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专题07 一元二次方程及其应用（30道）
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·统考中考真题）关于x的方程的两个根是﹣2和1，则的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
2．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．（2023·北京·统考中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
4．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）
A． B． C．或 D．
二、填空题
8．（2023·湖南湘西·统考中考真题）已知一元二次方程的一个根为．则另一个根 ．
9．（2023·山东济南·统考中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
10．（2023·浙江·统考中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ．
11．（2023·辽宁·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．（2023·江苏泰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
13．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若m是方程的根，则 ．
14．（2023·宁夏·统考中考真题）方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
15．（2023·四川雅安·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
16．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
17．（2023·湖北恩施·统考中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．
18．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
19．（2023·辽宁营口·统考中考真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
20．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
21．（2023·江苏徐州·统考中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
22．（2023·辽宁·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
23．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）实数m，n分别满足，且，则的值是 ．
24．（2023·吉林长春·统考中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
25．（2023·内蒙古·统考中考真题）若是一元二次方程的两个实数根，则 ．
26．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
27．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知一元二次方程的两根为与，则的值为 ．
三、解答题
28．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：．
29．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
30．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题07 一元二次方程及其应用（30道）
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·统考中考真题）关于x的方程的两个根是﹣2和1，则的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
【答案】C
【详解】解：∵关于x的方程的两个根是﹣2和1，
∴ =﹣2+1=-1， =﹣2 ，
∴ ，
∴=（﹣4）2=16．
故选：C．
2．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵为一元二次方程，
∴，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
3．（2023·北京·统考中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
∴
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
6．（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
7．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
8．（2023·湖南湘西·统考中考真题）已知一元二次方程的一个根为．则另一个根 ．
【答案】3
【分析】根据根与系数的关系得：，求出即可．
【详解】解： 则根据根与系数的关系得：，
解得：，
即方程的另一个根为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当和是一元二次方程、、为常数，的两个根时，那么，．
9．（2023·山东济南·统考中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于的不等式，解不等式就可以求出的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得：，
∴的值可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
10．（2023·浙江·统考中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ．
【答案】
【分析】根据“现花钱买了只鸡”，列出方程组即可．
【详解】解：依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
11．（2023·辽宁·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根．
12．（2023·江苏泰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系进行求值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握．
13．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若m是方程的根，则 ．
【答案】6
【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可．
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，即，
∴
；
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键．
14．（2023·宁夏·统考中考真题）方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据方程有两个相等的实数根，进行求解即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查根的判别式，熟练掌握，方程有两个相等的实数根，是解题的关键．
15．（2023·四川雅安·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
【答案】
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之积等于，得到关于m的一元一次方程，解之即可求解．
【详解】设方程的另一个根为m，
根据题意得，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系．
16．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
17．（2023·湖北恩施·统考中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．
【答案】8，6，10
【分析】设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，
根据题意可得：，
解得：或（舍去），
∴（尺），（尺），
即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，
故答案为：8，6，10．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键．
18．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
【答案】
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额五月份的盈利额列出方程求解即可．
【详解】解：设每月盈利平均增长率为x，
根据题意得：．
解得：，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用＋，减少用 ，难度一般．
19．（2023·辽宁营口·统考中考真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【详解】设另一个根为，
根据题意：，
解得，，
即另一个根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义．
20．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
【答案】8
【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键．
21．（2023·江苏徐州·统考中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可．
【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
则，解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系．
22．（2023·辽宁·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
【答案】k<-
【分析】根据一元二次方程跟的判别式，可得关于k的一元一次不等式进行求解即可.
【详解】根据题意得，
，
解得：k<-，
故答案为：k<-.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记方程有两个不相等的实数根， 方程有两个相等的实数根，方程没有实数根， 方程有实数根是解题的关键.
23．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）实数m，n分别满足，且，则的值是 ．
【答案】
【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：由题可知，m和n是的两个根，
所以，
所以；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握“若一元二次方程的两个根分别为和，则”．
24．（2023·吉林长春·统考中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据根的判别式求出，再求出不等式的解集即可．
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程为常数，，①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根．
25．（2023·内蒙古·统考中考真题）若是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】/
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可．
【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两个实数根，满足，．
26．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．
27．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知一元二次方程的两根为与，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
三、解答题
28．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：．
【答案】，
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
【详解】解：
∴或
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
29．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
30．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
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