、B、C对应点D、E、F的位置，然后顺次连接D、E、F即可；
（2）求出D、E、F的坐标，根据进行求解即可；
（3）根据平行线间间距相等推出，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）解：∵三角形内任意一点经平移后对应点为，
∴平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度，
∵将三角形作同样的平移得到三角形，，，
∴，
∴轴，
∴；
（3）解：由平移的性质可得，
设点A到的距离为，点F到的距离为，
∴，
∴，
∴，
∴点F到的距离为．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，平移的性质，平行线的性质，三角形面积定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
29．在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任何两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．
例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．
(1)已知点，，，求三点的“矩面积”S．
(2)若点，，三点的“矩面积”S为12，求点P的坐标．
【答案】(1)16
(2)或
【分析】（1）已知三点的坐标，根据新定义计算“水平底”、“铅垂高”，再根据“矩面积”的计算方法即可解答；
（2）由三点的坐标可知“水平底” ，关键是确定“铅垂高”；由于不确定的取值，因此需分、、三种情况，分别表示出三种情况下的“矩面积”，结合“矩面积”为12求解的值即可．
【详解】（1）解：三点的“水平底”，“铅锤高”．
∴“矩面积”；
（2）三点的“水平底”，“矩面积”S为12．
当时，，
则“矩面积”，不合题意；
当时，，
则，解得，
∴点P的坐标为．
当时，，
则，解得，
∴点P的坐标为．
综上：点P的坐标为或．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．
30．如图1，在平面直角坐标系中，点B在第一象限内．轴交y轴于点A，轴交x轴于点C，线段和的长分别为m和n，且，点D的坐标为．
(1)点B的坐标为____________；
(2)点M从D点出发，以每秒6个单位长度的速度沿x轴向右运动，设点M的运动时间为秒，连接，若记为，为β，为．
①如图2，点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动时，直接写出t的取值范围：并证明：；
②若在点M开始运动的同时，点N从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿轴向上运动，当时，求t的值，并直接写出相应的，β，之间的关系．
【答案】(1)
(2)①见解析；②，；，
【分析】（1）利用非负性求出的值，即可得到点B的坐标；
（2）①根据点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动，求出的取值范围，过点M作，利用平行线的判定和性质，进行求解即可；②分点M在点C左侧和点M在点C右侧，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
故答案：．
（2）解：①∵D的坐标为，M从D点出发，以每秒6个单位长度的速度沿x轴向右运动，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴到达的时间为：，到达的时间为：，
∴当点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动时：；
证明∶过点M作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
②∵点N从出发以每秒4个单位长度的速度沿y轴向上运动，
∴
当点M在点C左侧时，，
∵，
∴，
解得．
此时，如图，点M在点O左侧，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点M在点C右侧时，，
∵，
∴，
解得．
此时，如图3，点M在点C右侧，
同法可得：．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行线的性质和判定．解题的关键是添加辅助线，构造平行线．
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