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作业15：三角形全等的判定-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如图，某三角形材料断裂成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三块，现要配置与原材料全等的三角形材料，应该利用材料Ⅲ，这样做利用的是三角形全等判定方法中的（ ）
A．边角边 B．角角边 C．角边角 D．边边边
2．如图，在和中，，，要利用“”证明，需增加的一个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，，，据此可以证明，证明的依据是（ ）
A．AAS B．SSA C．SAS D．HL
5．有下列说法：①形状相同的两个图形是全等图形；②两个面积相等的正方形是全等形；③全等三角形的面积相等；④若，，则．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
7．下列各条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知三个角 B．已知两边和其中一边的对角
C．已知三角形的周长 D．已知两边和它们的夹角
8．如图，，，要使，需要添加下列选项中的( )
A． B． C． D．
9．如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在与中，若，，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在中，，，，，则点的坐标为___________．
12．如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：_______________；要使用“”证明，应添加条件：_______________________．
13．如图，，且，，则的度数为______．
14．如图，点，，，在同一条直线上，且，，，若，，则____________．
15．如图，点，，，在一条直线上，已知，，请你添加一个适当的条件____________，根据可判定．
16．已知中，是边上的一点，，则的度数为_____．
17．有下列结论：①一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；②一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的是__________________．（填序号）
18．如图，点在上，于点，交于点，，．若，则________________．
19．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______．
20．下面给出5组条件：
①三条线段：；
②；
③；
④；
⑤．
其中能且只能画出唯一形状三角形的是_______．
三、解答题
21．如图，相交于点O，，延长到F，延长到E，，连接．求证．
22．如图，，，．求证：．
23．如图，点，，，在直线上，，，且，求证：.
24．如图，点，，，在同一条直线上，于点，于点，，，求证：．
25．如图，在中，为的中点，于点，于点，．求证：．
26．如图，已知，，且，，求证：．
27．小春在做数学作业时，遇到这样一个问题：如图，，，请说明．小春动手测量了一下，发现确实等于，但她不能说明其中的道理，你能帮助她吗
28．如图，，，，分别与，相交于点O，F．求证：．
29．如图，点、是上的两点，且，，．求证：．
30．如图，在四边形中，，，，的两边分别交、于点、．探究图中线段，，之间的数量关系．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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作业15：三角形全等的判定-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如图，某三角形材料断裂成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三块，现要配置与原材料全等的三角形材料，应该利用材料Ⅲ，这样做利用的是三角形全等判定方法中的（ ）
A．边角边 B．角角边 C．角边角 D．边边边
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法“”可得可以配到与原三角形材料．
【详解】解：因为Ⅲ块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用可得到三角形全等，即得到与原三角形一样的材料，
故选C．
【点睛】考查了全等三角形判定和应用，解题关键利用了有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等．
2．如图，在和中，，，要利用“”证明，需增加的一个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明三角形全等是通过证明两个三角形的三条边对应相等，已知两条边相等，还需增加第三条边相等即可．
【详解】解：∵，，
因此还需增加，
A：，无法证明，不符合题意；
B：，无法证明，不符合题意；
C：，可证得，符合题意；
D：，无法证明，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键正确理解 “”的判定方法．
3．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【分析】解：①，，，
和不一定全等，
故①不符合题意；
②，，，
，
故②符合题意；
③，
，
，
，，
，
故③符合题意；
④，，，
，
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使的条件有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．如图，，，据此可以证明，证明的依据是（ ）
A．AAS B．SSA C．SAS D．HL
【答案】D
【分析】依据图形可得到是公共边，然后依据直接直角三角形的全等判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴和均为直角三角形，
∵，
∴．
故选：．
【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，掌握直角三角形全等的判断是解题的关键．
5．有下列说法：①形状相同的两个图形是全等图形；②两个面积相等的正方形是全等形；③全等三角形的面积相等；④若，，则．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据全等图形的定义和性质进行判断即可．
【详解】解：①形状相同的两个图形不一定是全等图形，故说法错误；
②两个面积相等的正方形是全等形，故说法正确；
③全等三角形的面积相等，故说法正确；
④若，，则，故说法正确，
故正确的有3个，
故选：D
【点睛】此题考查了全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键．
6．如图，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】C
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到，平分，即可判定A，B，D，即可求解.
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，平分（三线合一），
∴，
∵，，无法证明是等边三角形，
∴无法证明，
故选：C．
【点睛】考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定的应用，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
7．下列各条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知三个角 B．已知两边和其中一边的对角
C．已知三角形的周长 D．已知两边和它们的夹角
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、已知三个角，不能用证明三角形全等，不能作出唯一三角形，不符合题意；
B、已知两边和其中一边的对角，不能用证明三角形全等，不能作出唯一三角形，不符合题意；
C、已知三角形的周长，并不能得到三边的长，不能证明三角形全等，不能作出唯一三角形，不符合题意；
D、已知两边和它们的夹角，可以利用证明三角形全等，能作出唯一三角形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．
8．如图，，，要使，需要添加下列选项中的( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得，再根据等式的性质可得，然后根据来证明，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合三角形全等的判定条件，依次对三片玻璃进行分析即可．
【详解】解：第一片玻璃只有一个角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；
第二片玻璃既没有边与原三角形相等，也有没有角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；
第三片玻璃有两角及其夹边与原三角形相等，可以通过判定新三角形与原三角形全等；
故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定条件，解题的关键是熟练掌握三角形全等的相关知识．
10．如图，在与中，若，，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据所给条件可知，应加已知边的夹角才可证明这两个三角形全等．
【详解】解：A、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
B、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
C、加上可得，即，根据能证明这两个三角形全等，故此选项符合题意；
D、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
二、填空题
11．在中，，，，，则点的坐标为___________．
【答案】或/或
【分析】过点作轴于点，作轴于点，结合，可得，．分两种情况讨论：①当点在左侧时，过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得，，可得，即有；②当点在右侧时，证明，由全等三角形的性质可得，，，即有．即可获得答案．
【详解】解：过点作轴于点，作轴于点，如下图，
∵，，
∴，，
分两种情况讨论：
①当点在左侧时，过点作于点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②当点在右侧时，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、点的坐标、全等三角形的判定与性质等知识，结合题意作出图形，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
12．如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：_______________；要使用“”证明，应添加条件：_______________________．
【答案】 （或） （或）
【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使，已知，，添加的条件是直角边相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．
【详解】解：已知，，
要使用“”， 添加的条件是直角边相等，
故答案为：（或）；
要使用“”，需要添加角相等，添加的条件为：
（或）．
故答案为：（或）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题的关键是，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
13．如图，，且，，则的度数为______．
【答案】/度
【分析】先根据平行线的性质得到，再由全等三角形的性质即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．
14．如图，点，，，在同一条直线上，且，，，若，，则____________．
【答案】6
【分析】先根据平行线的性质得到，，再利用证明得到，进一步推出，则．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
15．如图，点，，，在一条直线上，已知，，请你添加一个适当的条件____________，根据可判定．
【答案】（或）
【分析】由条件只需再找第三边相等或能使第三边相等的线段相等即可．
【详解】解：由题意知，当时，则根据可判定；
若，则，即，则根据可判定；
故答案为：（或）．
【点睛】本题考查添加一个条件使两个三角形全等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
16．已知中，是边上的一点，，则的度数为_____．
【答案】/90度
【分析】根据全等三角形的性质得到，由即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
17．有下列结论：①一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；②一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的是__________________．（填序号）
【答案】①②④
【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．逐条排除．
【详解】解：①一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合，能判定全等；
②一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形，符合或，能判定全等；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形，没有边相等，不符合全等判定，不能判定全等；
④有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形，符合，能判定全等．
综上，正确的有①②④
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；判断两个三角形全等，至少应有一条对应边相等参与其中，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
18．如图，点在上，于点，交于点，，．若，则________________．
【答案】55°/55度
【分析】利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．
19．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______．
【答案】/45度
【分析】证明，可证∠1与∠3互余，由方格纸的特点可知∠2是直角的一半，进而可求结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，以及方格纸的特点，数形结合是解答本题的关键．
20．下面给出5组条件：
①三条线段：；
②；
③；
④；
⑤．
其中能且只能画出唯一形状三角形的是_______．
【答案】③⑤/⑤③
【分析】根据三角形三边关系，以及全等三角形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】①三条线段：，，不能画出三角形，故①不合题意；
②，已知两边和一角，角不是两边的夹角，不能画出唯一三角形，故②不合题意；
③，根据，能且只能画出唯一形状三角形，故③符合题意；
④，不能画出唯一三角形，故④不合题意；
⑤．根据，能且只能画出唯一形状三角形，故⑤符合题意；
故答案为：③⑤．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，以及全等三角形的判定定理，熟练掌握三角形三边关系，以及全等三角形的判定定理是解题的关键．
三、解答题
21．如图，相交于点O，，延长到F，延长到E，，连接．求证．
【答案】见解析
【分析】根据等式的性质得出，再利用证明，再利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
【详解】证明：，
，即，
，
，
．
．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用边角边证明两个三角形全等．
22．如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据平行线的性质得到，再证明，由此即可利用证明．
【详解】证明：，
．
，
∴，
．
在和中，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．
23．如图，点，，，在直线上，，，且，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】根据平行线的性质得出，结合已知判定与全等，根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】证明：，
，即.
，
，
又，
，
.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24．如图，点，，，在同一条直线上，于点，于点，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】由题意易得，由证明，得，由平行线的判定定理即可证明结论．
【详解】证明：，，
．
，
，
．
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，平行线的判定等知识，证明两个直角三角形全等是解题的关键．
25．如图，在中，为的中点，于点，于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明与都是直角三角形，再证明，再结合已知条件可得结论．
【详解】证明：，，
与都是直角三角形．
为的中点，
．
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练的利用斜边直角边公理证明三角形全等是解本题的关键．
26．如图，已知，，且，，求证：．
【答案】见解析
【分析】利用证明，推出，再利用等角的余角相等证得，证明即可解决问题．
【详解】证明：，，
，
．
，，
，
．
又，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角的余角相等，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
27．小春在做数学作业时，遇到这样一个问题：如图，，，请说明．小春动手测量了一下，发现确实等于，但她不能说明其中的道理，你能帮助她吗
【答案】能，见解析
【分析】连接，则，又已知，可以判定，即可求解．
【详解】解：能．连接．
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，需要把相等的线段，通过转化，放在两个三角形中求全等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
28．如图，，，，分别与，相交于点O，F．求证：．
【答案】见解析
【分析】证明，可得，，从而可得，再利用三角形的内角和定理和对顶角相等可得即可．
【详解】证明：，，，
，
，，
，即，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
29．如图，点、是上的两点，且，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质求出，，根据推出两三角形全等即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握角边角的方法证明三角形全等．
30．如图，在四边形中，，，，的两边分别交、于点、．探究图中线段，，之间的数量关系．
【答案】，见解析
【分析】延长到点，使，连接，证明，结合，，可得，，，再证明，可得，从而可得结论．
【详解】解：延长到点，使，连接．
，，
．
，，
．
，．
．
，
，
即．
，
．
．
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法并灵活运用是解本题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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