卷子答案网-一个不只有答案的网站5.1矩形（2）练习
一．选择题
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量其中三个角是否都为直角
2．如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2 D．AC⊥BD
3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°
C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD
4．下列判断正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相平分的四边形是矩形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
5．如果依次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形，那么原来的四边形的两条对角线（ ）
A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．互相平分且相等
6．如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等），把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
二．填空题
1．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为53cm，这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”）．
2．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 ．
3．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=70°，将平行四边形ABCD变化为一个矩形（图中的虚线部分），在此过程中，分析每条边的运动．AB： ；AD： ；BC： ；CD： ．
4．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是 ．
三．解答题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
2．王华同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中， ，求证：平行四边形ABCD是 ．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按王晓的想法写出证明过程；
证明：
3．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
参考答案
一．选择题
1．D
【解析】A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选D．
2．B
【解析】A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AO=BO，
∴OA=OC=OB=OD，
即AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠ACB，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ACB，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
故选B．
3．C
【解析】∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴A正确；
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴B正确；
∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥DC，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴C不正确；
∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，如图所示：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴D正确；
故选：C．
4．C
【解析】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形；故本选项错误；
B、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形；故本选项正确；
D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误．
故选C．
5．B
【解析】由矩形的性质知，矩形的四个角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直．
顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形．
如图：∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF∥GH∥DB，EF=GH=DB，
EH=FG=AC，EH∥FG∥AC，
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形．
故选B．
6．B
【解析】如图，①②③，
；；
共有4种情况，两种平行四边形，矩形和一般的四边形；
故选B．
二．填空题
1．合格
【解析】∵长都为45cm，宽都为28cm，
∴此四边形是平行四边形，
∵桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为53cm，且452+282=532，
∴此四边形的一个角为90°，
∴此四边形是矩形．
∴这个桌面合格．
故答案为：合格．
2．对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【解析】这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．
3．不动；绕点A沿逆时针旋转20°；
绕点B沿逆时针旋转20°；平移．
【解析】ABCD是平行四边形，两组对边分别平行，只要保证一个角为90°，则四边形ABCD即为矩形．
4．矩形．
【解析】首先推出∠BAC=∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC=90°，可得平行四边形ABCD是矩形．
三．解答题
1．答案见解析
【解析】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
2．答案见解析
【解析】（1）在平行四边形ABCD中，AC=BD，求证：平行四边形ABCD是 矩形．
故答案为：AC=BD； 矩形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC，
在△ADC和△BCD中，
∵AC=BD,AD=BC,CD=DC
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD．
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=∠BCD=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．
3．答案见解析
【解析】（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF平行四边形．
（2）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
理由如下：
若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．
此时，点A、D、E、F四点共线，
∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
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