试卷答案
寻你做寻,想你所想

2023年浙江省杭州市余杭区联盟学校中考数学仿真试卷(含解析)

2023年浙江省杭州市余杭区联盟学校中考数学仿真试卷
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有
1.(3分)在一些美术字中,有的汉字可以看做是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是(  )
A.爱 B.我 C.中 D.华
2.(3分)下列四个数中属于负整数的是(  )
A.﹣0.2 B. C. D.﹣1
3.(3分)科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞,直径约为0.0000061米,将数据0.0000061用科学记数法表示正确的是(  )
A.6.1×10﹣5 B.0.61×10﹣5 C.6.1×10﹣6 D.0.61×10﹣6
4.(3分)下列计算正确的是(  )
A.a2+a3=a5 B.a2 a3=a6 C.a6÷a2=a3 D.(a2)3=a6
5.(3分)如图,该几何体的俯视图是(  )
A. B.
C. D.
6.(3分)为有效开展大课间体育锻炼活动,班主任李老师将班级同学进行分组(组数固定).若每组7人,则多余2人;若每组8人,则还缺3人.设班级同学有x人,则可得方程为(  )
A.7x+2=8x﹣3 B.7x﹣2=8x+3 C. D.
7.(3分)如图,已知AB∥CD∥EF,BC:CE=3:4,AF=21,那么DF的长为(  )
A.9 B.12 C.15 D.18
8.(3分)如图,AB是半圆O的直径,点D是弧AC的中点,若∠DAC=25°.则∠BAC等于(  )
A.40° B.42° C.44° D.46°
9.(3分)已知二次函数y1=(ax+1)(bx+1),y2=(x+a)(x+b),(a,b为常数,且ab≠0),则下列判断正确的是(  )
A.若ab<1,当x>1时,则y1>y2
B.若ab>1,当x<﹣1时,则y1>y2
C.若ab<﹣1,当x<﹣1时,则y1>y2
D.若ab>﹣1,当x>1时,则y1>y2
10.(3分)如图,在正方形ABCD中,,O是BC中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF.则线段OF长的最小值为(  )
A.8 B. C. D.
二、填空题:本题有6个小题,每小题4分,共24分.
11.(4分)cos60°=   .
12.(4分)因式分解:4x2﹣y2=   .
13.(4分)如图,在菱形ABCD中,分别以点A,C为圆心,AD,CB长为半径画弧,分别交对角线AC于点E,F,若AB=4,∠ABC=120°,则图中阴影部分的面积为    .(结果保留π)
14.(4分)已知一个不透明的盒子里装有5个球,其中3个黑球,2个白球,这些球除颜色外其他均相同.现从中任意摸出两个球,恰好颜色一样的概率是    .
15.(4分)如图,在△ABC中,AB,BC分别为⊙O的切线,点E和点C为切点,线段AC经过圆心O且与⊙O相交于点D,若,AD=,则OB的长为    .
16.(4分)对于二次函数y=kx2﹣(3k﹣1)x+2k﹣2.有下列说法:
①若k>0,则当x≥2时,y随x的增大而增大.
②无论k为何值,该函数图象与x轴必有两个交点.
③无论k为何值,该函数图象一定经过点(2,0)和(1,﹣1)两点.
④若k为整数,且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点,则k=1.
其中正确的是    .(只需填写序号)
三、解答题:本题有7小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)先化简,再求值:,其中x=﹣1.
18.(8分)第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行,某校为了解学生对“杭州亚运会”相关知识的掌握情况,对全校学生进行了一次测试,并随机抽取了若干名学生的测试成绩进行整理,绘制了如图所示不完整的频数分布直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值)和扇形统计图.
请根据统计图的信息,解答下列问题:
(1)求样本容量,并补充完整频数分布直方图.
(2)在抽取的这些学生中,圆圆的测试成绩为85分,你认为85分一定是这些学生成绩的中位数吗?请说明理由.
(3)若成绩在80分以上为优秀,请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数.
19.(8分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点P在∠BAC平分线AD上,过点P作线段EF分别交BD,AC于点E,F,已知∠CEF=2∠BAD.
(1)求证:△ABC∽△EFC.
(2)若BE=3DE=3,F是AC的中点,求CF的值.
20.(10分)设两个不同的一次函数y1=kx+b,y2=bx+k(k,b是常数,且kb≠0).
(1)若函数y1的图象经过点(m,0),函数y2的图象经过点(n,0),求证:mn=1.
(2)当y1<y2时,求x的取值范围.
21.(10分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,点C是弧BD的中点,延长AB到点E,使得BE=AD,连结AC,CE.
(1)求证:AC=CE.
(2)若,,∠BCD=120°,求BC的长.
22.(12分)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c是常数).
(1)当b=2,c=3时,求该函数图象的顶点坐标.
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n),当该函数图象经过点(1,﹣3)时,求n关于m的函数解析式.
(3)已知b=2c+1,当0≤x≤2时,该函数有最大值8,求c的值.
23.(12分)如图1,已知四边形ABCD是矩形,延长CB至点E,使得BE=AB,连结DE分别交AB,AC于点F,G.
(1)若AC⊥DE,求证:BC=BF.
(2)当BC=BF,AB=2时,求∠E的正切值.
(3)如图2,连结BG,当BC=BF时,求证:.
2023年浙江省杭州市余杭区联盟学校中考数学仿真试卷
(参考答案)
一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有
1.(3分)在一些美术字中,有的汉字可以看做是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是(  )
A.爱 B.我 C.中 D.华
【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项不合题意;
B、不是轴对称图形,故本选项不合题意;
C、是轴对称图形,故本选项符合题意;
D、不是轴对称图形,故本选项不合题意.
故选:C.
2.(3分)下列四个数中属于负整数的是(  )
A.﹣0.2 B. C. D.﹣1
【解答】解:根据负整数的定义可知,﹣1是负整数.
故选:D.
3.(3分)科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞,直径约为0.0000061米,将数据0.0000061用科学记数法表示正确的是(  )
A.6.1×10﹣5 B.0.61×10﹣5 C.6.1×10﹣6 D.0.61×10﹣6
【解答】解:0.0000061=6.1×10﹣6,
故选:C.
4.(3分)下列计算正确的是(  )
A.a2+a3=a5 B.a2 a3=a6 C.a6÷a2=a3 D.(a2)3=a6
【解答】解:A.a2与a3无法合并,故此选项不合题意;
B.a2 a3=a5,故此选项不合题意;
C.a6÷a2=a4,故此选项不合题意;
D.(a2)3=a6,故此选项符合题意.
故选:D.
5.(3分)如图,该几何体的俯视图是(  )
A. B.
C. D.
【解答】解:从上面看,可得选项B的图形.
故选:B.
6.(3分)为有效开展大课间体育锻炼活动,班主任李老师将班级同学进行分组(组数固定).若每组7人,则多余2人;若每组8人,则还缺3人.设班级同学有x人,则可得方程为(  )
A.7x+2=8x﹣3 B.7x﹣2=8x+3 C. D.
【解答】解:由题意可得,
=,
故选:C.
7.(3分)如图,已知AB∥CD∥EF,BC:CE=3:4,AF=21,那么DF的长为(  )
A.9 B.12 C.15 D.18
【解答】解:∵AB∥CD∥EF,BC:CE=3:4,
∴==,
∵AF=21,
∴=,
解得:DF=12,
故选:B.
8.(3分)如图,AB是半圆O的直径,点D是弧AC的中点,若∠DAC=25°.则∠BAC等于(  )
A.40° B.42° C.44° D.46°
【解答】解:连接OC,OD,
∵点D是弧AC的中点,
∴弧AD=弧CD,
又∠DAC=25°,
∴∠AOD=∠COD=2∠DAC=50°,
∴∠BOC=180°﹣∠AOD﹣∠COD=80°,
∴,
故选:A.
9.(3分)已知二次函数y1=(ax+1)(bx+1),y2=(x+a)(x+b),(a,b为常数,且ab≠0),则下列判断正确的是(  )
A.若ab<1,当x>1时,则y1>y2
B.若ab>1,当x<﹣1时,则y1>y2
C.若ab<﹣1,当x<﹣1时,则y1>y2
D.若ab>﹣1,当x>1时,则y1>y2
【解答】解:∵ab<1,x>1,
∴ab﹣1<0,x﹣1>0,x+1>0,
∴y1﹣y2=(ax+1)(bx+1)﹣(x+a)(x+b)
=abx2+ax+bx+1﹣x2﹣ax﹣bx﹣ab
=(ab﹣1)x2+1﹣ab
=(ab﹣1)(x+1)(x﹣1),
∴y1﹣y2<0;
∴y1<y2;故A不符合题意;
∵ab>1,x<﹣1,
∴ab﹣1>0,x﹣1<0,x+1<0,
∴y1﹣y2>0;
∴y1>y2;故B符合题意;
∵ab<﹣1,x<﹣1,
∴ab﹣1<0,x﹣1<0,x+1<0,
∴y1﹣y2<0;
∴y1<y2;故C不符合题意;
∵ab>﹣1,x>1,
∴ab﹣1>﹣2,x﹣1>0,x+1>0,
∴y1﹣y2可以比0大,也可以比0小;
∴y1,y2的大小不确定;故D不符合题意;
故选:B.
10.(3分)如图,在正方形ABCD中,,O是BC中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF.则线段OF长的最小值为(  )
A.8 B. C. D.
【解答】解:如图,连接DO,将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM,连接FM,OM,
∵∠EDF=∠ODM=90°,
∴∠EDO=∠FDM,
在△EDO与△FDM中,

∴△EDO≌△FDM(SAS),
∴FM=OE=2,
∵正方形ABCD中,,O是BC边上的中点,
∴,
∴,
∴,
∵OF+MF≥OM,
∴OF≥10﹣2=8,
∴线段OF的最小值为8,
故选:A.
二、填空题:本题有6个小题,每小题4分,共24分.
11.(4分)cos60°=  .
【解答】解:cos60°=.
故答案为:.
12.(4分)因式分解:4x2﹣y2= (2x+y)(2x﹣y) .
【解答】解:原式=(2x+y)(2x﹣y),
故答案为:(2x+y)(2x﹣y)
13.(4分)如图,在菱形ABCD中,分别以点A,C为圆心,AD,CB长为半径画弧,分别交对角线AC于点E,F,若AB=4,∠ABC=120°,则图中阴影部分的面积为  8﹣ .(结果保留π)
【解答】解:连接BD交AC于点O,如右图所示,
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,AB=4,
∴∠DAB=60°,AC⊥BD,AB=AD=4,
∴∠DAO=30°,∠AOD=90°,
∴DO=2,AO=2,
∴BD=4,AC=4,
∴S阴影=S菱形ABCD﹣S扇形ABD
=﹣
=﹣
=8﹣,
故答案为:8﹣.
14.(4分)已知一个不透明的盒子里装有5个球,其中3个黑球,2个白球,这些球除颜色外其他均相同.现从中任意摸出两个球,恰好颜色一样的概率是   .
【解答】解:列表得:
黑 黑 黑 白 白
白 (黑,白) (黑,白) (黑,白) (白,白)
白 (黑,白) (黑,白) (黑,白) (白,白)
黑 (黑,黑) (黑,黑) (黑,白) (黑,白)
黑 (黑,黑) (黑,黑) (黑,白) (黑,白)
黑 (黑,黑) (黑,黑) (黑,白) (黑,白)
∵一共有20种情况,摸出两球颜色相同的有8种情况,
∴摸出两球颜色相同的概率是,
故答案为:.
15.(4分)如图,在△ABC中,AB,BC分别为⊙O的切线,点E和点C为切点,线段AC经过圆心O且与⊙O相交于点D,若,AD=,则OB的长为   .
【解答】解:∵BA,BC分别为⊙O的切线,
∴∠OEA=∠C=90°,
由可设OE=OD=OC=3r,AE=4r,则OA=5r,
∵AD=,
∴,
∴,
解得:,
∴OE=OD=OC=1,
∴,
∴BC=AC tanA=2,
在Rt△OCB中,;
故答案为:.
16.(4分)对于二次函数y=kx2﹣(3k﹣1)x+2k﹣2.有下列说法:
①若k>0,则当x≥2时,y随x的增大而增大.
②无论k为何值,该函数图象与x轴必有两个交点.
③无论k为何值,该函数图象一定经过点(2,0)和(1,﹣1)两点.
④若k为整数,且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点,则k=1.
其中正确的是  ①③④ .(只需填写序号)
【解答】解:①∵二次函数y=kx2﹣(3k﹣1)x+2k﹣2的对称轴为直线,
∴若k>0,则,该函数图象开口向上,
∴当x≥2时,y随x的增大而增大.故①正确;
②∵Δ=[﹣(3k﹣1)]2﹣4k(2k﹣2)
=9k2﹣6k+1﹣8k2+8k
=k2+2k+1
=(k+1)2,
当k=﹣1时,Δ=0,该函数图象与x轴有一个交点,
当k≠﹣1时,Δ>0,该函数图象与x轴有两个交点,
故②错误;
③∵y=kx2﹣(3k﹣1)x+2k﹣2
=[k(x﹣1)+1](x﹣2),
当x=1时,y=﹣1,当x=2时,y=0,
∴无论k为何值,该函数图象一定经过点(2,0)和(1,﹣1)两点,
故③正确;
④∵y=kx2﹣(3k﹣1)x+2k﹣2
=(kx﹣k+1)(x﹣2),
当y=0时,x1=2,,
∴若k为整数,且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点,则k=±1(﹣1不符合题意,舍去),
故④正确.
综上,正确的是①③④,
故答案为:①③④.
三、解答题:本题有7小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)先化简,再求值:,其中x=﹣1.
【解答】解:原式=﹣
=﹣
=,
当x=﹣1时,原式==1.
18.(8分)第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行,某校为了解学生对“杭州亚运会”相关知识的掌握情况,对全校学生进行了一次测试,并随机抽取了若干名学生的测试成绩进行整理,绘制了如图所示不完整的频数分布直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值)和扇形统计图.
请根据统计图的信息,解答下列问题:
(1)求样本容量,并补充完整频数分布直方图.
(2)在抽取的这些学生中,圆圆的测试成绩为85分,你认为85分一定是这些学生成绩的中位数吗?请说明理由.
(3)若成绩在80分以上为优秀,请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数.
【解答】解:(1)样本容量是:10÷20%=50;
70≤a<80的频数是50﹣4﹣8﹣16﹣10=12(人),
补全图形如下:
(2)不一定是这些学生成绩的中位数,
理由:将50名学生知识测试成绩从小到大排列,第25、26名的成绩都在分数段80≤a≤90中,他们的平均数不一定是85分,因为25、26的成绩的平均数才是整组数据的中位数.
(3)估计全校1400名学生中成绩优秀的人数为:(人).
19.(8分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点P在∠BAC平分线AD上,过点P作线段EF分别交BD,AC于点E,F,已知∠CEF=2∠BAD.
(1)求证:△ABC∽△EFC.
(2)若BE=3DE=3,F是AC的中点,求CF的值.
【解答】(1)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD,
∵∠CEF=2∠BAD,
∴∠BAC=∠CEF,
又∠ACB=∠ECF,
∴△ABC∽△EFC;
(2)解:∵BE=3DE=3,
∴DE=1,BD=4,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴BD=CD=4,
∴CE=5,BC=8,
∵F是AC的中点,
∴AC=2CF,
∵△ABC∽△EFC,
∴,则,
∴.
20.(10分)设两个不同的一次函数y1=kx+b,y2=bx+k(k,b是常数,且kb≠0).
(1)若函数y1的图象经过点(m,0),函数y2的图象经过点(n,0),求证:mn=1.
(2)当y1<y2时,求x的取值范围.
【解答】(1)证明:∵函数y1的图象经过点(m,0),
∴mk+b=0,
∴m=﹣,
∵函数y2的图象经过点(n,0),
∴nb+k=0,
∴n=﹣,
∴mn=﹣ (﹣)=1;
(2)解:当y1<y2时,则kx+b<bx+k,
∴(k﹣b)x<k﹣b,
当k>b时,x<1,
当k<b时,x>1.
21.(10分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,点C是弧BD的中点,延长AB到点E,使得BE=AD,连结AC,CE.
(1)求证:AC=CE.
(2)若,,∠BCD=120°,求BC的长.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠D+∠ABC=180°,
∵∠ABC+∠CBE=180°,
∴∠D=∠CBE,
∵点C时的中点,
∴CD=CB,
在△ACD与△ECB中,

∴△ACD≌△ECB(SAS),
∴AC=CE;
(2)如图,作CM⊥AB交AB于点M,
∵AD=4,BE=AD,
∴BE=4,
∵AB=6,
∴AE=AB+BE=6+4=10,
∵AC=CE,CM⊥AB,
∴AM=AE=5,
∴BM=AB﹣AM=6﹣5=,
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠BCD+∠BAD=180°,
∵∠BCD=120°,
∴∠BAD=60°,
∵CD=CB,
∴∠CAM=∠BAD=30°,
∵∠AMC=90°,
∴tan∠CAM=tan30°==,
∴CM=5×=5,
∴BC====2.
22.(12分)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c是常数).
(1)当b=2,c=3时,求该函数图象的顶点坐标.
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n),当该函数图象经过点(1,﹣3)时,求n关于m的函数解析式.
(3)已知b=2c+1,当0≤x≤2时,该函数有最大值8,求c的值.
【解答】解:(1)当b=2,c=3时,y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴当b=2,c=3时,该函数图象的顶点坐标为(1,4);
(2)∵该函数图象经过点(1,﹣3),
∴﹣1+b+c=﹣3,则c=﹣2﹣b,
∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n),
∴,,
∴b=2m,c=﹣2﹣2m,
∴,即n=m2﹣2m﹣2;
(3)当b=2c+1时,二次函数y=﹣x2+(2c+1)x+c的对称轴为直线,开口向下,
∵0≤x≤2,
∴当即时,该函数的最大值为,即4c2+8c﹣31=0,
解得,,不合题意,舍去;
当即时,0≤x≤2时,y随x的增大而减小,
∴当x=0时,y有最大值为c=8,不合题意,舍去;
当即时,0≤x≤2时,y随x的增大而增大,
∴当x=2时,y有最大值为﹣22+2(2c+1)+c=8,
解得c=2,符合题意,
综上,满足条件的c的值为2.
23.(12分)如图1,已知四边形ABCD是矩形,延长CB至点E,使得BE=AB,连结DE分别交AB,AC于点F,G.
(1)若AC⊥DE,求证:BC=BF.
(2)当BC=BF,AB=2时,求∠E的正切值.
(3)如图2,连结BG,当BC=BF时,求证:.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∴∠EBF=180°﹣∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠EBF,
∵AC⊥DE于点G,
∴∠EGC=90°,
∴∠BAC=∠E=90°﹣∠ACB,
在△ABC和△EBF中,

∴△ABC≌△EBF(ASA),
∴BC=BF.
(2)解:设BC=BF=x,
∵BE=AB=CD=2,
∴CE=x+2,
∵BF∥CD,
∴△EBF∽△ECD,
∴=,
∴BF CE=CD BE=2×2=4,
∴x(x+2)=4,
解得x1=﹣1,x2=﹣﹣1(不符合题意,舍去),
∴BF=﹣1,
∴tanE==,
∴∠E的正切值为.
(3)证明:如图2,连接CF,作BH⊥BG交DE于点H,则∠GBH=90°,
在△EBF和△ABC中,

∴△EBF≌△ABC(SAS),
∴∠E=∠BAC,
∴∠E+∠ACB=∠BAC+∠ACB=90°,
∴∠EGC=90°,
∵∠EBF=∠EGC=90°,∠E=∠E,
∴△EBF∽△EGC,
∴=,
∴=,
∴△EBG∽△EFC,
∵BC=BF,∠FBC=90°,
∴∠BCF=∠BFC=45°,
∴∠EGB=∠ECF=45°,
∴∠BHG=∠BGH=45°,
∴BH=BG,
∴GH===BG,
∵∠ABE=∠GBH=90°,
∴∠EBH=∠ABG=90°﹣∠ABH,
在△EBH和△ABG中,

∴△EBH≌△ABG(SAS),
∴EH=AG,
∴EH+GH=AG+BG,
∵EG=EH+GH,
∴EG=AG+BG.

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