卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年上学期福建省八年级数学期末试题选编：轴对称
一、单选题
1．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）下列曲线分别是“阿基米德螺线”…“希尔伯特曲线”…“费马螺线”和“星形线”的一部分．这四种精美的数学曲线中，一定是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）北京时间2022年10月31日15时37分，搭载空间站“梦天实验舱”的长征五号B遥四运载火箭在我国文昌航天发射场发射升空．按计划，梦天实验舱将与天和核心舱、问天实验舱一起完成中国空间站三舱“T”字基本型的在轨建造．下列汉字可以看作轴对称图形的是（ ）
A．梦 B．天 C．实 D．验
3．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFA World Cup Oatar 2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，，，边上存在一点，使得．下列描述正确的是（ ）
A．是的垂直平分线与的交点 B．是的平分线与的交点
C．是的垂直平分线与的交点 D．是的中点
5．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）如图，将正五边形ABCDE置于平面直角坐标系中，若顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，则点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）点Q（3，4）与点Q'（3，﹣4）的对称轴是（ ）
A．直线y＝x B．x轴 C．y轴 D．原点
7．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）点关于y轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）如图，在中，平分交于点D，点E，F分别是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
11．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2022秋·福建南平·八年级统考期末）如图，在中，E为的中点，交于点D，若的周长为26，，则 ．
13．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，中，，边的垂直平分线分别交于点E、D，若的周长是21，则 ．
14．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是 ．
15．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）若点和点关于x轴对称，则b的值是 ．
16．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）已知，点、两点关于轴对称，则的值是 ．
17．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，若点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上找一点P，使的周长最小，则点P的坐标为 ．
18．（2022春·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，，平分，E是上一点，且，连接，过E作，垂足为F，延长交于点G．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
19．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则 ．
20．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）在中，，，则的度数为 ．
21．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为 ．
22．（2022秋·福建南平·八年级统考期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为 ．
三、解答题
23．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交线段的延长线于点．
(1)在直线上求作点，使得点在的上方，且点到、的距离相等；
（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
(2)在（1）的条件下，若于点，于点，求证：．
24．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点，，若，且的周长为8，求的周长．
25．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
(1)求证：∠A＝∠D；
(2)将△ABC沿直线翻折得到△A'BC，用直尺和圆规在图中作出△A'BC．（保留作图痕迹，不要求写作法）
26．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）按要求完成作图：
(1)作出ABC关于y轴对称的图形DEF；
(2)求ABC的面积．
27．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A的坐标为，关于直线对称的，已知顶点．
(1)请作出关于直线l对称的；
(2)求四边形的面积．
28．（2022秋·福建南平·八年级期末）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为：A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，3）．
(1)已知△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1．
①在网格中作出△A1B1C1；
②请写出点A1，B1，C1的坐标：A1_______；B1______；C1_______；（直接写出答案）
(2)△ABC的面积为_______．
29．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在中，，点D在上，且．求证：．
30．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，，在中，，，．
(1)试说明与满足什么等量关系时，点D、点C、点E三点共线．
(2)连接，连接交于F点，若点F恰好是线段的中点，求证：．
31．（2022秋·福建南平·八年级统考期末）在四边形中，点E在边上，，分别平分，．
(1)在边上找出点B关于直线的对称点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）．
(2)在（1）的基础上，当时，
①若，求的大小；
②直接写出与的数量关系．
32．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使．
(1)若，求的长；
(2)求的度数．
33．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）在中，，是中线，以为边在右侧作等边三角形．
(1)如图（1），连接，交于点F．
①若，求；
②求证：．
(2)如图（2），当时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点P．求证：点P是的中点．
34．（2022秋·福建南平·八年级统考期末）如图，在中，是中线，延长到点E，使，若，．求证：是等边三角形．
35．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）如图，在中，，点D在边的延长线上，线段，的垂直平分线交于点E，连接．
(1)若，求证：是等边三角形；
(2)求与之间的数量关系．
36．（2022春·福建漳州·八年级统考期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2．B
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：中沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，天是轴对称图形，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．A
【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．
【详解】∵是轴对称图形，
∴符合题意；
∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，，
∴不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
4．C
【分析】由易得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点在的垂直平分线上，即是的垂直平分线与的交点．
【详解】，，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线与的交点；
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
5．A
【分析】根据坐标的特点，判定点A在y轴上，轴，且关于y轴对称，结合正五边形是轴对称图形，得到关于y轴对称，计算即可．
【详解】∵点A坐标为，
∴点A在该平面直角坐标系的y轴上，
∵点C、D的坐标为，，
∴点C、D关于y轴对称，
∵正五边形是轴对称图形，
∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形的一条对称轴，
∴点B、E也关于y轴对称，
∵点B的坐标为，
∴点E的坐标为，
故选A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的y轴．
6．B
【分析】利用已知两点横纵坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：∵点Q（3，4）与点Q'（3，﹣4），
∴P，Q关于x轴对称．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
7．D
【分析】由平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）求得点P（-1，-2）关于y轴的对称点的坐标，由此即可解答．
【详解】根据轴对称的性质，得点P（-1，-2）关于y轴对称的点的坐标为（1，-2）．
∴点P（-1，-2）关于x轴对称的点的坐标位于第四象限．
故选D．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．熟知关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数是解决问题的关键．
8．C
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，即是的高线，
∵是等腰三角形，
∴是的角平分线，故A选项不符合题意；
∵是等腰三角形，，
∴是的角平分线，故B选项不符合题意；
若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意；
∵，
∴，
∴是的角平分线，故D选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
9．C
【分析】根据，设，则，结合得到，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】设，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
解得，
，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线性质，等腰三角形性质是解题的关键．
10．B
【分析】从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值．
【详解】解：作C点关于的对称点H，过H作交于点E，交于点F，
∴，
∴的最小值是的长，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴的最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线的问题，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键是学会添加常用的辅助线，利用含30度角的直角三角形的性质解决问题．
11．D
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于，
∴，，
∴，，
则即为的周长最小值，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
12．8
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后将的周长化简为，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵的周长为26，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键．
13．9
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为21，
∴，
∴又
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．
【分析】根据关于x轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：与点B关于x轴对称，则点B的坐标是，
故答案为：
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称点的坐标变化规律，解题关键是熟记关于x轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．
15．
【分析】根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：∵点和点关于x轴对称，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形——轴对称，熟知：关于轴对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相同；是解本题的关键．
16．0
【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：、关于轴对称，
，，
，，
所以．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
17．（0，0）
【分析】作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，点P即为所求．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，点P即为所求，
点P的坐标为（0，0），
故答案为（0，0）．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称最短问题，平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，属于中考常考题型．
18．①③④
【分析】证明即可判断①；过D作，根据角平分线的性质求出即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；设，求出和，然后根据三角形外角的性质即可判断④．
【详解】解：如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，故①正确；
过D作，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
在中：，
∴，故②说法错误；
∵，，
∴，即，故③正确；
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上，正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握以上知识点，并灵活运用是解题的关键．
19．
【分析】延长，过C作，垂足为G，证明，得到，，再证明，，，设，根据边的关系代换得到，再根据列出方程，解之可得．
【详解】解：延长，过C作，垂足为G，
∵，
∴，
∵F为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，得到相等的边．
20．
【分析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握．
21．1.5
【分析】过点P作交AC于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明AE=FE，根据全等三角形判定定理可证，DF=DC，进而证明，计算求值即可．
【详解】解：过点P作交AC于点F，如图，
∵，
∴，，是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴；
∴，，
∵，，
∴，
∵，
故答案为：1.5
【点睛】本题考查了平行线性质、等边三角形性质、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键．
22．
【分析】作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)利用尺规作图，作的平分线，与的交点即为所示的点P；
(2)根据线段垂直平分线及角平分线的性质，即可证得，即可证得结论．
【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求的点，
点P在的平分线上，
点到、的距离相等；
（2）证明：如图：连接，，
垂直平分，
，
是的平分线，，，
，，
在和中，
，，
，
．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线及角平分线的性质，熟练掌握和运用线段垂直平分线及角平分线的性质是解决本题的关键．
24．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可得到答案．
【详解】解：是线段的垂直平分线，
，
的周长为8，
，
，
，
的周长，
故的周长为：14．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS证明△ABC≌△DEF，从而解决问题；
（2）利用尺规作图，作出点A关于直线l的对称点A'，从而解决问题．
【详解】（1）证明：∵BF＝CE，
∴BC＝FE，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D；
（2）解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'C，△A'BC即为所求．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图，平行线的性质等知识点．解题的关键在于掌握全等三角形的判定定理和基本的作图方法．
26．(1)见解析
(2)3.5
【分析】（1）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点D、E、F的位置，顺次连接即可得到△DEF；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，△DEF即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3 ×2×3 ×1×2 ×1×3＝3.5．
【点睛】本题考查了作图 轴对称变换，割补法求面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
27．(1)见解析
(2)24
【分析】（1）先利用A点和A′的坐标特征确定对称轴，再利用网格特点画出B、C关于直线l的对称点即可；
（2）利用梯形的面积公式计算．
【详解】（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）四边形ABB1A1的面积=×（4+8）×4=24．
【点睛】本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
28．(1)①图形见解答；
②（3，4），（4，1），（1，3）；
(2)．
【分析】（1）①根据轴对称的性质即可在网格中作出△A1B1C1；
②结合①即可写出点A1，B1，C1的坐标：进而可以写出三点的坐标；
（2）根据割补法即可求出△ABC的面积．
(1)
①如图所示；
②A1（3，4），B1（4，1），C1（1，3）；
故答案为：（3，4），（4，1），（1，3）；
(2)
△ABC的面积=3×3 ×1×3 ×2×3-×1×2=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
29．见解析
【分析】法一：利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理得，，即可得证结论；
法二：过点C作于E，利用的等腰三角形及三角形内角和定理可得，，，即可得证结论．
【详解】证明：法一：，
．
中，，
．
法二：过点C作于E，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
30．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题意易证，可得，可得，由同角的余角可知，由三角形的内角和可得，当时，可得，求得，即可证明结论；
（2）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，则，，再证明，可得结论．
【详解】（1）当时，点D、点C、点E三点共线．理由如下：
在和中，
∴，
∴，
∴．
∵ ，
∴．
∵，．
∴
∵，，
∴，
∴
故当时，点D、点C、点E三点共线；
（2）证明：如图，过A作于M，
∵，
∴，．
∵F是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题，属于中考常考题型．
31．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据对称的性质，在上取即可，可证明，得到，，即可证明对称；
（2）①连接，在上找一点G，使，连接，，根据和，得到，，，根据，等量代换得到，再根据等边对等角以及外角的性质即可求出；②根据①中结论可得，根据平角的定义代换得到，根据，再次代换并化简可得．
【详解】（1）解：如图，点F即为所求；
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴垂直平分，即F为B关于的对称点；
（2）①连接，在上找一点G，使，连接，，
∵，
∴，，
同（1）可证：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形外角的性质，等边对等角，解题的关键是将题中的线段关系通过全等的性质进行转化．
32．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意，解得的长，最后由线段和，据此解题即可；
（2）由等边三角形的性质可得，结合可得，再根据“三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和”可得，即可求解．
【详解】（1）∵是等边三角形，
是中线，
，
∴，
∴；
（2）∵是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键．
33．(1)①；②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①先由等边三角形的性质得，，从而求出，再根据等腰三角形性质与三角形内角和定理求解即可；
②先等腰三角形三线合一得出平分，且，从而求出，得到，然后由直角三角形的性质得出结论．
（2）证法一：过点E作于H，先证明，得，再证明，得出，即得出结论；
证法二：过点G作交于M，先证明，得到，再证明，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解： ①，是等边三角形，
，，
又，
，
．
②证明：，是中线，
平分，且，
设，则，
中，，
，
，
在中，，
．
（2）证明一：过点E作于H，
是等边三角形，
，，
中，，，
即，
由（2），
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
又，
，
，，
，
又，
，
，即点P是中点．
证明二：过点G作交于M，
是等边三角形，
，，
中，，，
，
，
由（2），
，
又，是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，即
又，
，
，
又，
，
，即点P是中点．
【点睛】本题词考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质是解题的关键．
34．见解析
【分析】根据等腰三角形的性质，得到，，可得，求出，根据线段垂直平分线的性质得到，从而求出，即可证明．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质．
35．(1)见解析
(2)与之间的数量关系为
【分析】(1)根据线段，的垂直平分线交于点E，得到，根据等腰三角形的性质，四边形内角和定理确定得证．
(2)根据等腰三角形的性质，四边形内角和定理，邻补角计算即可．
【详解】（1）∵线段，的垂直平分线交于点E，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
（2）与之间的数量关系为．理由如下：
∵线段，的垂直平分线交于点E，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，四边形的内角和定理，邻补角，熟练掌握上述性质是解题的关键．
36．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段为所求作的线段；
（2）已知：如图，是直角三角形，，．
求证：．
解法一：如图，在上截取一点，使得，连接．
∵，，∴．
∵，∴是等边三角形．
∴，．
∵，∴．
∴．∴．
∵，∴．
解法二：如图，延长至点，使，连接．
∵，，
∴，，
∵，，，
∴．∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，∴．
【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题的关键．
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