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第2讲 基本不等式（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．（2023春·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考阶段练习）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）设为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高一专题练习）若，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
二、多选题
7．（2023春·重庆江津·高二校联考期末）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
8．（2023秋·高一单元测试）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为 ．
10．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）非负实数x，y满足，则的最小值为 ．
11．（2023秋·广东中山·高三校考阶段练习）已知，则的最小值是 ．
四、解答题
12．（2023秋·高一单元测试）（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
13．（2023春·浙江杭州·高一校考阶段练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
14．（2023春·河南开封·高一校考期末）（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
2．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
二、多选题
4．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知x＞1，则的最小值为
C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3
D．设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为
5．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．32
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足，则的最小值是 ．
四、解答题
7．（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
【练创新】
一、多选题
1．（2023春·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为8 B．的最小值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
二、填空题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，则的最小值为 ．
三、解答题
3．（2023春·江西九江·高一校考期中）（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．
（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第2讲 基本不等式（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．（2023春·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考阶段练习）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）设为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高一专题练习）若，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
二、多选题
7．（2023春·重庆江津·高二校联考期末）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
8．（2023秋·高一单元测试）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为 ．
10．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）非负实数x，y满足，则的最小值为 ．
11．（2023秋·广东中山·高三校考阶段练习）已知，则的最小值是 ．
四、解答题
12．（2023秋·高一单元测试）（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
13．（2023春·浙江杭州·高一校考阶段练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
14．（2023春·河南开封·高一校考期末）（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
2．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
二、多选题
4．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知x＞1，则的最小值为
C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3
D．设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为
5．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．32
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足，则的最小值是 ．
四、解答题
7．（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
【练创新】
一、多选题
1．（2023春·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为8 B．的最小值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
二、填空题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，则的最小值为 ．
三、解答题
3．（2023春·江西九江·高一校考期中）（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．
（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；
【练基础】
参考答案：
1．A
【分析】由基本不等式求解即可
【详解】因为，
所以可得，
则，
当且仅当，即时，上式取得等号，
的最大值为2．
故选：A．
2．C
【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果.
【详解】由，，得：，
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故选：C.
3．A
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】∵，∴，
∴≥＝6，
当且仅当即时， 取最小值6，
故选：A．
4．B
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以．
因为x，y都是正数，由基本不等式有：，
所以，当且仅当
即时取“＝”．故A，C，D错误.
故选：B．
5．C
【分析】由可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为为正实数，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立.
所以的最小值为.
故选：C.
6．C
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为；
故选：C
7．ABD
【分析】根据基本不等式判断．
【详解】因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.
故选：ABD
8．BCD
【分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于C：因为，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，故D正确；
故选：BCD
9．
【分析】利用代入变形后根据基本不等式可求出结果.
【详解】
，当且仅当析，时，等号成立.
故答案为：
10．0
【分析】分和x，两种情况求解即可.
【详解】当时，；
当x，时，由得，
所以（当且仅当,即 时，等号成立）．
所以的最小值为0．
故答案为：.
11．
【分析】变形条件等式得，然后展开，利用基本不等式求最小值.
【详解】，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值是.
故答案为：.
12．（1）7；（2）．
【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；
（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
13．(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小
(2)．
【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；
（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（） （x+2y）＝55+2，进而得出．
【详解】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，
当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（2）由已知得x+2y＝30，
又∵（） （x+2y）＝55+29，
∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．
∴的最小值是．
14．（1）；（2）1；（3）
【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；
（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.
【详解】（1），
当且仅当，即时，取等号.
故所求的值为.
（2）因为，所以，
则.
当且仅当，即时，取等号.
故的最大值为1.
（3）
.
当且仅当，即时，取等号.
故函数的最小值为.
【练提升】
参考答案：
1．D
【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为为正实数且，
所以，
所以，
因为，当且仅当时等号成立；
所以，当且仅当时等号成立；
故选：D
2．C
【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
3．D
【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.
【详解】实数，，，
整理得，当且仅当时取，故选项A错误；
(，
当且仅当时取，故选项B错误；
，，
，当且仅当时取，
但已知,故不等式中的等号取不到，
，故选项C错误；
，
，
，当且仅当时取，故选项D正确，
故选：D
4．BCD
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.
【详解】解：对于A选项，当x=-1时，，故A选项错误，
对于B选项，当x＞1时，x﹣1＞0，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数x、y满足x+2y＝3xy，
则，
，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C选项正确，
对于D选项，
，
所以，可得，
当且仅当y＝3x时，等号成立，故3x+y的最大值为，D选项正确.
故选：BCD.
5．BD
【分析】根据基本不等式可得，进而求得或，再结合选项判断即可
【详解】因为a，b为正实数，，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，，所以，所以或．所以或．
故选：BD．
6．
【分析】设，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设，则，可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，取得最小值．
故答案为：．
7．(1)
(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元
【分析】（1）根据题意列方程即可.
（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得，∴．
所以每件产品的销售价格为（元），
∴2020年的利润．
（2）∵当时，，
∴，
当且仅当即时等号成立．
∴，
即万元时，（万元）．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
【练创新】
参考答案：
1．ABC
【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；
，当且仅当，
即时取等号，C正确；
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．
故选：ABC．
2．
【分析】依题意可得，利用基本不等式及与的关系计算可得；
【详解】解：因为，
所以
因为，所以，
所以原式，当且仅当时取等号．
故答案为：
3．（1）；（2）-1；（3）.
【分析】（1）将原式改为，进而用基本不等式解决；
（2）根据题意，将原式改为，进而用基本不等式解决；
（3）根据x＋y＝4，，将原式改为，进而化简，最后根据基本不等式得到答案.
【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为.
（2）因为x＜3，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为-1.
（3）因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最小值为.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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